ĐỀ ÔN TẬP HỌC SINH GIỎI HÀ NỘI 2023
ĐỀ 01
Câu 1. Cho parabol
của

để

và đường thẳng
cắt

tại hai điểm phân biệt

. Tìm tất cả các giá trị thực
sao cho diện tích tam giác

bằng

.

Câu 2: .Giải hệ phương trình
Câu 3: Một hộp đựng 50 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 50. Chọn ngẫu nhiên từ hộp hai thẻ.
Tính xác suất để hiệu bình phương số ghi trên hai thẻ là số chia hết cho 3.
Câu 4. Cho hình chóp
mặt đáy, góc giữa

có đáy là hình vuông cạnh
và mặt đáy bằng

Gọi

và

là hai điểm lần lượt thuộc các đường thẳng
Tính độ dài đoạn

vuông góc với

là trung điểm của

1. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng
2. Gọi

Đường thẳng

và

sao cho

theo

Câu 5. Cho dãy số xác định bởi

,

Câu 6 . Cho các số thực dương

thỏa mãn

. Tìm

?
Tìm giá trị

lớn nhất của biểu thức:

1

ĐỀ 02.2023

Câu 1. Cho hàm số
, ( là tham số). Tìm giá trị của
hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt
sao cho tam giác
, trong đó
.

để đồ thị
vuông tại

Giải hệ phương trình
Câu 2.
Câu 3. Một hộp có 40 tấm thẻ , chọn ngẫu nhiên 3 tấm thẻ, tính xác suất sao cho chọn được 3 tấm thẻ có tổng
số ghi trên 3 thẻ là một số chia hết cho 3.

Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều
a) Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng
b) Gọi
.

là trọng tâm tam giác

Câu 5. Cho dãy số

có cạnh đáy bằng
và

và đường cao

.

.

, xác định hình chiếu

với

của

lên

và tính độ dài

Đặt

Câu 6. Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

2

. Hãy tính

theo

.

ĐỀ 03
Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để đồ thị hàm số
điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều.

có 3

Câu 2: Giải các hệ phương trình:
Câu 3: Gọi là tập tất cả các số tự nhiên gồm 7 chữ số đôi một khác nhau. Từ tập
nhiên một số. Tính xác suất để lấy được số chia hết cho 15.
Câu 4.
a) Cho hình chóp SABC có

và tam giác ABC vuông tại B. Biết

góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SAC) bằng
b) Cho tứ diện
các mặt phẳng

với

lần lượt là các góc giữa

. Chứng minh rằng:
.

Câu 5. Cho dãy số

xác định bởi:

. Tìm limun .

Câu 6. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = xyz

3

và

. Tính độ dài SC theo a.

có SA, SB ,SC đôi một vuông góc. Gọi
với

, lấy ngẫu

ĐỀ 04
Câu 1: Cho hàm số

có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C).

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết khoảng cách từ I đến tiếp tuyến đó bằng

.

Câu 2. Giải hệ phương trình
Câu 3. Gọi là tập hợp các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên
một số tự nhiên thuộc tập . Tính xác suất để chọn được một số thuộc tập và số đó chia hết
cho 9.
Câu 4 .
a) Cho tứ diện đều SABC có độ dài cạnh bằng 1, gọi I, K là trung điểm của các cạnh AC và SB.
Trên các đường thẳng AS và CK lấy các điểm P, Q sao cho PQ song song với BI. Tính độ dài
đoạn thẳng PQ.
b) . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O với OA = 2OB = 2a và SO vuông
góc với đáy (ABCD). Mặt phẳng

qua A vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B', C',

D'. Tính côsin góc giữa (SAB) với

biết

đều.

Câu 5. Cho dãy số (un) được xác định bởi

.

Tìm công thức số hạng tổng quát un theo n.

Câu 6 . Cho

sao cho

. Tìm giá trị lớn nhất của:

4

ĐỀ 05
Câu 1 : Cho hàm số

(1), m là tham số. Tìm

số (1) có giá trị cực đại, giá trị cực tiểu lần lượt là

thỏa mãn

để đồ thị hàm
.

Câu 2: Giải hệ phương trình
Câu 3: Một bài kiểm tra trắc nghiệm gồm 10 câu,mỗi câu có 4 phương án để lựa chọn,trong đó
chỉ có một phương án đúng.Với mỗi câu,nếu chọn phương án đúng thì thí sinh được 5 điểm,nếu
chọn phương án sai thì thí sinh bị trừ 1 điểm.Tính xác suất để một thí sinh làm bài bằng cách
chọn ngẫu nhiên phương án trả lời được 26 điểm.
Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Lấy điểm M thuộc đoạn AD',
điểm N thuộc đoạn BD sao cho

.

a. Tìm độ dài đoạn MN.
b. Tìm

theo a để đoạn MN ngắn nhất.

