BÀI 2. HOÁN VỊ- CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I. HOÁN VỊ

1. Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Nhận xét:
Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp.
Chẳng hạn, hai hoán vị abc và acb của ba phân tử a, b, c là khác nhau.
2. Số hoán vị
Kí hiệu là số hoán vị của n phần tử. Ta có công thức sau:
Ví dụ 1. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách.
Giải
Mỗi cách đổi chỗ 1 trong 5 người trên băng ghế là 1 hoán vị.
Vậy có cách sắp.
Ví dụ 2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.
Giải
Gọi với và phân biệt là số cần lập.
• Bước 1: chữ số nên có 4 cách chọn a1.
• Bước 2: sắp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí có cách.
Vậy có số.
II. CHỈNH HỢP
1. Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.
2. Số các chỉnh hợp
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:


Công thức trên cũng đúng cho trường hợp hoặc
Khi thì
Ví dụ 3: Có bao nhiêu số điện thoại bắt đầu bằng 2 chữ cái khác nhau lấy từ 26 chữ cái A, B, C, …, Z và tiếp theo là 5 chữ số khác nhau không có số 0.
Giải
Chọn 2 chữ cái trong 26 chữ cái, xếp vào hai vị trí đầu tiên, đây là chỉnh hợp chập 2 của 26 phần tử. Tiếp theo, chọn 5 chữ số trong 9 chữ số khác 0, xếp vào 5 vị trí, đây là chỉnh hợp chập 5 của 9 phần tử.
Vậy có : số.
Ví dụ 4: Một đội bóng đá có 18 cầu thủ. Cần chọn ra 11 cầu thủ phân vào 11 vị trí trên sân để thi đấu chính thức. Hỏi có mấy cách chọn nếu:
a) Ai cũng có thể chơi ở bất cứ vị trí nào?
b) Chỉ có cầu thủ A làm thủ môn được, các cầu thủ khác chơi ở vị trí nào cũng được?
c) Có 3 cầu thủ chỉ có thể làm thủ môn được, các cầu thủ khác chơi ở vị trí nào cũng được?
Giải
a) Chọn 11 người trong 18 người, xếp vào 11 vị trí. Đây là chỉnh hợp chập 11 của 18 phần tử. Có : cách.
b) Chọn A làm thủ môn. Tiếp đến, chọn 10 người trong 17 người còn lại, xếp vào 10 vị trí.
Vậy có : cách.
c) Chọn 1 trong 3 người làm thủ môn, có 3 cách. Tiếp đến, chọn 10 người trong 15 người kia, xếp vào 10 vị trí, có cách.
Vậy, có: cách.
III. TỔ HỢP
1. Định nghĩa
Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
Chú ý:
Số k trong định nghĩa cần thỏa điều kiện
Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tập rỗng là tổ hợp chập 0 của n phần tử.
2. Số các tổ hợp

Số các tổ hợp chập k của n phần tử:
Ví dụ: Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách.
Giải
Cách 1: Ta có các trường hợp sau
3 người được chọn gồm 1 nữ và 2 nam.
chọn ra 1 trong 3 nữ ta có 3 cách.
chọn ra 2 trong 5 nam ta có cách
Suy ra có cách chọn
3 người được chọn gồm 2 nữ và 1 nam.
chọn ra 2 trong 3 nữ có cách.
chọn ra 1 trong 5 nam có 5 cách.
Suy ra có cách chọn.
3 người chọn ra gồm 3 nữ có 1 cách.
Vậy có cách chọn.
Cách 2: Số cách chọn 3 người bất kì là:
Số cách chọn 3 người nam cả là:
Vậy số cách chọn 3 người thỏa yêu cầu bài toán là:
cách.
3. Tính chất của các số
a) Tính chất 1:
b) Tính chất 2:
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Hoán vị
1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Số các số có năm chữ số khác nhau lập nên từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 là:

Hướng dẫn giải
Một số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau lập nên từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 là một hoán vị của năm chữ số đó. Vậy có tất cả (số).
Ví dụ 2: Người ta xếp 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Hóa và 3 quyển sách Lý lên một giá sách theo từng môn. Số cách sắp xếp sẽ là:
Hướng dẫn giải
Có 3 môn học nên có cách xếp sách theo môn.
