SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT
NĂM HỌC: 2020 – 2021
Môn: Toán – Lớp 10
Thời gian làm bài: 180 phút

ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1. (5,0 điểm)

1. Cho hàm số

có đồ thị

tham số thực). Tìm tất cả các giá trị của
là

,

để

thỏa mãn
với

là

tại hai điểm phân biệt có hoành độ

có đồ thị

, trong đó các điểm

dương nằm trên

cắt

(

.

2. Cho hàm số
hình vuông

và đường thẳng

. Biết đỉnh của

là tâm của một

nằm trên trục hoành và các điểm

. Tính giá trị của biểu thức

có tung độ
.

Câu 2. (6,0 điểm)
1. Cho phương trình:
giá trị của tham số

(

là tham số thực). Tìm tất cả các

để phương trình có nghiệm.

2. Giải phương trình:

.

3. Giải hệ phương trình:

.

Câu 3. (5,0 điểm)
1. Cho tam giác đều
,

cạnh bằng

. Gọi

với

là giao điểm của

và

2. Cho tam giác
có độ dài các cạnh
tiếp là . Một đường thẳng bất kì đi qua cắt các cạnh
của biểu thức

. Gọi

là các điểm thỏa mãn

. Chứng minh
tại

.

, có tâm đường tròn nội
. Tìm giá trị nhỏ nhất

.

Câu 4. (2,0 điểm)
Cho tam giác

thỏa mãn:

và

điểm của cạnh
và là trọng tâm của tam giác
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho các số thực dương
thỏa mãn:

. Gọi
. Tìm diện tích tam giác

là trung
.

. Chứng minh rằng:
.

---HẾT--Họ và tên thí sinh………………………………..Số báo danh…………………………………..
Người coi thi số 1………………………….. Người coi thi số 2…………………………………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT
NĂM HỌC: 2020 – 2021
Môn: Toán – Lớp 10
Thời gian làm bài: 180 phút

HÀ NAM

I. HƯỚNG DẪN CHUNG

HƯỚNG DẪN CHẤM
(Hướng dẫn chấm gồm 06 trang)

o Lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm
khác mà đúng thì vẫn cho điểm theo thang điểm tương ứng.
o Điểm toàn bài không làm tròn.

II. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
CÂU

Câu 1.
( 5,0
điểm)

SƠ LƯỢC LỜI GIẢI

1. Cho hàm số
(

có đồ thị

và đường thẳng

là tham số thực). Tìm tất cả các giá trị của

phân biệt có hoành độ là
PTHĐ giao điểm của

,

thỏa mãn

và

là:

ĐIỂM

cắt
tại hai điểm phân biệt có hoành độ là
có hai nghiệm phân biệt
.

để

cắt

tại hai điểm

2,5

.
0,25

,

khi và chỉ khi PT

0,25
0,5

0,25

Theo Vi-et ta có:
Từ yêu cầu ta có

0,25
0,25
0,25

So sánh với điều kiện

suy ra

0,5

2. Cho hàm số

với

tâm của một hình vuông

, trong đó các điểm

và các điểm

có đồ thị

có tung độ dương nằm trên

. Biết đỉnh của

là

nằm trên trục hoành

. Tính giá trị của biểu thức

2,5

.

0,5

Từ giả thiết bài toán ta vẽ được hình minh họa như trên
Tọa độ đỉnh của parabol
Từ hình suy ra
Thay tọa độ điểm

0,5

vào parabol

ta được:
0,5

(*)
Vì

nên (*)
0,5

Khi đó
Câu 2.
( 6,0
điểm)

1. Cho phương trình:
cả các giá trị của tham số
ĐKXĐ

0,5

( là tham số thực). Tìm tất
để phương trình có nghiệm.

2,0
0,25

Bình phương hai vế của PT ta được
(1)
Đặt

, có

PT (1) trở thành:
Ta có BBT của hàm số

0,25
0,25

(2)

0,25

0,5

Dựa vào BBT suy ra PT (2) có nghiệm khi
Vậy PT ban đầu có nghiệm khi

0,5

.

Bản word phát hành trên website Tailieuchuan.vn
2. Giải phương trình:
Điều kiện:

2,0
.

0,25

PT

0,25

Đặt

.

Phương trình trở thành:
+) Với

0,25

.

0,25

, ta được

(thoả đk).

+) Với
, ta được
(*)
Nhận thấy
là một nghiệm của PT (*) thỏa mãn điều kiện
Với
thì
suy ra PT (*) vô nghiệm
Với
thì
suy ra PT (*) vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:
.

0,5

0,5

3. Giải hệ phương trình sau:
.
Điều kiện:
PT (1)

.

2,0

0,5

vì
Thay

0,25

vào PT (2) ta được

0,5

+)

(tm)

0,25

+)

(3)

Với mọi

, ta có
0,5

Do đó

(tm)

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm
Câu 3.
( 5,0
điểm)

1. Cho tam giác đều
,

cạnh bằng
. Gọi

và
. Gọi

là giao điểm của

.
là các điểm thỏa mãn
và

. Chứng minh

2,5

.
0,5

Có

với

Lại có

nên từ

0,25

Suy ra

0,5

Từ giả thiết ta có

0,5

Có
0,25

0,5

vuông tại I.
2. Cho tam giác
có độ dài các cạnh
tròn nội tiếp là . Một đường thẳng bất kì đi qua
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

, có tâm đường
cắt các cạnh
tại
.

2,5

0,5

Có

Có

là chân đường phân giác trong của góc

là chân đường phân giác trong của góc
0,5

Ta có
Do

0,5

thẳng hàng nên suy ra

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

0,5
0,5

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của
Câu 4.
( 2,0
điểm)

Cho tam giác

bằng

khi

thỏa mãn

trung điểm của cạnh
tam giác
.

và

.
và

. Gọi

là trọng tâm của tam giác

là

. Tìm diện tích

2,0

0,25

Đặt

. Áp dụng định lí sin cho

Khi đó

ta có:

(*)

Áp dụng định lí cosin cho

0,25

ta có:
0,25

nên (*)
0,25

tam giác
Ta có
Câu 5
( 2,0
điểm)

Cho các số thực dương

vuông tại

và

0,5

.

0,5

thỏa mãn:

. Chứng minh rằng:
.

0,5

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
Tương tự

2,0

;

Ta cần chứng minh BĐT
hay

(1)

Ta có
0,5

mà
Tương tự

;

Để chứng minh (1) ta cần chứng minh

0,5

hay
Áp dụng bất đẳng thức

(2)
ta được:
=1

Dấu bằng xảy ra khi

(đpcm).

0,5