PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH

Phương pháp 1

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

d1
d2

d2'

Hai đường thẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa

d 1'

chúng bằng
Phương pháp 2
Với
Phương pháp 3 (sử dụng định nghĩa)

lần lượt là hai VTCP của a và b

a

b

c

P

Nếu đường thẳng
với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P)

thì đường thẳng a vuông góc

Phương pháp 4 ( tính chất 5 - tr 99)
a

P

b

Nếu đường thẳng

thì mọi đường thẳng

đều vuông góc với a.

Phương pháp 5( HĐ 2 - tr 97 )
a
C

A

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác
thì nó vuông góc với cạnh còn lại.
B

Phương pháp 6 (suy ra từ định nghĩa -nx tr 94-sgk)
a

b

Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng
song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
c

Phương pháp 7 (Định lý ba đường vuông góc - tr 100 - sgk)
Cho đường thẳng a không vuông góc với mp (P) và cho
a

B
A

a'
A'

b

B'

đường thẳng b nằm trong mp (P). Khi đó điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a
là b vuông góc với hình chiếu a' của a trên (P).
-1-

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Bổ sung :( Sử dụng định nghĩa) : Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một
mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường nằm trong mặt phẳng đó.
a

P

b
I

c

Phương pháp 1( ĐL 1 - tr 97)
Nếu đường thẳng d vuông góc với hai
đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mp (P) thì đường thẳng d vuông góc với mp (P)

b

a

P

Phương pháp 2 (Tc 3 - tr 98 - sgk)
Mặt phẳng nào vuông góc với một
trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
a

P

Phương pháp 3 (tc 4 - tr99-sgk)
Đường thẳng nào vuông góc với một
trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại.
Q

Phương pháp 4 ( Sử dụng kết quả của HĐ3 - tr 98 - sgk)
d
M

C

A
O

B

Đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt cách đều ba đỉnh của
thì d vuông góc với mp (ABC).
N

Chú ý : Khái niệm trục của tam giác ABC : là đường thẳng vuông góc với mp(ABC) tại tâm của
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
a

c

Q

Phương pháp 5 (ĐL 3 - tr 106 - sgk)

P

P

a
c
H

Q
b

Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P),
vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q).

Phương pháp 6 (Hệ quả 2 - tr 107)

-2-

Q

a

P

R

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng
vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH : HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Phương pháp 1(s d đn) Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng
Phương pháp 2 (ĐL 2 - tr 105)
a

P

a

c

Q

c
H

Q
b

P

Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt
phẳng đó vuông góc với nhau.
Phương pháp 3
R

P

Q

Một mặt phẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng song
song thì vuông góc với mặt phẳng còn lại.

KHÁI NIỆM GÓC
1) Góc giữa hai đường thẳng :Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là góc giữa hai đường thẳng d1'
và d2' cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với d1và d2
d1
d2

d2'

d1'

2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt
phẳng (P) bằng 900 .
Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a' của nó
trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) .
a
a
a'
P

3) Góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

-3-

d
b

q

p

a
Q

R

P

P

Q

Chú ý : Khi hai mặt phẳng (P) và Q cắt nhau theo giao tuyến d , để tính góc giữa chúng, ta chỉ
việc xét một mặt phẳng (R) vuông góc với d , lần lượt cắt (P) và (Q) theo các giao tuyến p và q.
Lúc đó góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa hai đường thẳng p, q
B

C

A

D

E

B'

C'

A'
E'

D'

QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1: (VD – tr 101 – SGK)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mp(ABCD)
1. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD
a/ Chứng minh rằng
và
b/ Gọi K là giao điểm của SC với mp (AMN). Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường
chéo vuông góc
2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi
, AB = a
Giải
S

N

K
M

D

A
O
B

1.a/ * CMR:
+) Ta có:
+) Xét

C

(2 đường cao tương ứng)
(do
)
có

* CMR:
 Cách 1:
+) Vì
-4-

+) Có

(1đường thẳng

với 2 cạnh của 1 tam giác thì

với

cạnh còn lại)
CM tương tự ta có:
Vậy
 Cách 2:
+) Vì
SB là hình chiếu của SC trên (SAB)
Lại có:
+)
SD là hình chiếu của SC trên (SAD)
Lại có
Vậy từ (1) và (2) ta có:
 Cách 3:
+)
Mà
với AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)
+)
b/ CMR:
Có
Mặt khác: BD // MN
2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi
, AB = a
+) Vì AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)
góc giữa (ABCD) và SC là góc giữa SC
và AC
+) Vì
có AS = AC = a
góc cần tìm là
+)
vuông tại B có

Bài 2: (BT 16 – tr 103 – SGK)
Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b, CD = c
a/ Tính độ dài AD
b/ Chỉ ra điểm cách đều A, B, C, D
c/ Tính góc giữa đường thẳng AD và mp (BCD), góc giữa đường thẳng AD và mp
(ABC)
Giải
A

O

B

D

C

a/ Vì

và

nên
-5-

Mặt khác
Vậy
tức là:
b/ Vì

nên

(định lý ba đường vuông góc)

nên điểm cách đều bốn điểm A, B, C, D là trung điểm O của AD

Bài 3: (BT 17 – tr 103 – SGK)
Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc.
a/ Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn
b/ Chứng minh rằng hình chiếu H của điểm O trên mp (ABC) trùng với trực tâm tam
giác ABC
c/ Chứng minh rằng
Giải
O

C

A
H
B

A'

a/ Ta có:
Vậy
, tức là góc BAC của tam giác ABC là góc nhọn. Tương tự như
trên, ta chứng minh được tam giác ABC có cả ba góc đều nhọn.
b/ * Cách 1: Vì H là hình chiếu của điểm O trên mp (ABC) nên
Mặt khác
nên
Vậy
(định lý ba đường vuông góc), tức là H thuộc một đường cao của tam giác
ABC. Tương tự như trên, ta cũng có H thuộc đường cao thứ hai của tam giác ABC. Vậy
H là trực tâm của tam giác ABC.
* Cách 2: Nếu K là trực tâm của tam giác ABC thì
, mặt khác
nên
, suy ra
. Tương tự như trên ta cũng có:
. Vậy
, tức là K trùng với H.
c/ Nếu
tại thì
Vì OH là đường cao của tam giác vuông
(vuông tại O) và
là đường cao của
tam giác vuông BOC (vuông tại O) nên

Vậy
Bài 4: (BT 18 – tr 103 – SGK)
Cho hình chóp S.ABC có
, các tam giác ABC và SBC không vuông.Gọi H
và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:
-6-

a/ AH, SK, BC đồng quy
b/
c/
Giải
S

K
A

C

H

A'
B

a/ Gọi
là đường cao của tam giác ABC, do
nên
(định lý ba
đường vuông góc)
Vì H là trực tâm của tam giác ABC, K là trực tâm của tam giác SBC nên H thuộc
thuộc
Vậy AH, SK, BC đồng quy tại
b/ Do H là trực tâm của tam giác ABC nên
, mà
nên
Mặt khác K là trực tâm của tam giác SBC nên
Vậy
c/ Từ câu b ta suy ra
. Mặt khác
do
Vậy
Bài 5: (BT 19 – tr 103 – SGK)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là
trọng tâm của tam giác ABC
a/ Chứng minh rằng:
. Tính SG
b/ Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Tìm hệ thức liên hệ
giữa a và b để (P) cắt SC tại điểm
nằm giữa S và C. Khi đó hãy tính diện tích thiết
diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mp(P)
Giải
a/
S

A

C
H
B

Kẻ
, do
nên ta có
Mặt khác, ABC là tam giác đều nên H trùng với trọng tâm G của tam giác đó.
-7-

,K

Vậy

Từ đó:

(Với

)

b/
S
C1

A

C
G

C'
B

Dễ thấy
. Vì (P) đi qua A và vuông góc với SC nên AB nằm trong (P). Kẻ
đường cao
của tam giác SAC thì (P) chính là mp
Do tam giác SAC cân tại S nên điểm
nằm trong đoạn thẳng SC khi và chỉ khi
Điều này tương đương với
hay
Trong trường hợp này, thiết diện của hình chóp bị cắt bởi (P) là tam giác
(Với

là trung điểm của AB)

Mặt khác
Tức là:
Vậy
Bài 6: (BT 23 – tr 111 – SGK)
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a
a/ Chứng minh rằng AC' vuông góc với hai mặt phẳng (A'BD) và (B'CD')
b/ Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC'. Chứng minh thiết diện tạo
thành là một lục giác đều. Tính diện tích thiết diện đó.
Giải

-8-

M

B

C
N

D

A
S

P
B'

C'

R
A'

a/ Ta có
và
Vậy
Tương tự ta có
Vậy
Do

D'

