Tìm kiếm Đề thi, Kiểm tra

Quảng cáo

Quảng cáo

Hướng dẫn sử dụng thư viện

Hỗ trợ kĩ thuật

Liên hệ quảng cáo

  • (04) 66 745 632
  • 0166 286 0000
  • contact@bachkim.vn

Bài tập lớn Tích phân LEBESGUE

Nhấn vào đây để tải về
Hiển thị toàn màn hình
Báo tài liệu có sai sót
Nhắn tin cho tác giả
(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn:
Người gửi: Nguyễn Việt Trung
Ngày gửi: 22h:21' 03-12-2017
Dung lượng: 610.9 KB
Số lượt tải: 2
Số lượt thích: 0 người
LờI Mở ĐầU
Ở chương trình phổ thông, chúng ta đã bước đầu làm quen với khái niệm tích phân và những ứng dụng hữu ích của nó. Khi đó, phép lấy tích phân của những hàm liên tục hoặc gián đoạn tại hữu hạn điểm được thực hiện một cách dễ dàng bằng tích phân Riemann. Thế nhưng, đối với những hàm gián đoạn tại vô số điểm hoặc tất cả các điểm thì làm thế nào để có thể lấy tích phân theo một nghĩa nào đó? Đây là một câu hỏi đã được đặt ra trong suy nghĩ của em, em đã có cơ hội để trả lời câu hỏi đó qua việc tìm hiểu về tích phân Lebesgue. Tuy nhiên, trong khuôn khổ của một môn học, em không có điều kiện để nghiên cứu sâu về các tính chất cũng như các điều kiện khả tích của loại tích phân này trong những trường hợp khác nhau.
Trong giải tích cổ điển, Ta đã biết đến tích phân Riemann. Phần lý thuyết về loại tích phân này đã được xây dựng 1 cách hoàn chỉnh. Tuy nhiên trong nhiều loại bài toán của các lĩnh vực Vật lý học, Lý thuyết xác suất,... thực tế ta phải xây dựng 1 loại tích phân khác, với cách tiếp cận khác. Lý thuyết về loại tích phân mới này được đặt nền móng bởi công trình của Henri Lebesgue (1875-1941, người Pháp).
Lý thuyết tích phân tổng quát được nhà toán học Henri Lebesgue xây dựng vào đầu thế kỷ XX. Sau đó, nó được hoàn thiện đáng kể bởi nhiều nhà toán học lớn. Lý thuyết này đã khắc phục được những khiếm khuyết của tích phân Riemann. Ngoài ra, lý thuyết tích phân của Lebesgue còn đáp ứng được các yêu cầu phát triển trong các lĩnh vực: Xác suất, Phương trình đạo hàm riêng, Cơ học lượng tử…
Ở đây ta sẽ không xét đên tích phân Riemann nên tích phân Lebesgue sẽ được gọi đơn giản là tích phân.


TÍCH PHÂN LEBESGUE

TÍCH PHÂN CỦA HÀM ĐƠN GIẢN

Xét các hàm đơn giản trên . Chú ý rằng trong chủ đề này tất cả các hàm ta nói đến đều đo được nên không cần nói đến hay ,... là đo được. Ngoài ra, chỉ có thể nhận 1 số hữu hạn các giá trị và các tổng lấy theo mọi giá trị của có thể chỉ là một số hữu hạn các số hạng, nhưng ta vẫn sẽ dùng thuật ngữ “Chuỗi” để nói về những tổng như vậy và tổng hữu hạn luôn được coi là chuỗi hội tụ, thậm chí là hội tụ tuyệt đối.

Giả sử là hàm đơn giản và . Đặt và ký hiệu  làn lượt là tập các giá trị không âm và không dương của , (khi đó hoặc ) Xết các chuỗi sau

Dễ thấy chuỗi  hội tụ tuyệt đối khi và chỉ khi 2 chuỗi và đều hội tụ. Trong trường hợp đó tổng của chuỗi  là số không âm, còn tổng của chuỗi là số không dương.

Định nghĩa 1.1: Nếu chuỗi là hội tụ tuyệt đối thì tổng của nó được gọi là tích phân của hàm trên  và ký hiệu bằng một trong các biểu thức sau:
, , , 
Trong trường hợp này, ta nói khả tích (hay khả tổng) trên 
Từ định nghĩa ta có thể có được các mệnh đề đơn giản sau:
khả tổng khi và chỉ khi và đều khả tổng. Khi đó và lần lượt là các tổng của các chuỗi và ; do đó:

Từ đó cũng suy ra rằng  khả tổng khi và chỉ khi khả tổng. Khi đó

Và do đó

Mọi hàm đơn giản bị chặn, trong đó có tất cả các hàm bậc thang, đều khả tổng trên không gian với độ đo hữu hạn. Với những hàm như vậy ta có

khả tổng khi và chỉ khi và khi đó 
Nếu và khả tổng thì 
Nếu khả tổng (trên ) thì với mọi hàm đều khả tổng và

Ta sẽ có hệ quả1.1: Nếu và cùng khả tổng và trên thì


ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN TRONG TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT.

Trước hết giả sử là độ đo hữu hạn. Định nghĩa tích phân của hàm tùy ý , ta cần bổ đề sau:

Bổ đề 2.1: Nếu là dãy hàm đơn giản khả tổng hội tụ đều thì dãy ,với

Là dãy hội tụ.
Chứng minh: Ta có


Do tính liên tục nên khi . Do đó, dãy là dãy cơ bản nên nó hội tụ (đpcm).

Bổ đề 2.2:Nếu và là 2 dãy hàm đơn giản khả tổng và cùng hội tụ tới thì

Việc chứng minh thực hiện bằng các xen kẽ 2 dãy hàm.
Hai bổ đề trên
 
Gửi ý kiến