SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009-2010

ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể giao đề

Câu 1 (4đ)
Chứng minh rằng
chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n
Tìm số các số nguyên n sao cho
là số chính phương
Câu 2. (5đ)
Giải phương trình


Giải hệ phương trình


Câu 3 (3đ)
Cho ba số x, y, z thỏa mãn


Tính giá trị của biểu thức

Câu 4. (6đ)
Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB cố định,
. Điểm P di động trên dây AB (P khác A và B). Gọi
là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn (O;R) tại A ,
là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn (O;R) tại B. hai đường tròn
và
cắt nhau tại điểm thứ hai là M.
Trong trường hợp P không trùng với trung điểm dây AB, chứng minh OM//CD và 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc một đường tròn
Chứng minh khi P di động trên dây AB thì điểm M di động trên đường tròn cố định và đưởng thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định N
Tìm vị trí của P để tích PM.PN lớn nhất ? diện tích tam giác AMB lớn nhất ?
Câu 5. Cho các số dương x, y,z thỏa mãn điều kiện
Chứng minh rằng:



ĐÁP ÁN ĐỀ PHÚ THỌ 2009-2010
Câu 1
Theo giả thiết n là số tự nhiên nên
là 3 số tự nhiên liên tiếp
Vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3 nên
chia hết cho 3
Mặt khác
nên
chia hết cho 3
Vậy A chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n
Ta thấy B là số chính phương
là số chính phương
Đặt 4B=

thì

Vì
nên ta có các hệ


Giải hệ (1) (2) (3) (4) ta tìm được

Vậy các số nguyên cần tìm là

Câu 2
Ta có
nên tập xác định của phương trình là R
Phương trình đã cho tương đương với


Đặt
thì phương trình đã cho trở thành

(thỏa mãn điều kiện)
Với
ta có

Với
ta có

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm

b) hệ đã cho tương đương với


Từ hệ (*) ta suy ra

hoặc

Giải hệ (I) ta tìm được

Hệ II vô nghiệm
Vậy hệ có nghiệm

Câu 3
Từ giả thuyết suy ra x, y, z khác 0 và




Câu 4



Nối CP, PD ta có
lần lượt cân tại C, O nên

do đó CP // OD (1)
Tương tự
lần lượt cân tại D, O nên
nên OD//CP (2) . Từ (1) và (2) suy ra ODPC là hình bình hành
Gọi CD cắt MP tại H cắt OP tại K thì K là trung điểm của OP
Theo tính chất 2 của đường tròn cắt nhau ta có CD
MP
H là trung điểm MP
Vậy HK // OM do đó CD // OM
Ta phải xét 2 trường hợp AP < BP và AP > BP, đáp án chỉ yêu cầu xét 1 trường hợp giả sử AP < BP
Vì tứ giác CDOM là hình bình hành nên OC = DP, DP=DM=R2 nên tứ giác CDOM là hình thang cân do đó 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc một đường tròn
Xét tam giác AOB có
nên tam giác OAB vuông cân tại O. Vì 4 điểm C, D, O, M cùn thuộc một đường tròn (kể cả
) nên


Xét
và
có:
(cùng bằng
sđ
của (C ))

(cùng bằng
của (D))
Nên
đồng dạng
(g.g)
Vì
đồng dạng với
suy ra
hay

Do AB cố định nên điểm M thuộc đường tròn tâm I đường kính AB
Ta có
nên

(Góc nội tiếp và góc ở tâm của (C))

(góc nội tiếp và góc ở tâm của (D))
Do đó MP là phân giác

Mà
nên M thuộc đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác AOB
Giả sử MP cắt đường tròn (I) tại N thì N là trung điểm cung AB không chứa điểm O nên N cố định

và
có
(đối đỉnh);
(