1

MÃ KÍ HIỆU

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm 2023
MÔN: TOÁN HỌC

(PHẦN NÀY DO PHÒNG GD&ĐT GHI)

…………………………..

Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)

Câu 1(4,0 điểm).
1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)

b)

.

2. Thực hiện phép tính:
Câu 2(4,0 điểm).
1. Giải phương trình:
a)
2. Cho

.

b)

là các số thực dương thỏa mãn

.
Chứng minh rằng:

Câu 3(4,0 điểm).
a) Đa thức f(x) khi chia cho

dư 4, khi chia cho

dư

f(x) cho
b) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho
chúng chia hết cho 9.
Câu 4(6,0 điểm)
Cho tam giác

vuông tại A

có

. Tìm phần dư khi chia
thì tổng các lập phương của

là tia phân giác của

. Gọi M và N

lần lượt là hình chiếu của D trên
và
là giao điểm của
và
là giao điểm
của CM và
a) Chứng minh tứ giác
là hình vuông và
b) Gọi là giao điểm của
và
Chứng minh
đồng dạng với
và H là
trực tâm
c) Gọi giao điểm của
và
là K, giao điểm của
và BC là O, giao điểm của
và AD là

Chứng minh :

Câu 5(2,0 điểm). Tìm các số nguyên

.
thỏa mãn:

.

2

………………………………………..HẾT……………………………………………
MÃ KÍ HIỆU
HƯỚNG DẪN CHẤM
(PHẦN NÀY DO PHÒNG GD&ĐT GHI)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
…………………………..
Năm 2023
MÔN: TOÁN HỌC
(Hướng dẫn chấm gồm 05 câu, 05 trang)

Câu
Câu 1
(4 điểm)

Chú ý: Học sinh làm theo cách khác, đúng vẫn đạt điểm tối đa
Hướng dẫn chấm

Điểm

1(2,0 điểm)
a(1,0 điểm)
0,5
0,5
b(1,0 điểm)
0,5
0,5
2(2,0 điểm).
0,5
0,5
0,5

0,5
Câu 2
(4 điểm)

a(1,0 điểm)

0,25
0,25

3

0,25
0,25

Vậy tập nghiệm của phương trình là
b(1,0 điểm)

0,25

Đặt
Phương trình đã cho trở thành:

0,25

0,25

0,25
Vậy nghiệm của phương trình là:
2(2,0 điểm)
0,5
Tương tự:
0,5
Do đó:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

0,5

0,5
Vậy
a(2,0 điểm)

Câu 3
( 4 điểm) Theo định lí bơ-zu ta có: f(x) chia

. Dấu “=” xảy ra
0,5

dư 4 => f(-1) = 4.

Do bậc của đa thức chia
là 3 nên đa thức dư có dạng
Gọi thương là q(x).Theo định nghĩa phép chia còn dư, ta có :

.

4

Mà f(x) chia cho
Mặt khác f(-1)=4

dư
(1)
a -b+ c = 4 (2) . Do đó ta có :

0,5
0.5

0,5

Vậy đa thức dư cần tìm có dạng:
b(2,0 điểm)
Gọi 2 số phải tìm là

và

, ta có

chia hết cho 3

Ta có:
Vì

chia hết cho 3 nên

Do vậy,

Câu 4
( 6 điểm)

chia hết cho 3.

1,0
1,0

chia hết cho 9

A
N
M

H

E
B

K

LF
OD

C

a. (2.0 điểm)
Chứng minh tứ giác
là hình vuông và
* Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông
+) Chứng minh
Suy ra tứ giác

0.25
là hình chữ nhật

0.25

5

0.25

+) Hình chữ nhật
có AD là phân giác của
nên tứ giác
là hình vuông.
* Chứng minh EF // BC
+) Chứng minh :

0.25
0.25

và

0.25

Chứng minh

0.25

Chứng minh

0.25

Từ
suy ra
b) 2.0 điểm.
Gọi là giao điểm của
và
trực tâm
* Chứng minh
Chứng minh

Chứng minh

đồng dạng với

và H là

0.25

suy ra

Chứng minh

0.25

và

Chứng minh

0.25

Suy ra

0.25

Từ (5) (6) (7) (8) suy ra
* Chứng minh H là trực tâm tam giác AEF
Vì

Mà
Suy ra
Tương tự:
suy ra H là trực tâm
c) 2.0 điểm.
Gọi giao điểm của
và AD là
Đặt

0.25

nên

0.25
0.25
0.25
và

là K, giao điểm của

Chứng minh :
Khi đó:

và BC là O, giao điểm của

0.25

6

0.5

Theo định lý AM-GM ta có:

0.5

Tương tự :

Câu 5
( 2 điểm)

Suy ra
Dấu
Ta có:

0.5
xảy ra khi và chỉ khi

là tam giác đều, suy ra trái với giả thiết.

0,25
0,5

0,5
Ta thấy

Với
Với
Với

nên

thay vào
thay vào
thay vào

ta được:
ta có:
ta có

do

nguyên nên

0,75

tìm được
, không tìm được
không tìm được

Vậy

------------------ Hết --------------

nguyên
nguyên

0,25