Trong đó có cách xếp sách Toán, cách xếp sách Hóa, và cách xếp sách Lý. Vậy số cách xếp tất cả là:
Ví dụ 3: Một nhóm học sinh gồm 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng ngang. Số cách xếp để cho học sinh nam và nữ xen kẽ nhau là:
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Ví dụ 4: Số cách sắp xếp chỗ cho 10 khách ngồi quanh một bàn tròn (hai cách xếp được coi là như nhau nếu cách này nhận được từ cách kia bằng cách xoay bàn đi một góc nào đó) là:
Hướng dẫn giải
Ví dụ 5: Long và Hưng cùng 8 bạn rủ nhau đi xem bóng đá. Số cách xếp nhóm bạn trên vào 10 chỗ ngồi sắp hàng ngang sao cho Long và Hưng ngồi cạnh nhau là:
Hướng dẫn giải
Ví dụ 6: Có bao nhiêu cách dán 5 con tem khác nhau vào 5 phong bì khác nhau và mỗi phong bì một tem?
Hướng dẫn giải
Số cách dán 5 con tem vào 5 phong bì theo đề bài là số cách xếp có thứ tự 5 con tem vào 5 vị trí. Đó chính là số hoán vị của 5 phần tử.
Do đó đáp số là
Ví dụ 7: Có bao nhiêu cách xếp 5 nam và 3 nữ ngồi trên một băng ghế dài sao cho nam ngồi kề nhau và nữ ngồi kề nhau?
Hướng dẫn giải
• Xem 5 nam và 3 nữ lần lượt như 2 phần tửvà
• Số cách sắp xếpvàvào 2 vị trí là: (cách).
• Mỗi cách hoán vị 5 nam và 3 nữ cho nhau trong cùng một vị trí ta luôn thêm cách xếp khác nhau.
Vậy số cách xếp theo yêu cầu bài toán là:
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng có 5 đội bóng? (giả sử rằng không có hai đội nào có điểm trùng nhau)
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Số các khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng có 5 đội bóng là một hoán vị của 5 phần tử nên có cách.
Câu 2: Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 5 người ngồi vào một bàn dài?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Số cách sắp xếp khác nhau cho 5 người ngồi vào một bàn dài là một hoán vị của 5 phần tử nên có cách.
Câu 3: Số cách sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Số cách sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ là một hoán vị của 10 phần tử nên có cách.
Câu 4: Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Số cách sắp xếp sao cho bạn Chi luôn ngồi chính giữa là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Xếp bạn Chi ngồi giữa có 1 cách. Số cách xếp 4 bạn sinh An, Bình, Dũng, Lệ vào 4 chỗ còn lại là một hoán vị của 4 phần tử nên có có cách. Vậy có 24 cách xếp.
Câu 5: Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng luôn ngồi ở hai đầu ghế?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Xếp An và Dũng ngồi hai đầu ghế có cách xếp. Số cách xếp 3 bạn Bình, Chi, Lệ vào 3 ghế còn lại là một hoán vị của 3 phần tử nên có có cách. Vậy có cách.
Câu 6: Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng không ngồi cạnh nhau?
A. 24. B. 48. C. 72. D. 12.
Lời giải
Chọn C
Số cách xếp 5 bạn vào 5 chỗ trên ghế dài là một hoán vị của 5 phần tử nên có cách.
Số cách xếp sao cho bạn An và bạn Dũng luôn ngồi cạnh nhau là cách (An và Dũng ngồi cạnh nhau xem như 1 bạn; xếp 4 bạn vào 4 chỗ có cách; cách xếp An và Dũng ngồi cạnh nhau là )
Vậy số cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng không ngồi cạnh nhau là cách.
Câu 7: Có 3 viên bi đen khác nhau, 4 viên bi đỏ khác nhau, 5 viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Số các hoán vị về màu bi khi xếp thành dãy là
Số cách xếp 3 viên bi đen khác nhau thành dãy là
Số cách xếp 4 viên bi đỏ khác nhau thành dãy là
Số cách xếp 5 viên bi xanh khác nhau thành dãy là
Số cách xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau là cách.
Câu 8: Cô dâu và chú rể mời người ra chụp ảnh kỉ niệm, người thợ chụp hình có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho cô dâu, chú rể đứng cạnh nhau.
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Khi cô dâu, chú rể đứng cạnh nhau (có thể thay đổi vị trí cho nhau), ta coi đó là một phần tử và đứng với vị khách mời để chụp ảnh nên có cách sắp xếp.
Câu 9: Trên giá sách muốn xếp cuốn sách khác nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho tập và tập đặt cạnh nhau.
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Sắp xếp cuốn sách trên giá là một hoán vị của phần tử nên ta có cách sắp xếp.
Khi hai cuốn tập và tập đặt cạnh nhau (thay đổi vị trí cho nhau), ta coi đó là một phần tử và cùng sắp xếp với cuốn sách còn lại trên giá nên có cách sắp xếp.
Vậy có tất cả cách sắp xếp theo yêu cầu bài toán.
Câu 10: Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 người vào 4 ghế ngồi được bố trí quanh một bàn tròn?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Chọn 1 người ngồi vào 1 vị trí bất kì. Xếp 3 người còn lại vào 3 ghế trống của bàn là một hoán vị của 3 phần tử nên có có cách.
Câu 11: Có 4 nữ sinh tên là Huệ, Hồng, Lan, Hương và 4 nam sinh tên là An, Bình, Hùng, Dũng cùng ngồi quanh một bàn tròn có 8 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp biết nam và nữ ngồi xen kẽ nhau?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Giả sử các ghế ngồi đánh số từ 1 đến 8.
Chọn 1 bạn bất kì ngồi vào 1 vị trí ngẫu nhiên trên bàn tròn có 1 cách. (Nếu chọn 8 cách thì tức là nhầm với bàn dài). Xếp 3 bạn cùng giới tính còn lại vào 3 ghế (có số ghế cùng tính chẵn hoặc lẻ với bạn đầu) có cách.
Xếp 4 bạn còn lại ngồi xen kẽ 4 bạn đẫ xếp ở trên có cách.
Vậy có cách.
Câu 12: Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau:
A. B. 24. C. 1. D. 42.
Lời giải
Chọn B
Số các số tự nhiện có 4 chữ số khác nhau được tạo thành là một hoán vị của 4 phần tử bằng .
Dạng 2. Chỉnh hợp
1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Từ 10 bông hoa có chủng loại khác nhau và 4 cái lọ khác nhau, có bao nhiêu cách cắm 4 bông hoa vào 4 lọ và mỗi lọ 1 bông hoa?
A.
Hướng dẫn giải
Số cách cắm 4 bông hoa từ 10 bông hoa khác nhau vào 4 lọ khác nhau là một bộ 4 bông hoa có thứ tự.
Ví dụ: Gọi 4 bông hoa được chọn là A, B, C, D và 4 lọ hoa là Hai cách cắm sau đây là khác nhau:









A
B
C
D

B
A
C
D
Do đó số cách cắm bông theo yêu cầu bài toán là
Ví dụ 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số 1?
Hướng dẫn giải
Cách 1: Đem chữ số 1 xếp trước
• Số cách xếp chữ số 1 vào 1 trong 4 vị trí là: 4 (cách)
• Số cách xếp 4 chữ số còn lại vào 3 vị trí còn lại là (cách)
Vậy số các số tự nhiên cần tìm là: (số).
Cách 2: Dùng phần bù:
• Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau (không cần biết có hay không có chữ số 1) lấy từ là (số)
• Phần bù của tập các số phải có chữ số 1 là tập các số không có chữ số 1.
Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau (và không có chữ số 1) lấy từ là (số)
Vậy số các số tự nhiên cần tìm là: (số).
Ví dụ 3: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập thành bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau đôi một?
Hướng dẫn giải
Do đó số cách thành lập các số tự nhiên theo yêu cầu bài toán là số các chỉnh hợp chập 3 của 6 (chữ số):
Ví dụ 4: Từ 10 điểm phân biệt và không có ba điểm nào thẳng hàng, có thể lập được bao nhiêu vectơ?
