BÀI TẬP TÌM GTLN, GTNN và GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ THỨC VI - ÉT
I- BÀI TẬP TÌM GTLN, GTNN
Bài toán 1:Tìm GTLN của các biểu thức:
A = 5 – 8x – x2
B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y
Giải:
a) A = 5 – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21
21

Max A = 21 khi x = -4.
b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y
= -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + 7
= -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + 7
7

Max B = 7 khi x = 1,
.

Bài toán 2:Cho x + y = 1.Tìm GTNN của biểu thức M = x3 + y3.
Giải:
M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2




Ngoài ra: x + y = 1
x2 + y2 + 2xy = 1
2(x2 + y2) – (x – y)2 = 1
=> 2(x2 + y2) ≥ 1
Do đó
và

Ta có:
và

Do đó
và dấu “=” xảy ra

Vậy GTNN của

Bài toán 3: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện:
(x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức x2 + y2.
Giải:
(x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0

[(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0

x4 + 2x2 + 1 + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = 0

x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + 1 = 0

x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + 1 = -4x2

(x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2
Đặt t = x2 + y2. Ta có: t2 – 3t + 1 = -4x2
Suy ra: t2 – 3t + 1 ≤ 0


Vì t = x2 + y2 nên :
GTLN của x2 + y2 =

GTNN của x2 + y2 =


Bài toán 4: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2
27.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx.
Giải:
Ta có: (x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2
0
2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx
0

(x + y + z)2= x2 + y2 + z2 +2(xy + yz + zx)
3(x2 + y2 + z2)
81

x + y + z
9 (1)
Mà xy + yz + zx
x2 + y2 + z2
27 (2)
Từ (1) và (2) => x + y + z + xy + yz + zx
36.
Vậy max P = 36 khi x = y = z = 3.
Đặt A = x + y + z và B = x2 + y2 + z2


Vì B
27


-14
P
-14
Vậy min P = -14 khi

Hay
.
Bài toán 5:
Giả sử x, y là các số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y =
. Tìm giá trị của x và y để biểu thức: P = (x4 + 1)(y4 + 1) đạt GTNN. Tìm GTNN ấy.
Giải:
Ta có: P = (x4 + 1)(y4 + 1) = (x4 + y4) + (xy)4 + 1
Đặt t = xy thì:
x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = 10 – 2t
x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (10 – 2t)2 – 2t2 = 2t2 – 40t + 100
Do đó: P = 2t2 – 40t + 100 + t4 + 1 = t4 + 2t2 – 40t + 101
= (t4 – 8t2 + 16) + 10(t2 – 4t + 4) + 45 = (t2 – 4)2 + 10(t – 2)2 + 45

và dấu “=” xảy ra
x + y =
và xy = 2.
Vậy GTNN của P = 45
x + y =
và xy = 2.
Bài toán 6:
Tìm GTLN và GTNN của:
.