Câu 5: Cho dãy số

xác định bởi

. Chứng minh dãy số

có giới

hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó?
Câu 6 : Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bẳng 1. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:
5

.

ĐỀ 06
Câu 1: Cho hàm số

có đồ thị

. Từ điểm

kẻ được đến

một tiếp tuyến duy nhất,

viết phương trình tiếp tuyến đó.

Câu 2: (4,0 điểm) Giải hệ phương trình:

Câu 3: Từ các chữ số
suất để số lập được chia hết cho
Câu 4: Cho hình chóp
phẳng

có đáy là hình vuông tâm

. Gọi

phẳng

lập số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Tính xác

là trung điểm của

bằng

và

và

b). Tính cosin của góc giữa đường thẳng
Câu 5: Cho dãy số thực

vuông góc với mặt

. Biết góc giữa đường thẳng

theo .
với mặt phẳng

.

được xác định bởi:
và

b) Chứng minh dãy

và

.

a). Tính độ dài các đoạn thẳng

a) Chứng minh

, cạnh

với mọi

là dãy bị chặn dưới.
có giới hạn hữu hạn khi
6

Hãy tìm giới hạn đó.

và mặt

Câu 6: Cho

là các số thực dương thỏa mãn

thức

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

.

ĐỀ 01
Câu 1. Cho parabol
của

để

và đường thẳng
cắt

tại hai điểm phân biệt

. Tìm tất cả các giá trị thực
sao cho diện tích tam giác

.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của

Để

cắt

tại hai điểm phân biệt

Với

và

là nghiệm phương trình :

khi và chỉ khi

.

.

Với
Gọi

là hình chiếu của

lên

. Suy ra

.

Theo giả thiết bài toán, ta có
.
7

bằng

Câu 2: .Giải hệ phương trình
Lời giải
- Điều kiện
- Từ phương trình

Do

nên (3)

- Thay vào (2) ta được phương trình

(thỏa mãn điều kiện)
với

thỏa mãn điều kiện

- Vậy hệ phương trình có nghiệm
Câu 3: Một hộp đựng 50 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 50. Chọn ngẫu nhiên từ hộp hai thẻ.
Tính xác suất để hiệu bình phương số ghi trên hai thẻ là số chia hết cho 3.
Lời giải
+) Số phần tử của không gian mẫu là
8

+) Gọi A là biến cố hiệu bình phương số ghi trên hai thẻ là số chia hết cho 3

Giả sử 2 số được chọn là

. Theo giả thiết

Nếu

thì a, b phải đồng dư khi chia 3

số cách chọn là:

Nếu

thì hoặc a và b cùng chia hết cho 3 hoặc một số chia 3 dư 1, một số chia 3 dư 2

số cách chọn là:

Lại có:

số cách chọn là:

Do đó:
Vậy
Câu 4. Cho hình chóp
mặt đáy, góc giữa

có đáy là hình vuông cạnh
và mặt đáy bằng

Gọi

và

là hai điểm lần lượt thuộc các đường thẳng
Tính độ dài đoạn

vuông góc với

là trung điểm của

1. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng
2. Gọi

Đường thẳng

theo
Lời giải
S

H
A

B
K

D

C

1.

9

N

và

sao cho

với

+ Đặt
+ Ta có

và

và

Suy ra

và

Vậy
Suy ra
2.
và

+ Ta có

o

nên

Suy ra
10

Vậy

Câu 5. Cho dãy số xác định bởi

,

. Tìm

?

Lời giải

Ta có:

Đặt
Do đó

.

, từ

ta suy ra:

.

là cấp số nhân với

, công bội

Suy ra:
Vậy

Câu 6 . Cho các số thực dương

.
.