Q

nên

b/ Gọi M là trung điểm của BC thì

(vì cùng bằng

)

nên M thuộc mặt phẳng trung trực
của
Tương tự, ta chứng minh được N, P, Q, R, S cũng có tính chất đó (N, P, Q, R, S lần lượt
là trung điểm của CD,
)
Vậy thiết diện của hình lập phương bị cắt bởi mp
là MNPQRS. Dễ thấy đó là lục
giác đều cạnh bằng
Từ đó ta tính được diện tích của thiết diện là:

Bài 7: (BT 24 – tr 111 – SGK)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và
định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc
Giải

, SA = x. Xác

S

O1
A

D
O

B

C

Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Trong mặt phẳng (SAC) kẻ
vuông góc với SC, dễ thấy mp
SC.
-9-

vuông góc với

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) bằng góc giữa hai đường thẳng
Mặt khác
mà
nên
Tương tự
, tức là
Như vậy, hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc
(Vì
cân tại )

và

khi và chỉ khi

Ta lại có:
Như vậy
Vậy khi x = a thì hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc
Bài 8: (BT 27 – tr 112 – SGK)
Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD
= BC = BD = a; CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a/ Tính AB, IJ theo a và x
b/ Với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc?
Giải
A

I

C

J

D

B

a/ Vì J là trung điểm của CD và AC = AD nên
Do
nên
Mặt khác: AC = AD = BC = BD nên tam giác AJB vuông cân,
suy ra
hay
Vậy

với a > x

Do IA = IB, tam giác AJB vuông tại J nên
b/ Rõ ràng là CI và DI vuông góc với AB. Vậy

Bài 9: (BT 16 – tr 117 – SBT)
- 10 -

, tức là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, cạnh bên SA = AB và SA vuông góc với
BC
a/ Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC
b/ Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ // BD. Chứng minh rằng góc
giữa AC và IJ không phụ thuộc vào vị trí của I và J
Giải
S

J
I

A

D

B

C

a/ Vì BC // AD nên góc giữa SD và BC bằng góc giữa SD và AD.
Từ giả thiết, ta có
nên
Mặt khác SA bằng cạnh của hình thoi ABCD, nên
là góc phải tìm.
Vậy góc giữa BC và SD bằng
b/ Do ABCD là hình thoi nên
Mặt khác IJ // BD nên
tức là góc giữa IJ và AC bằng
không đổi.
Bài 10: (BT 26 – tr 119 – SBT)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, và SA = SC, SB = SD. Gọi O là giao
điểm của AC và BD.
a/ Chứng minh rằng
b/ Gọi d là giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD); là giao tuyến của mp(SBC) và
mp(SAD). Chứng minh rằng
Giải
S

B

C
O

A

D

a/ Vì ABCD là hình bình hành và
nên OA = OC và OB = OD.
Mặt khác SA = SC nên
và SB = SD nên
Vậy
b/ Vì AB // CD mà
nên d // AB và d qua S
Tương tự
và qua S
Do
nên
- 11 -

Vậy
Bài 11: (BT 27 – tr 119 – SBT)
Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai
đường chéo AC và BF vuông góc Gọi CH và FK lần lượt là hai đường cao của hai tam
giác BCE và ADF. Chứng minh rằng
a/ ACH và BFK là các tam giác vuông
b/
và
Giải
K

A

D

F

B

H
E

C

a/ Ta có
Vậy ACH là tam giác vuông tại H
Tương tự, ta có BKF là tam giác vuông tại K
b/ Ta có
Mặt khác
Vậy
Tương tự ta có
Bài 12: (BT 28 – tr 119 – SBT)
a/ Cho tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của D trên mp(ABC)
và I là trung điểm của DH. Chứng minh rằng tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi một vuông
góc.
b/ Cho tứ diện IABC có IA = IB = IC và IA, IB, IC đôi một vuông góc; H là hình chiếu
của I trên mp(ABC) . Gọi D là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh tứ diện DABC
có các cạnh bằng nhau.
Giải
D

I

A

C
H

M

B

a/ Kí hiệu cạnh của tứ diện đã cho là a, dễ thấy H là trọng tâm của tam giác ABC. Từ đó
- 12 -

Do I là trung điểm của DH nên
Khi đó
Tức là:
Xét tam giác IBC có IM là trung tuyến và
Vậy
Tương tự như trên, ta có IA, IB, IC đôi một vuông góc
b/ Vì IA, IB, IC đôi một vuông góc, IA = IB = IC và H là hình chiếu của I trên
mp(ABC) nên ABC là tam giác đều nhận H làm trọng tâm.
Ngoài ra

hay

Do D là điểm đối xứng với H qua I nên

và DA = DB = DC

Đặt IA = x thì
Khi đó
Vậy
Do đó tứ diện DBCA có các cạnh bằng nhau
Bài 13: (BT 42 – tr 122 – SBT)
Cho hình vuông ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB là tam giác đều và
mp(SAB) vuông góc với mp(ABCD)
a/ Chứng minh rằng
và
b/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
c/ Gọi h và I lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh rằng
Giải
S