Hướng dẫn giải
Để có một vectơ ta cần có 2 điểm phân biệt và để ý hai vectơ và là khác nhau. Do vậy số cách thành lập các vectơ là số cách chọn 2 điểm có thứ tự từ 10 điểm của đề bài.
Nghĩa là số cách thành lập các vectơ là số các chỉnh hợp chập 2 của 10 (điểm):
Ví dụ 5: Một lớp có 30 học sinh gồm 20 nam và 10 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 2 học sinh nam thi toán, lý và 2 học sinh nữ thi hóa, sinh? (Mỗi học sinh thi một môn).
Hướng dẫn giải
Số cách chọn 2 trong 20 nam thi toán, lý là (cách)
Số cách chọn 2 trong 10 nữ thi hóa, sinh là (cách)
Vậy số cách chọn theo yêu cầu bài toán là (cách).
Ví dụ 6: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số trong đó phải có chữ số lẻ?
Hướng dẫn giải
• Số các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau (không cần biết có hay không có chữ số lẻ) lấy từ các chữ số là (số).
• Số các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau (cả 3 chữ số đều chẵn) lấy từ là (số)
Vậy số các số tự nhiên cần tìm là: (số).
Ví dụ 7: Có bao nhiêu số có hai chữ số, mà các chữ số đều là số lẻ và khác nhau?
Hướng dẫn giải
Xét tập có 5 phần tử.
Số Vậy có
Ví dụ 8: Có thể có tối đa là bao nhiêu số điện thoại gồm 7 chữ số và các chữ số đều khác nhau?
Hướng dẫn giải
Xét tập
Số điện thoại Số có 10 cách chọn. Vì và nên có 9 cách chọn. Vậy có: cách.
Cách giải khác: Các số khác nhau từng đôi một nên ta có số cách chọn là
Nhận xét: Các bài toán dùng quy tắc nhân, bạn cũng nên dùng công thức tính số chỉnh hợp chập k của n, cho nhanh.
Ví dụ 9: Có 10 môn học và một ngày học 5 tiết. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các môn học trong ngày đó?
Hướng dẫn giải
Chọn 5 môn trong 10 môn cho ngày hôm đó, sau đó thay đổi thứ tự 5 môn học, ta có:
Ví dụ 10: Cho tập Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau và các chữ số 2; 4; 5 đồng thời có mặt?
A. 1800. B. 3600.
C. 10800. D. 4320.
Hướng dẫn giải
Xét ba vị trí trong 5 vị trí của số có 5 chữ số cần tìm để cho các chữ số 2, 4, 5. Ta có cách chọn. Còn lại hai vị trí cho các số khác trong Ta còn 6 chữ số. Vậy có cách chọn.
Cuối cùng, ta được:
3. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 6 người ngồi vào 4 chỗ trên một bàn dài?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Số cách xếp khác nhau cho 6 người ngồi vào 4 chỗ trên một bàn dài là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử. Suy ra có cách.
Câu 2: Giả sử có bảy bông hoa khác nhau và ba lọ hoa khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (mội lọ cắm một bông)?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Số cách xếp bảy bông hoa khác nhau vào ba lọ hoa khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử. Suy ra có cách.
Câu 3: Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mội lọ cắm không quá một một bông)?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Số cách cắm 3 bông hoa vào ba lọ hoa khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Suy ra có cách.
Câu 4: Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Số cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử. Suy ra có cách.
Câu 5: Trong mặt phẳng cho một tập hợp gồm 6 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm này?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Mỗi cặp sắp thứ tự gồm hai điểm cho ta một vectơ có điểm đầu và điểm cuối và ngược lại. Như vậy, mỗi vectơ có thể xem là một chỉnh hợp chập 2 của tập hợp 6 điểm đã cho. Suy ra có cách.
Câu 6: Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu 11 mét. Huấn luyện viên mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ để đá luân lưu 5 quả 11 mét. Hãy tính xem huấn luyện viên của mỗi đội có bao nhiêu cách lập danh sách gồm 5 cầu thủ.
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Số cách lập danh sách gồm 5 cầu thủ đá 5 quả 11 mét là số các chỉnh hợp chập 5 của 11 phần tử. Vậy có .