.

thỏa mãn

lớn nhất của biểu thức:
Lời giải
11

Tìm giá trị

Ta có
+ Từ giả thiết ta có

+ Nhận thấy

nên

+ Vì vậy

+ Suy ra
Đặt:

khi đó ta có

+ Vậy

khi và chỉ khi

==================================================================
ĐỀ 02.2023

Câu 1. Cho hàm số
, ( là tham số). Tìm giá trị của
hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt
sao cho tam giác
, trong đó
.
Lời giải
12

để đồ thị
vuông tại

Phương trình hoành độ giao điểm
(2)
Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt
có hai nghiệm phân biệt, khi đó

khi và chỉ khi phương trình (2)

.
Gọi các nghiệm của phương trình (2) là

. Tọa độ các giao điểm

.
Khi đó theo bài ra ta có:

.
Kết hợp điều kiện

, ta được

,

.

Giải hệ phương trình
Câu 2.
Lời giải

Điều kiện
Từ
Thay

ta có
vào

ta được phương trình:

Phương trình
13

là

,

;

Từ

là một nghiệm của hpt.

Từ

phương trình vô nghiệm do

Câu 3. Một hộp có 40 tấm thẻ , chọn ngẫu nhiên 3 tấm thẻ, tính xác suất sao cho chọn được 3 tấm thẻ có tổng
số ghi trên 3 thẻ là một số chia hết cho 3.

Lời giải
+ Số cách lấy ngẫu nhiên 3 tấm thẻ là
+ Trong 40 tấm thẻ có:
13 tấm thẻ mang số chia hết cho 3
14 tấm thẻ mang số chia 3 dư 1
13 tấm thẻ mang số chia 3 dư 2
+ Để tổng 3 số trên 3 tấm thẻ là số chia hết cho 3 thì phải xảy ra các trường hợp sau:
Cả 3 số đều chia hết cho 3: có

cách

Cả 3 số đều chia 3 dư 1: Có

cách

Cả 3 số đều chia 3 dư 2: Có

cách

Có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, một số chia 3 dư 2: có
+ Xác suất cần tính là
Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều

có cạnh đáy bằng
14

và đường cao

cách

.

a) Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng
b) Gọi
.

là trọng tâm tam giác

và

.

, xác định hình chiếu

của

lên

và tính độ dài

theo

Hướng dẫn giải
a) Gọi

là trung điểm

Tam giác
b) Kẻ

vuông tại

suy ra góc giữa
,

suy ra

là đường cao tam giác

song song với

trong

và

suy ra
cắt

tại

là góc

,

hay
vuông góc

thì

.
, từ

kẻ đường thẳng

là điểm cần tìm.

Ta có

Câu 5. Cho dãy số

với

Đặt
Lời giải

15

. Hãy tính

.

Từ

Ta chứng minh

Thật vậy, giả sử
Do đó

.

đúng với mọi
. Vậy

.

Câu 6. Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

Lời giải
Ta có VT =

=
Vì a, b, c dương và abc = 1 nên đặt

với x, y, z > 0

Khi đó VT =
=
Ta có
Suy ra

(1)
16

Tương tự có

(2);

(3)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được VT
Lại có

=

=
(BĐT Netbit)
Suy ra VT

(đpcm)

================================================================
ĐỀ 03
Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để đồ thị hàm số
có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều.
Lời giải
Ta có
nên hàm số có 3 điểm cực trị khi
Với đk

đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là:

17

.

Ta có:
Để 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành tam giác đều thì:

So sánh với điều kiện ta có:

thỏa mãn.

Câu 2: Giải các hệ phương trình:
Lời giải
ĐK:

(*)

TH1: Với y = 1. Thay vào (2) ta được x = 4 ( thỏa mãn (*) )
TH2: Với x – y – 2 = 0

. Thay vào (2) ta được:

Kết hợp với (*) ta được nghiệm (x; y) của hệ là:
18

KL: Hệ có 3 nghiệm (x; y) là:
Câu 3: Gọi là tập tất cả các số tự nhiên gồm 7 chữ số đôi một khác nhau. Từ tập
nhiên một số. Tính xác suất để lấy được số chia hết cho 15.
Lời giải