B

I
C

H
A

a/ Gọi H là trung điểm của AB thì

D

- 13 -

Do
nên
Mặt khác
Vậy
Từ đó
Tương tự như trên ta có
b/ Giả sử
, dễ thấy St // AD, từ đó
Do
nên góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng
c/ Vì ABCD là hình vuông; H, I lần lượt là trung điểm của AB và BC nên
khác
Vậy
, từ đó
.

, mặt

Bài 14: (BT 43 – tr 122 – SBT)
Cho hình chữ nhật ABCD với tâm O, AB = a, BC = 2a. Lấy điểm S trong không gian
sao cho SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) , đặt SO = h. Gọi M và N lần lượt là
trung điểm của AB và CD.
a/ Tính góc giữa mặt phẳng (SMN) với các mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tìm hệ thức
liên hệ giữa h và a để mp(SMN) vuông góc với các mặt phẳng (SAB) và (SCD)
b/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tính h theo a để hai mặt phẳng đó
vuông góc.
Giải
S

B

C

M
N

O
A

D

a/ Vì
nên
Vậy góc giữa
và
bằng
Tương tự như trên, góc giữa
và
Như vậy với AB = a, BC = 2a, h tuỳ ý thì
và
b/ Dễ thấy
Như vậy
, từ đó
hoặc
(SCD)
Tính
Ta có:

- 14 -

cũng bằng
vuông góc với cả hai mặt phẳng

là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và

Tức là
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là

mà

Từ đó hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) vuông góc khi và chỉ khi h = a
Bài 15: (BT 44 – tr 122 – SBT)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, cạnh bên SA vuông
góc với mặt đáy, SA = a. Tính:
a/ Các góc giữa hai mặt phẳng chứa các mặt bên và mặt phẳng đáy của hình chóp
b/ Góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bên liên tiếp hoặc hai mặt bên đối diện của hình
chóp.
Giải
S
C1

B

I

C

D

A
J

a/ Dễ thấy
nên góc giữa mặt bên (SAB) và (SAD) với mp(ABCD) bằng
Ta có
và SDA là tam giác vuông tại A nên
là góc giữa hai mặt phẳng
(SDC) và (ABCD)
Từ đó
Tương tự
Vậy mp(SCD) tạo với mp(ABCD) góc bằng

mà

và mp(SBC) tạo với

mp(ABCD) góc
b/ Vì
nên góc giữa hai mặt phẳng đó bằng
Ta cũng có
nên
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD) bằng
. Tương tự, ta cũng có góc giữa
hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng
Ta cần phải tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC)
Trong mp(ABCD), qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AC, nó cắt hai đường thẳng
BC và DC lần lượt tại I và J, thì
Do đó,
hoặc
là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD)
Ta có:
- 15 -

Đặt

thì

Đặt

thì

Đặt

thì

Vậy góc giữa mp(SBC) và (SCD) là

mà

Bài 16: (BT 46 – tr 123 – SBT)
Trong mp (P), cho hình thoi ABCD với AB = a,

. Trên đường thẳng vuông

góc với mặt phẳng (P) tại giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi, ta lấy điểm S
sao cho SB = a. Chứng minh rằng:
a/ Tam giác ASC vuông
b/ Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SAD) vuông góc với nhau.
Giải
S

A1

D

A
O

C

a/ Ta có

B

nên

Xét tam giác vuông SOB, ta có
Vậy tam giác SAC có trung tuyến SO bằng nửa AC nên SAC là tam giác vuông cân tại S
b/ Trong mặt phẳng (SOA) kẻ
vuông góc với SA thì
Từ đó
hoặc
là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD)
Ta có
Mặt khác

, từ đó

hay hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc.
- 16 -

Bài 17 : (BT 45 - tr 122- SBT)
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp(DBC). Gọi AE, BF là hai đường cao
của tam giác ABC; H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác DBC .
Chứng minh rằng :
a)mp ADE   mp ABC  va mp BFK   mp ABC 
c) HK  mp ABC 
Bài làm
A

F

D

C

H

K

B

a)Vì AD vuông góc (DBC) nên AD vuông góc BC
Mặt khác AE vuông góc BC. Vậy BC vuông góc (ADE), từ đó ta có (ABC) vuông góc
(ADE)
vì K là trực tâm tam giác DBC nên BK vuông góc DC. Theo giả thiết AD vuông
góc(DBC)
Vậy BK vuông góc với AC ( định lý 3 đương vuông góc).
Kết hợp với BF vuông gọc với AC ta có
AC vuông góc (BFK) từ đo (ABC) vuông góc (BFK)
b) từ a) ta có (BFK) vuông góc (ABC)
và (ADE) vuông góc (ABC)
HK là giao của (ADE) và (ABC)
Vậy HK vuông góc (ABC)
Bài 18 (bt51a - tr 124 - SBT)
S

D'

H

A
B

K
E

D

H'

K'

F

C

Trong mặt phẳng (P), cho hình chữ nhật ABCD với AB = b, BC = a. Gọi E, F lần lượt là
trung điểm của AD và BC. Trong mặt phẳng qua EF và vuông góc với (P)
Bài làm
Vì (SEF) vuông góc (ABCD)
và AD vuông góc EF
nên AD vuông góc (SEF)
Từ đó (SEF) vuông góc (SBC)
Dễ thấy (SAD) giao (SBC) tại St, St//AD
Do AD vuông góc (SEF), từ đó St vuông góc (SEF), tức là cung ESF hoặc 180o- cung
- 17 -

ESF là góc giữa hai mặt phẳng (ASD) và (SBC)
Vì S thuộc đường tròn đường kính È nên cung ESF là 90o
Bài 19 (BT 52 - tr 124-SBT)
Hình lập phương ABCD, A'B'C'D' cạnh a
a) Tính góc tạo bởi hai đường thẳng AC' và A'B
b) Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh A'B', BC, Đ'
Chứng minh rằng AC' vuông góc với mp( MNP)
A

D

C

N

B

P

D'

A'
M
B'

C'

Bài làm
a) ta có
nên
( định lý ba đường vuông góc)
Vậy góc giữa AC' và A'B bằng 90ob)
b) Ta có

Tương tự , ta có MN2=MP2=
Vậy MNP là tam giác đều mặt khác

Từ đó

Bài 20 (BT 54 - tr 124 m- SBT)
Hình lập phương ABCD, A'B'C'D' cạnh a . Xét tứ diện AB'CD'.Cắt tứ diện đó bằng mặt
phẳng đi qua tâm của hình lập phương và song song với mp(ABC). Tính diện tích thiết
diện thu được . Hãy xét kết quả của bài toán khi ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật
với ba kích thước là a,b,c
Bài làm

- 18 -

B'

C'

A'

D'
Q
M
P

N
B

A

C

D

Vì ABCD.A'B'C'D' là tứ diện đều
Dễ thấy thiết diện là tứ giác MNPQ
Trong đó M, N,P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB', AD', D'C,B'C.
Do AB'CD' là tứ diện đều nên B'D' vuông AC
Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông nên có diện tích là (a2:2)

Bài 21 ( BT 55a - tr 124 - sbt)
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a Gọi C1là trung
điểm của C'C
tính góc giữa hai đường thẳng C1B và A'B'. Tính góc giữa hai mặt phẳng (C1AB) và
(ABC)
C'
A'
C''
B'
O
C

A
M
B

Bài làm
Vì AB//A'B' nên góc giữa BC'' và A'B' là góc giữa BC'' và AB, Dễ thấy AC''=BC''
nên ABC'' là tam giác cân . từ đó
Vậy góc giữa AB và BC'' là
Gọi M là trung điểm của AB thì

Từ đó
Cũng từ kết quả trên, ta có
Nên góc giữa mp

và CMC'' là tam giác vuông tại C
là

Ta có
Vậy

hay góc giữa mp(ABC'') và mp(ABC) bằng 30o
- 19 -

ĐỀ BÀI
Bài 1: (VD – tr 101 – SGK)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mp(ABCD)
1. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD
a/ Chứng minh rằng
và
b/ Gọi K là giao điểm của SC với mp (AMN). Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường
chéo vuông góc
2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi
, AB = a
Bài 2: (BT 16 – tr 103 – SGK)
Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b, CD = c
a/ Tính độ dài AD
b/ Chỉ ra điểm cách đều A, B, C, D
c/ Tính góc giữa đường thẳng AD và mp (BCD), góc giữa đường thẳng AD và mp
(ABC)
Bài 3: (BT 17 – tr 103 – SGK)
Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc.
a/ Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn
b/ Chứng minh rằng hình chiếu H của điểm O trên mp (ABC) trùng với trực tâm tam
giác ABC
c/ Chứng minh rằng
Bài 4: (BT 18 – tr 103 – SGK)
Cho hình chóp S.ABC có
, các tam giác ABC và SBC không vuông.Gọi H
và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:
a/ AH, SK, BC đồng quy
b/
c/
Bài 5: (BT 19 – tr 103 – SGK)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là
trọng tâm của tam giác ABC
a/ Chứng minh rằng:
. Tính SG
b/ Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Tìm hệ thức liên hệ
giữa a và b để (P) cắt SC tại điểm
nằm giữa S và C. Khi đó hãy tính diện tích thiết
diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mp(P)
- 20 -

Bài 6: (BT 23 – tr 111 – SGK)
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a
a/ Chứng minh rằng AC' vuông góc với hai mặt phẳng (A'BD) và (B'CD')
b/ Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC'. Chứng minh thiết diện tạo
thành là một lục giác đều. Tính diện tích thiết diện đó.
Bài 7: (BT 24 – tr 111 – SGK)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và
, SA = x. Xác
định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc
Bài 8: (BT 27 – tr 112 – SGK)
Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD
= BC = BD = a; CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a/ Tính AB, IJ theo a và x
b/ Với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc?
Bài 9: (BT 16 – tr 117 – SBT)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, cạnh bên SA = AB và SA vuông góc với
BC
a/ Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC
b/ Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ // BD. Chứng minh rằng góc
giữa AC và IJ không phụ thuộc vào vị trí của I và J
Bài 10: (BT 26 – tr 119 – SBT)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, và SA = SC, SB = SD. Gọi O là giao
điểm của AC và BD.
a/ Chứng minh rằng
b/ Gọi d là giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD); là giao tuyến của mp(SBC) và
mp(SAD). Chứng minh rằng
Bài 11: (BT 27 – tr 119 – SBT)
Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai
đường chéo AC và BF vuông góc Gọi CH và FK lần lượt là hai đường cao của hai tam
giác BCE và ADF. Chứng minh rằng
a/ ACH và BFK là các tam giác vuông
b/
và
Bài 12: (BT 28 – tr 119 – SBT)
a/ Cho tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của D trên mp(ABC)
và I là trung điểm của DH. Chứng minh rằng tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi một vuông
góc.
b/ Cho tứ diện IABC có IA = IB = IC và IA, IB, IC đôi một vuông góc; H là hình chiếu
của I trên mp(ABC) . Gọi D là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh tứ diện DABC
có các cạnh bằng nhau.
Bài 13: (BT 42 – tr 122 – SBT)
Cho hình vuông ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB là tam giác đều và
mp(SAB) vuông góc với mp(ABCD)
a/ Chứng minh rằng
và
b/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
c/ Gọi h và I lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh rằng
Bài 14: (BT 43 – tr 122 – SBT)
- 21 -

Cho hình chữ nhật ABCD với tâm O, AB = a, BC = 2a. Lấy điểm S trong không gian
sao cho SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) , đặt SO = h. Gọi M và N lần lượt là
trung điểm của AB và CD.
a/ Tính góc giữa mặt phẳng (SMN) với các mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tìm hệ thức
liên hệ giữa h và a để mp(SMN) vuông góc với các mặt phẳng (SAB) và (SCD)
b/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tính h theo a để hai mặt phẳng đó
vuông góc.
Bài 15: (BT 44 – tr 122 – SBT)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, cạnh bên SA vuông
góc với mặt đáy, SA = a. Tính:
a/ Các góc giữa hai mặt phẳng chứa các mặt bên và mặt phẳng đáy của hình chóp
b/ Góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bên liên tiếp hoặc hai mặt bên đối diện của hình
chóp.
Bài 16: (BT 46 – tr 123 – SBT)
Trong mp (P), cho hình thoi ABCD với AB = a,

. Trên đường thẳng vuông

góc với mặt phẳng (P) tại giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi, ta lấy điểm S
sao cho SB = a. Chứng minh rằng:
a/ Tam giác ASC vuông
b/ Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SAD) vuông góc với nhau.
Bài 17 : (BT 45 - tr 122- SBT)
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp(DBC). Gọi AE, BF là hai đường cao
của tam giác ABC; H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác DBC .
Chứng minh rằng :

Bài 18 (bt51a - tr 124 - SBT)
Trong mặt phẳng (P), cho hình chữ nhật ABCD với AB = b, BC = a. Gọi E, F lần lượt là
trung điểm của AD và BC. Trong mặt phẳng qua EF và vuông góc với (P)
Lời giải
Bài 1:
1.a/ * CMR:
+) Ta có:
+) Xét

(2 đường cao tương ứng)
(do
)
có

* CMR:
 Cách 1:
+) Vì
+) Có

(1đường thẳng

cạnh còn lại)
- 22 -

với 2 cạnh của 1 tam giác thì

với

CM tương tự ta có:
Vậy
 Cách 2:
+) Vì
SB là hình chiếu của SC trên (SAB)
Lại có:
+)
SD là hình chiếu của SC trên (SAD)
Lại có
Vậy từ (1) và (2) ta có:
 Cách 3:
+)
Mà
với AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)
+)
b/ CMR:
Có
Mặt khác: BD // MN
2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi
, AB = a
+) Vì AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)
góc giữa (ABCD) và SC là góc giữa SC
và AC
+) Vì
có AS = AC = a
góc cần tìm là
+)
vuông tại B có
Bài 17 (Đề số 32 – tr 42- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009)
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam gíac cân với AB = AC = a và góc
, cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung điểm CC'. Chứng minh rằng tam giác AB'I
vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I).
Lời giải
A'

C'
B'

a

I
H

A

C
a

a
B

+)SÏ tÝnh ®îc :

VËy

vu«ng t¹i A
- 23 -

+)Chó ý r»ng

chÝnh lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña

nªn ta cã:

Bài 18 (Đề số 34 – tr 45- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của
điểm A' lên mặt phẳng (ABC) là trực tâm H của tam giác ABC, góc giữa đường thẳng
chứa cạnh bên và mặt phẳng đáy của hình lăng trụ bằng . Chứng minh rằng hai đường
thẳng AA' và BC vuông góc với nhau. Tính diện tích mặt bên BCC'B' của hình lăng trụ.
Lời giải
A'

C'
B'

A

H

C
M

B

Gäi H lµ trùc t©m
mp(ABC)
Ta cã
MÆt bªn
Trong

.Theo gi¶ thiÕt

nªn AH lµ h×nh chiÕu cña

trªn

lµ h×nh ch÷ nhËt
®Òu c¹nh a H lµ trùc t©m còng lµ träng t©m nªn

Trong tam gi¸c vu«ng
VËy
Bài19 ( Đề CĐ Giao thông Vận tải 2007)(Đề số 35 – tr 46- stt ĐTTS 2002-2003 đến
2008-2009)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A, biết AB = AC =
AA' = a (a > 0) .Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BC'.
Lời giải

- 24 -

z
A'

C'

B'

C

y

A

B
x

Chonj trôc hÖ to¹ ®é 0xyz sao cho c¸c ®Ønh cña h×nh l¨ng trô cã to¹ ®é lµ:
A(0;0;0),B(a;0:0),
C(0;a;0),
cã

chÐo nhau
KHo¶ng c¸ch gi÷a hai ®êng th¼ng AC vµ

lµ:

Bài 20 ( Đề CĐ Khối A- 2007)(Đề số 37 – tr 49- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng
, cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng đáy và Sa = 2a. Tính khoảnh cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a.
Lêi gi¶i

- 25 -

S

H

C
A

M
B

Gîi M lµ trung ®iÓm cña BC ta cã

®Òu)

(1)
KÎ

t¹i H,
. VËy
Cã AM lµ ®êng cao cña

theo (1)
®Òu ABC c¹nh

Cã AH lµ ®êng cao cña

vu«ng SAM ta cã
(®¬n vÞ dµi)

Bài 21 ( Đề CĐ cơ khí luyện kim - 2007)(Đề số 38 – tr 49- stt ĐTTS 2002-2003 đến
2008-2009)
Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc BC, AD = a và
khoảng cách từ D đến BC bằng a. Gọi H, I lần lượt là trung điểm của BC và AH. Chứng
minh BC vuông góc mặt phẳng (ADH) và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai
đường thẳng AD, BC.
Lêi gi¶i
D

K

C
A

H

I
B

+)Theo gi¶ thiÕt
Vµ
MÆt kh¸c:

®Òu.

