Lời giải THCS của bài 2 IMO 2023
Đề bài: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn
(O). Gọi S là điểm chính giữa cung lớn BAC. Đường cao kẻ từ A
của tam giác ABC cắt BS tại D và cắt (O) tại E. Đường thẳng kẻ
qua D song song với BC cắt BE tại L. Đường tròn ngoại tiếp tam
giác BDL cắt (O) tại G (khác B). Chứng minh rằng tiếp tuyến tại
G của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDL cắt BS tại một điểm
nằm trên tia phân giác của góc BAC.
Một hướng giải:
S
A

G
K
L

D
O

R

H

B

C

E

J

Gọi K, J là giao của tia phân giác của góc BAC với BS và (O)
tương ứng, khi đó J là điểm chính giữa cung BC nhỏ và SJ//AE;
các cung SA, JE bằng nhau.
Gọi H là giao của AE với GJ ta có góc GBD = GBS = GJS = GHD
=> BHDG nội tiếp => H thuộc đường tròn (BDL) => góc BHE =
BLD = CBE = CAE = CAJ + JAE = BAJ + ABK = BKJ => góc AKB
= AHB => ABHK nội tiếp => góc KHA = ABS = AGS = KAH =
DBH = DGH.
Góc KHA = KAH => tam giác AKH cân => KA = KH

Góc DGH = KAH => AGHR nội tiếp (R là giao của GD với AJ)
Góc DGH = AGS và góc SGJ vuông => góc AGD vuông => góc
AHR vuông => K là tâm đường tròn (AGHR) => góc KGD = KRG
= DHG => GK là tiếp tuyến của đường tròn (BDL). Đpcm.