, lấy ngẫu

Số phần tử của là
544320 số.
Biến cố A: “số lập được chia hết cho 15”
Gọi số cần tìm là
. Ta có 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 chia hết cho 3.
Vì
Số cần tìm có 7 chữ số mà chia hết cho 3 nên cần bỏ đi 3
chữ số từ 0 đến 9 sao cho tổng 3 chữ số đó chia hết cho 3.
Ta tạo thành các nhóm gồm A = {0;3;6;9}; B = {1;4;7} và C = {2;5;8}. Bộ bỏ đi là {a;b;c}
*) Ta đếm các bộ {a;b;c} mà có tổng chia hết cho 3.
+) Cùng dư thì có 6 bộ gồm: {0; 3;6};{0; 3;9};{0;6;9}; {3;6;9}; {1;4;7}; {2;8;5};
+) Khác dư thì quy ước a, b, c tương ứng thuộc A, B, C ta có:
-) Bộ {0;b;c} thì có 3 cách chọn
và 2 cách chọn
(do đã bỏ đi 0 thì phải có 5) nên
có 6 bộ.
-) Bộ {a;b;5} trong đó
thì có 3 cách chọn a, 3 cách chọn b nên có 3.3 = 9 bộ
-) Bộ {a;b;c} trong đó
và
thì có 3 cách chọn a, 3 cách chọn b và 2 cách chọn c nên
có 3.3.2 = 18 bộ
Như vậy, các bộ phải bỏ đi gồm:
- 9 bộ gồm {0;b;c} trong đó
- 10 bộ gồm {a;b;5} trong đo
20 bộ {a;b;c} trong đó không có chữ số 0 và 5.
*) Lập số tương ứng với các bộ:
+) Bỏ đi bộ chứa chữ số 0 (tức là số tạo thành chỉ có chứa chữ số 5 chứ không có chữ số 0) khi
đó số tạo thành có dạng
, ta có 9 cách bỏ bộ và có 6! cách viết cho 6 chữ số còn lại
nên có
9.6! = 6480 số có dạng
thỏa mãn.
+) Bỏ đi bộ chứa chữ số 5 (tức là số tạo thành chỉ có chứa chữ số 0 chứ không có chữ số 5) khi
đó số tạo thành có dạng
, ta có 10 cách bỏ bộ và có 6! cách viết 6 chữ số còn lại
nên có
10.6! = 7200 số có dạng
thỏa mãn
+) Bỏ đi bộ không chứa cả 2 chữ số 0 và 5 thì có 20 cách bỏ bộ, khi đó số tạo thành sẽ có chứa
cả 0 và 5, ta có 2 trường hợp:
Nếu
cách viết cho 0 và 5 chữ số còn lại.
Nếu
thì có 6! cách viết cho 6 số còn lại
Nên trường hợp này có 20.(5.5!+6!) = 26400 số.
Do đó có cả thảy 40080 số thỏa mãn yêu cầu.
19

Vậy xác suất của biến cố A là

.

Câu 4.
a) Cho hình chóp SABC có

và tam giác ABC vuông tại B. Biết

góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SAC) bằng

với

. Tính độ dài SC theo a.

Lời giải

a) Gọi H, K là hình chiếu của C lên SA, SB.
Ta chứng minh được CK ⊥(SAB ), SA ⊥(CHK ) . Suy ra ΔCHK vuông tại K và SA ⊥ KH . Do đó
α =∠ CHK .

Đặt SC=x >0 . Trong tam giác vuông SAC ta có
20

và

2

2

1
1
1
3a x
=
+ 2 ⇒CH 2 = 2 2 .
2
2
CH
CA CS
3a +x

Tương tự, trong tam giác vuông SBC ta có

CK 2 =

⇔ x=6 a , vì x > 0. Vậy

Ta có
b) Cho tứ diện
các mặt phẳng

2 a 2 x2
.
2 a2 +x 2

có SA, SB ,SC đôi một vuông góc. Gọi
với

.
lần lượt là các góc giữa

. Chứng minh rằng:
.
Lời giải

Chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi

Câu 5. Cho dãy số

xác định bởi:

. Tìm limun .
Lời giải

Đặt

. Ta có dãy số

Đặt
Vậy:

21

Đặt

ta được dãy số

Câu 6. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = xyz
Lời giải

Lấy 3 BĐT trên nhân với nhau ta được:

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

Vậy maxA=

khi

===================================================================
ĐỀ 04

22

Câu 1: Cho hàm số

có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của

(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết khoảng cách từ I đến tiếp tuyến đó bằng
Lời giải
Giao điểm của hai đường tiệm cận của (C) là
Gọi

là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm với (C).

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là:

Theo giả thiết

Đặt

nên phương trình có dạng:

(thỏa mãn)

Với

Câu 2. Giải hệ phương trình
Điều kiện:

Lời giải

.

Phương trình (1) tương đương với
Phương trình (2) tương đương với

, thay vào (*) ta được

23

.