+)Trong mÆt ph¼ng (ADH) dùng
- 26 -

V×

KH lµ ®êng vu«ng gãc chung cña AD vµ BC
Theo gt ta cã:
c©n t¹i D

Mµ
VËy
Bài 22 ( Đề CĐ sư phạm VP K D-B - 2007)(Đề số 39 – tr 51- stt ĐTTS 2002-2003 đến
2008-2009)
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D', M và N là trung điểm BC và C'D'. mặt phẳng
(AMN) cắt đường thẳng B'C' ở P. Tính tỉ số
Lêi gi¶i
Nèi AM c¾t CD t¹i Q
Gäi
(TalÐt)

®ång d¹ng
®ång d¹ng

Bài 23 ( Đề CĐ khối -B - 2007)(Đề số 40 – tr 52- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có SA = SC, SB = SD.
Chứng minh rằng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Lêi gi¶i
c©n vµ
c©n vµ
.VËy
Bài 24 ( Đề CĐ khối -D - 2007)(Đề số 41 – tr 53- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và
. Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp S.ABCD.
Lêi gi¶i

- 27 -

S

N

M

I

K

D

C

O
A

H

B

Goi H,K lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB vµ CD, ta cã:

Gäi

lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh bµng a

do

vµ

I lµ trung ®iÓm cña SK vµ M,N lÇn lît lµ trung diÓm cña SC,SD
Tø gi¸c ABMN lµ h×nh thang c©n , cã diÖn tÝch lµ:
Bài 25( Đề CĐ Công nghiệp Tp HCM 2007)(Đề số 42 – tr 54- stt ĐTTS 2002-2003 đến
2008-2009)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Các mặt bên (SAB) và (SCD)
tạo với nhau một góc 600. Qua AB dựng mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
(SCD), cắt SC và SD lần lượt tại M và N. Tính diện tích thiết diện ABMN.
Bài làm
S

N

I

K

D

M

C

O
A

H

B

Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và CD ta có:

Gọi

là tam giác đều cạnh a

- 28 -

Do (ABMN) vuông góc với (SCD) và (SHK)vuông góc với (SCD)
Suy ra
I lµ trung ®iÓm cña SK vµ M,N lÇn lît lµ trung diÓm cña SC,SD
Tø gi¸c ABMN lµ h×nh thang c©n , cã diÖn tÝch lµ:

Bài 26 ( Đề CĐ KTKT- 2007)(Đề số 44 – tr 57- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009)
Cho tứ diện ABCD có : AB = CD = a; AC = BD = b; BC = AD = c. Chứng minh rằng
bốn mặt của tứ diện là các tam giác có 3 góc nhọn.
Bài làm
Vì 4 mặt của tứ diện là các tam giác bằng nhau nên
Xét tam giác ACD có:

Tại góc tam diện đỉnh A có :
Cộng 2 vế của (1) dốc
ta có:
, ác góc khác chứng minh tương tự.
Vậy 4 mặt tứ diện là các tam giác có 3 góc nhọn
Bài 27 ( Đề CĐ SP – HD - 2006)(Đề số 54 – tr 67- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, đường cao
. Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp SABCD.
Bài làm
S

I

N

M

K

D

C
O

A

B

H

Gọi H,K lần lượt là trung điểm của AB và CD, ta có:

là tam giác đều cạnh bằng a
- 29 -

Gọi
Do

và

là trung điểm của SK và m, N lần lượt là trung điểm của SC, SD.
Tứ giác ABMN là hình thang cân , có diện tích là :
, với AB=a,
Ta có
Bài 28( Đề CĐ HV – 2006)(Đề số 55 – tr 69- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
Bài làm
S

I

K

A

B
O
D
C

Ta có

và
và kẻ
tại K;
là đường vuông góc chung của SC và BD

Khoảng cách d(SC;BD)=OK=

tại O trong mặt phẳng (SAC), kẻ

( vì OK//AI, qua O là trung điểm AC).

Trong tam giác vuông AIC, ta có:

Vậy d(BD; SC)=OK=
Bài 29( Đề ĐH Khối A – 2002)(Đề số 19 – tr 26 - stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần
lựot là trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết
rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Bài làm
- 30 -

S

N
I
M

C

A
K

B

Gọi K là trung điểm của BC và I=
Từ giả thiết
MN//BC I là trung điểm của SK và MN
Ta có
cân tại A suy ra
Mặt khác

Suy ra

cân tại A

Ta có
Bài 30( Đề ĐH Khối B – 2002)(Đề số 20 – tr 28 - stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009)
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có các cạnh bằng a.
a.Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D.
b.Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh B1B, CD, A1D1. Tính góc giữa
hai đường thẳng MP và C1N.
Bài làm

- 31 -

A'

D'

B'

C'
G

I

A

D

B

C

a)Tìm khoảng cách giữa A;B và B'D
Chọn hệ tọa độ đề các vuông góc 0xyz sao cho
A(0;0;0), B(a;0;a),D(0;a;0),A'(0,0,a)

Vậy
c) từ trên ta tìm được M,N,P
Vậy MP vuông góc với C'N
Bài...