Trích câu 49101; 49102; 49113; 50106 đề thi tốt nghiệp THPT 2023
Câu 49101: Trong không gian Oxyz , xét mặt cầu  S  có tâm I  4;8;12  và bán kính R thay đổi. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của R sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của  S  trong mặt phẳng

 Oyz 

mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua O và góc giữa chúng không nhỏ hơn 60 ?
A. 6.
B. 2.
C. 10.
D. 5.
Câu 49102: Trong không gian Oxyz , xét mặt cầu  S  có tâm I  3;7;12  và bán kính R thay đổi. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của R sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của  S  trong mặt phẳng

 Oyz 

mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua O và góc giữa chúng không nhỏ hơn 60 ?
A. 11.
B. 7.
C. 5.
D. 3.
Câu 49113: Trong không gian Oxyz , xét mặt cầu  S  có tâm I  5;6;12  và bán kính R thay đổi. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của R sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của  S  trong mặt phẳng

 Oyz 

mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua O và góc giữa chúng không nhỏ hơn 60 ?
A. 6.
B. 2.
C. 4.
D. 9.
Câu 50106: Trong không gian Oxyz , xét mặt cầu  S  có tâm I  3;5;12  và bán kính R thay đổi. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của R sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của  S  trong mặt phẳng

 Oyz 

mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua O và góc giữa chúng không nhỏ hơn 60 ?
A. 4.
B. 6.
C. 2.
D. 10.

Lời giải
Câu 49101: Trong không gian Oxyz , xét mặt cầu  S  có tâm I  4;8;12  và bán kính R thay đổi. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của R sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của  S  trong mặt phẳng

 Oyz 

mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua O và góc giữa chúng không nhỏ hơn 60 ?
A. 6.
B. 2.
C. 10.
D. 5.
Giải :
Chọn D

Giả sử 2 tiếp tuyến OA, OB , theo giả thiết suy ra  OA, OB   60 .


 AOB
Vì  OA, OB  = 
0

180  AOB

khi

00  AOB  900

khi 900  AOB  1800

Suy ra 30  AOH  60
Gọi H là hình chiếu của I trên  Oyz  , suy ra H  0;8;12  , suy ra OH  4 13
Xét tam giác OAH có: HA  OH sin AOH  4 13 sin 60  2 39
và HA  OH sin AOH  4 13 sin 30  2 13
Ta có 2 13  HA  2 39  52  AH 2  156
 52  16  AH 2  IH 2  156  16
 68  IA2  172  68  R2  172 hay 8, 24  R  13,11.
Mà R 
 R 9;10;...;13 .
Vậy có tất cả 5 giá trị của R .
Câu 49102: Trong không gian Oxyz , xét mặt cầu  S  có tâm I  3;7;12  và bán kính R thay đổi. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của R sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của  S  trong mặt phẳng

 Oyz 

mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua O và góc giữa chúng không nhỏ hơn 60 ?
A. 11.
B. 7.
C. 5.
D. 3.
Giải :
Chọn C

Giả sử 2 tiếp tuyến OA, OB , theo giả thiết suy ra  OA, OB   60 .


 AOB
Vì  OA, OB  = 
0

180  AOB

khi

00  AOB  900

khi 900  AOB  1800

Suy ra 30  AOH  60
Gọi H là hình chiếu của I trên  Oyz  , suy ra H  0;7;12  , suy ra OH  193
579
2
193
và HA  OH sin AOH  193 sin 30 
2
193
579
193
579
193
579
Ta có
 HA 

 AH 2 
 9  AH 2  IH 2 
9
=> 
2
2
4
4
4
4
229
615
229
615
hay 7,56  R  12,39 .

 IA2 

 R2 
4
4
4
4
Mà R 
 R 8;9;10;...;12 .

Xét tam giác OAH có: HA  OH sin AOH  193 sin 60 

Vậy có tất cả 5 giá trị của R .
Câu 49113: Trong không gian Oxyz , xét mặt cầu  S  có tâm I  5;6;12  và bán kính R thay đổi. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của R sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của  S  trong mặt phẳng

 Oyz 

mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua O và góc giữa chúng không nhỏ hơn 60 ?
A. 6.
B. 2.
C. 4.
D. 9.
Giải :
Chọn C

Giả sử 2 tiếp tuyến OA, OB , theo giả thiết suy ra  OA, OB   60 .


 AOB
Vì  OA, OB  = 
0

180  AOB

khi

00  AOB  900

khi 900  AOB  1800

Suy ra 30  AOH  60
Gọi H là hình chiếu của I trên  Oyz  , suy ra H  0;6;12  , suy ra OH  6 5
Xét tam giác OAH có: HA  OH sin AOH  6 5 sin 60  3 15
và HA  OH sin AOH  6 5 sin 30  3 5
Ta có 3 5  HA  3 15  45  AH 2  135 =>  45  25  AH 2  IH 2  135  25
 70  IA2  160  70  R2  160 hay 8,36  R  12,64 .
Mà R 
 R 9;10;...;12 .

Vậy có tất cả 4 giá trị của R .

Câu 50106: Trong không gian Oxyz , xét mặt cầu  S  có tâm I  3;5;12  và bán kính R thay đổi. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của R sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của  S  trong mặt phẳng

 Oyz 

mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua O và góc giữa chúng không nhỏ hơn 60 ?
A. 4.
B. 6.
C. 2.
D. 10.
Giải :
Chọn A

Giả sử 2 tiếp tuyến OA, OB , theo giả thiết suy ra  OA, OB   60 .


 AOB
Vì  OA, OB  = 
0

180  AOB

khi

00  AOB  900

khi 900  AOB  1800

Suy ra 30  AOH  60
Gọi H là hình chiếu của I trên  Oyz  , suy ra H  0;5;12  , suy ra OH  13
13 3
2
13
và HA  OH sin AOH  13sin 30 
2
13
13 3
169
507
169
507
Ta có
 HA 

 AH 2 
 9  AH 2  IH 2 
9
=> 
2
2
4
4
4
4
205
543
205
543
hay 7,15  R  11,65 .

 IA2 

 R2 
4
4
4
4
Mà R 
 R 8;9;10;...;11 .
Vậy có tất cả 4 giá trị của R .

Xét tam giác OAH có: HA  OH sin AOH  13sin 60 