Thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Bình Định
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có AB < AC, các đường cao BE, CF của
tam giác ABC cắt nhau tại H, đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại K.
1. Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.
2. Chứng minh hai tam giác KBF và KEC đồng dạng, từ đó suy ra KB.KC = KF.KE
3. Đường thẳng AK cắt đường tròn (O) tại G khác A, chứng minh các điểm A, G, F, E, H
cùng thuộc một đường tròn.
4. Gọi I là trung điểm BC, chứng minh HI vuông góc với AK

A
G

E
F

O
H

K

B

C

I
M

HD: 3. Ta chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp (1) vì
Vì tứ giác AGBC nội tiếp (O) nên
Do đó

KGB

KCA (g.g) => KG.KA = KB.KC (2)

Mà KB.KC = KE.KF (3) chứng minh câu 2
Từ (2) và (3) Suy ra : KE.KF = KG.KA hay
Xét
Do đó

KGF và
KGF

KEA có

chung và

KEA (c.g.c) =>

Suy ra tứ giác AGFE nội tiếp (4)
Tử (1) và (4) suy ra năm điểm A, G, F, E, H cùng thuộc một đường tròn.
4. Kẻ đường kính AM ta có
nên MG AK (5)
Ta chứng minh tứ giác BHCM là hình bình hành
=> ba điểm H, I, M thẳng hàng (6)
Vì năm điểm A, G, F, E, H cùng thuộc một đường tròn.
Nên tứ giác AGHE nội tiếp =>
Mà
= 90o =>
hay HG AK (7)
Từ (5); (6) và (7) suy ra G, H, I, M thẳng hàng
Vậy HI AK