Thay

vào phương trình (2) ta được

(thỏa mãn hệ phương trình)
Vậy hệ phương trình đã cho có ghiệm là
.
Câu 3. Gọi là tập hợp các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên
một số tự nhiên thuộc tập . Tính xác suất để chọn được một số thuộc tập và số đó chia hết
cho 9.
Lời giải
Ta có :
Giả sử
ta thấy tổng các phần tử của B bằng 45 chia hết cho 9 nên số có
8 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 9 sẽ được taọ thành từ 8 chữ số đôi một
khác nhau của các tập
là

nên số các số loại này

.

Vậy xác suất cần tìm là

.

Câu 4 .
a) Cho tứ diện đều SABC có độ dài cạnh bằng 1, gọi I, K là trung điểm của các cạnh AC và SB.
Trên các đường thẳng AS và CK lấy các điểm P, Q sao cho PQ song song với BI. Tính độ dài
đoạn thẳng PQ.
24

Lời giải

Kẻ KJ // BI (J thuộc SI), P là giao của CJ với SA, kẻ PQ // JK (Q thuộc CK) thì đươch PQ thỏa
mãn P thuộc SA, Q thuộc CK và PQ//BI.
Ta có

đều cạnh 1 nên

Qua cách dựng PQ thì J là trung điểm của SI nên
Xét

với 3 điểm P, J, C thẳng hàng ta có

Xét

với 3 điểm thẳng hàng S, J, I ta có

Suy ra
Suy ra
Vậy
b) . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O với OA = 2OB = 2a và SO vuông
góc với đáy (ABCD). Mặt phẳng
D'. Tính côsin góc giữa (SAB) với

qua A vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B', C',
biết

đều.
Lời giải

25

F qua A và

trong đó E đối xứng với C qua B và F đối xứng với C qua D, E đối xứng với
. Tam giác B'C'D' đều nên tam giác EFC' đều.
;

Hạ

;
;

Từ đó ta có

.

Câu 5. Cho dãy số (un) được xác định bởi

.

Tìm công thức số hạng tổng quát un theo n.
Lời giải

26

Ta có
Đặt

Câu 6 . Cho

⇒

(vn) là cấp số nhân có công bội

sao cho

và số hạng đầu

. Tìm giá trị lớn nhất của:

Lời giải
+ Trước hết chứng minh cho

+ Ta có:

+ Tương tự

27

+ Giá trị lớn nhất của

P bằng 1, khi

ĐỀ 05
Câu 1 : Cho hàm số

(1), m là tham số. Tìm

hàm số (1) có giá trị cực đại, giá trị cực tiểu lần lượt là
Lời giải
Ta có

Chú ý rằng với

thì
28

thỏa mãn

để đồ thị
.

Khi đó hàm số đạt cực đại tại

và đạt cực tiểu tại

Do đó
Từ giả thiết ta có

Đối chiếu với yêu cầu

ta có giá trị của m là

Câu 2: Giải hệ phương trình
Lời giải

+ Điều kiện
+ Phương trình

+ Phương trình

29

.

+ Nếu

hoặc

+ Nếu

.

Vì

nên hệ này vô nghiệm

+ Vậy hệ đã cho có nghiệm

Câu 3: Một bài kiểm tra trắc nghiệm gồm 10 câu,mỗi câu có 4 phương án để lựa chọn,trong đó
chỉ có một phương án đúng.Với mỗi câu,nếu chọn phương án đúng thì thí sinh được 5 điểm,nếu
chọn phương án sai thì thí sinh bị trừ 1 điểm.Tính xác suất để một thí sinh làm bài bằng cách
chọn ngẫu nhiên phương án trả lời được 26 điểm.
Lời giải
- Số phần tử của không gian mẫu
-Gọi x là số câu trả lời đúng của một thí sinh (

,thí sinh được 26 điểm khi

Gọi A là biến cố :để một thí sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên phương án trả lời được 26
điểm.
-Chọn 6 câu trong số 10 câu có

cách.

-Với mỗi bộ 6 câu đã chọn chỉ có một cách để chọn phương án đúng cho cả 6 câu đó,4 câu còn
lại có

cách chọn phương án để thí sinh làm sai cả 4 câu,suy ra. Vậy

Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Lấy điểm M thuộc đoạn AD',
điểm N thuộc đoạn BD sao cho

.
30

a. Tìm độ dài đoạn MN.
b. Tìm

theo a để đoạn MN ngắn nhất.
Lời giải

Gọi M', N' lần lượt là hình chiếu của M, N lên AD
Ta có
Tam giác M'AM vuông cân tại M' nên có

;

