CHỦ ĐỀ 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
I. LÝ THUYẾT
Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta thực hiện như sau:
( Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.
( Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tùy ý (k ( 1), chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n( p, ta thực hiện như sau
+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
+ ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k ( p và phải chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1.
II VÍ DỤ
Ví dụ1: Chứng minh rằng:

Giải
Bước 1: Với n = 1 thì mệnh đề trở thành
là mệnh đề đúng
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k ( 1 nghĩa là:

Ta chứng minh rằng mệnh đề cũng đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh:


Thật vậy


Vậy mệnh đề đã cho đúng với mọi /
Ví dụ2: Chứng minh rằng:
chia hết cho 3 ,

Giải
Bước 1: Với
, vế trái bằng 9 chi hết cho 3. Mệnh đề đã cho đúng.
Bước 2: Giả sử mệnh đề đã cho đúng với
, tức là:
chia hết cho 3.
Ta chứng minh hệ thức đã cho cũng đúng với

Ta có:



Vậy
chi hết cho 3, ta được điều phải chứng minh.
III. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1. Chứng minh rằng với mọi n ( N*, ta có:
a) 1 + 2 + … + n =
b)

c)
d)

e)
f)

Bài 2. Chứng minh rằng với mọi n ( N*, ta có:











































với




Bài 3. Chứng minh rằng với mọi n ( N*, ta có:
a)
chia hết cho 6. b)
chia hết cho 3.
c)
chia hết cho 5. d)
chia hết cho 3.
e)
chia hết cho 7. f)
chia hết cho 6.
Bài 4. Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi
cạnh là
.
Bài 5. Cho tổng
, với

Tính
,
,
,

Hãy dự đoán công thức tính
và chứng minh bằng quy nạp
Bài 6. Cho tổng
, với

Tính
,
,
,

Hãy dự đoán công thức tính
và chứng minh bằng quy nạp
Bài 7. Cho
với

Tính
,
,
,

Hãy dự đoán công thức tính
và chứng minh bằng quy nạp
****************************************************************************
CHỦ ĐỀ DÃY SỐ
I. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa

dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, …
2. Dãy số tăng, dãy số giảm:
( (un) là dãy số tăng ( un+1> un với ( n ( N*.
( un+1 – un> 0 với ( n ( N*
(
với (n ( N* ( un> 0).
( (un) là dãy số giảm ( un+1< un với (n ( N*.
( un+1 – un< 0 với ( n ( N*
(
với (n ( N* (un> 0).
3. Dãy số bị chặn
( (un) là dãy số bị chặn trên ((M ( R: un( M, (n ( N*.
( (un) là dãy số bị chặn dưới ((m ( R: un( m, (n ( N*.
( (un) là dãy số bị chặn ((m, M ( R: m ( un( M, (n ( N*.
II VÍ DỤ
Ví dụ1: Xét tính tăng giảm của các dãy số:


Giải

. Nên là dãy số giảm.

. Nên là dãy số giảm.
Ví dụ2: Tìm số hạng tổng quát của dãy số: