Thư mục

Hỗ trợ kỹ thuật

  • (Hotline:
    - (04) 66 745 632
    - 0982 124 899
    Email: hotro@violet.vn
    )

Thống kê

  • lượt truy cập   (chi tiết)
    trong hôm nay
  • lượt xem
    trong hôm nay
  • thành viên
  • Chào mừng quý vị đến với Thư viện Đề thi & Kiểm tra.

    Quý vị chưa đăng nhập hoặc chưa đăng ký làm thành viên, vì vậy chưa thể tải được các tư liệu của Thư viện về máy tính của mình.
    Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay ô bên phải.

    GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐÁNH GIÁ CÁC ẨN.doc

    (Tài liệu chưa được thẩm định)
    Nguồn: TTT
    Người gửi: Lê Trọng Châu
    Ngày gửi: 20h:19' 28-07-2009
    Dung lượng: 75.0 KB
    Số lượt tải: 179
    Số lượt thích: 0 người
    GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐÁNH GIÁ CÁC ẨN
    Hệ phương trình là một dạng toán thường gặp trong các kì thi của học sinh lớp 9. Có nhiều hệ phương trình khi giải trực tiếp sẽ rất phức tạp, thậm chí không giải được. Trong một số trường hợp như vậy, ta có thể tìm cách đánh giá giữa các ẩn hoặc giữa ẩn với một số, từ đó xác định nghiệm của hệ. Phương pháp này gọi là “phương pháp đánh giá các ẩn”.
    1. Đánh giá giữa các ẩn
    Ví dụ 1 (đề thi vào khối chuyên Toán Tin, ĐHQG Hà Nội năm 1996) :
    Giải hệ phương trình
    

    Lời giải : Điều kiện : x ≥ 1/2 ; y ≤ 1/2.
    Ta sẽ chứng minh x = y. Thật vậy :
    

    Vậy nghiệm duy nhất của hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện) là : x = y = 1.
    Ví dụ 2 (đề thi vào khối chuyên, ĐHSPHN năm 2004) : Tìm nghiệm dương của hệ
    

    Lời giải : Ta sẽ chứng minh x = y = z. Do x, y, z có vai trò như nhau nên không mất tổng quát, giả sử x y và x z. (4)
    Vì x > 0, y > 0, z > 0 nên :
    Từ (1), (2), (4) => 2x2004 = y6 + z6 ≤ x6 + z6 = 2y2004 => 2x2004 ≤ 2y2004 => x ≤ y. (5)
    Từ (1), (3), (4) => 2x2004 = y6 + z6 ≤ y6 + x6 = 2z2004 => 2x2004 ≤ 2z2004 => x ≤ z. (6)
    Từ (4), (5), (6) suy ra x = y = z.
    Thay vào (1) ta có 2x2004 = x6 + x6 = 2x6 suy ra x = 1 (do x > 0).
    Vậy hệ có nghiệm dương duy nhất : x = y = z = 1.
    Ví dụ 3 : Tìm a, b, c biết
    4a - b2 = 4b - c2 = 4c - a2 = 1 (*)
    Lời giải : Ta thấy ngay a > 0, b > 0, c > 0.
    Giả sử a > b, từ (*) ta có :
    4a - 4b = b2 - c2 > 0 => b > c (>0) ;
    4b - 4c = c2 - a2 > 0 => c > a (>0).
    => b > c > a trái với giả thiết a > b => a ≤ b.
    Tương tự như trên, nếu a < b thì cũng dẫn đến điều vô lí. Vậy a = b, suy ra :
    4a - 4b = b2 - c2 = 0 => b = c => a = b = c.
    Thay vào (*) ta có :
    4a - b2 = 1 <=> 4a - a2 = 1 <=> a2 - 4a + 1 = 0
    Giải phương trình bậc hai ẩn a trên ta được hai nghiệm là ++++++++
    Vậy hệ phương trình (*) có hai nghiệm :
    

    2. Đánh giá ẩn với một số
    Ví dụ 4 (đề thi vào lớp 10 chuyên, ĐHQG Hà Nội 2004) : Biết a > 0, b > 0 và a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 (1).
    Tính giá trị của biểu thức P = a2004 + b2004.
    Lời giải : Ta sẽ chứng minh a = 1, b = 1, từ đó tính được P. Thật vậy, từ (1) ta có :
    a100.(1 - a) = b100.(b - 1) (2)
    a101.(1 - a) = b101.(b - 1) (3)
    Trừ (2) cho (3) theo từng vế ta có :
    (a100 - a101)(1 - a) = (b100 - b101)(b - 1) <=> a100.(1 - a)2 = b100.(1 - b)(b - 1)
    <=> a100.(1 - a)2 = - b100.(1 - b)2. (4)
    Nếu a ≠ 1, do a > 0 suy ra :
    a100.(1 - a)2 > 0 ≥ - b100.(1 - b)2 trái với (4) => a = 1 => b = 1 (thay vào (2), b >0).
    Vậy P = 12004 + 12004 = 2.
    Ví dụ 5 : Giải hệ phương trình
    

    Lời giải : Ta sẽ chứng minh x = 1.
    Nhận xét : x, y, z đều khác 0.
    Giả sử x > 1 (4).
    

    Tương tự, x < 1 cũng dẫn đến điều vô lí.
    Suy ra x = 1, thay vào (1) và (2) ta có :
    

    Vậy hệ có nghiệm duy nhất : x = y = z = 1.
    Các bạn hãy thử giải các hệ phương trình sau :

     
    Gửi ý kiến
    print

    Nhấn Esc để đóng