Tam giác N'DN vuông cân tại N' nên có

Khi đó

Vậy MN ngắn nhất bằng

đạt được khi

31

Câu 5: Cho dãy số

xác định bởi

. Chứng minh dãy số

có giới

hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó?
Lời giải
Trước hết ta chứng minh
Với

thì

Giả sử

ta phải chứng minh

. Thật vậy

(vì

)

Mặt khác

(vì

)

Vậy
+ Ta có
+ Dãy số
+ Đặt

, vậy

là dãy giảm

giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn hữu hạn.
với

thì ta phải có

+ Vậy
Câu 6 : Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bẳng 1. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:
.
Lời giải
32

Vì a, b, c là

độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bẳng 1 nên

Ta có

Tương tự ta có :

Suy ra

Dấu đẳng thức xảy ra

đạt được

33

ĐỀ 06
Câu 1: Cho hàm số

có đồ thị

. Từ điểm

kẻ được đến

một tiếp tuyến duy

nhất, viết phương trình tiếp tuyến đó.

Lời giải
Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số tại điểm
Ta có

và

Khi đó phương trình tiếp tuyến tại

là:
. Ta có tiếp tuyến qua

Với

phương trình tiếp tuyến là:

.

Câu 2: (4,0 điểm) Giải hệ phương trình:

Lời giải
Điều kiện:
Nếu

thì từ (1) suy ra

.
thay vào (2) không thỏa mãn

34

. Khi đó:

Xét hàm số

trên khoảng

. Ta có:

nghịch biến

trên khoảng
Do đó
Thế

.
vào (2) ta được:

Giải hai phương trình này được:
+) Với

(thỏa mãn (*))

+) Với

(thỏa mãn (*))

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:

Câu 3: Từ các chữ số
suất để số lập được chia hết cho

,

.

lập số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Tính xác
Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu là
Gọi số cần lập chia hết cho 1111 có dạng
Ta thấy rằng
35

Lại có

suy ra
.

Mặt khác
Như vậy các cặp
(4;5).

được lấy từ các bộ (1;8), (2;7), (3,6),

Ta có 4! cách xếp vị trí cho 4 bộ số trên, mỗi vị trí của 1 bộ số đó thì có 2! cách đổi vị
trí cho 2 chữ số tương ứng đó (chẳng hạn bộ (1;8) có 2! Cách đổi vị trí cho 1 với 8 và
ngược lại). Như vậy có cả thảy
số thỏa mãn.
Vậy xác suất cần tìm là
Câu 4: Cho hình chóp
phẳng
phẳng

có đáy là hình vuông tâm

. Gọi
bằng

là trung điểm của

và

, cạnh

và

vuông góc với mặt

. Biết góc giữa đường thẳng

và mặt

.

1. Tính độ dài các đoạn thẳng

và

2. Tính cosin của góc giữa đường thẳng

theo .
với mặt phẳng

.

Lời giải

Gọi

là trung điểm của

. Do đó góc giữa
36

và

là góc

+)
,

.

+)
2.

Ta

có

Do đó
góc

.

là hình chiếu của

lên

Gọi
.

là

Gọi

trung

điểm

của

suy ra góc

giữa

và
và

là

.

+) Do

, nên

là hình bình hành.

là trung điểm của
Do tam giác

.

vuông tại

nên

.
Câu 5: Cho dãy số thực

được xác định bởi:
và

a) Chứng minh

với mọi

là dãy bị chặn dưới.

b) Chứng minh dãy

có giới hạn hữu hạn khi

Hãy tìm giới hạn đó.

Lời giải
Ta chứng minh
sử

với

bằng phương pháp Quy nạp.Theo đề bài, ta có

Ta chứng minh
37

Giả

Thật vậy

Vì

nên từ

suy ra

Do vậy

hay

là dãy bị chặn dưới bởi

Ta chứng minh

là dãy giảm. Thật vậy, ta có

Giả sử ta có

với

Ta chứng minh

Vì

Xét hiệu

và

nên từ

Suy ra

Do vậy

Suy ra dãy

suy ra

do đó suy ra

là dãy giảm và bị chặn dưới.

có giới hạn hữu hạn khi

Giả sử

với

Từ hệ thức truy hồi đã cho, suy ra

Với

ta có
Suy ra

Câu 6: Cho
thức

là các số thực dương thỏa mãn
.
Lời giải

Ta có
38

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Do
Đặt
Hàm số

nên
thì
đồng biến trên

Vậy: P đạt giá trị nhỏ nhất bằng

nên

khi và chỉ khi

39

.
.