BTVN LỚP 9A5 VÀ 9A7: LÀM RA GIẤY THI VÀ NỘP VÀO NGÀY 09/12/2023

Bài 1 Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) sao cho OM = 2R. Kẻ các tiếp
tuyến MA và MB với đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm).
a) Chứng minh các điểm O; A; B; M cùng thuộc 1 đường tròn.
b) Gọi H là giao điểm của OM và AB. Tính AB theo R
c) Tia MO cắt (O) lần lượt tại C và D (MC < MD). Chứng minh r ằng: HC. MD
= CM. DH.
Bài 2 Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O), từ M vẽ 2 tiếp tuy ến MA;
MB đến đường tròn (A; B là các tiếp điểm), vẽ đường kính AE, OM c ắt AB
tại H.
a) Chứng minh:OM AB
b) ME cắt đường tròn (O) tại D. Chứng minh: MD.ME = MH.MO
c) Gọi F là trung điểm của DE. OF cắt AB tại K. Chứng minh: KD là ti ếp tuy ến
của đường tròn (O)
Bài 3: Cho đường tròn tâm O bán kính R, dây BC khác đường kính. Hai ti ếp
tuyến của đường tròn ( O, R ) tại B và tại C cắt nhau tại A. Kẻ đ ường kính
CD, kẻ BH vuông góc với CD tại H.
a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn. Xác định
tâm và bán kính của đường tròn đó.
b) Chứng minh AO vuông góc với BC. Cho biết R = 15 cm, BC = 24cm. Tính
AB, OA.
c) Chứng minh BC là tia phân giác của góc ABH
d) Gọi I là giao điểm của AD và BH, E là giao điểm của BD và AC. Ch ứng
minh IH = IB.
Bài 4: Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC
đến đường tròn (O) (B, C là 2 tiếp điểm). Kẻ cát tuyến ADE v ới đ ường tròn
(O) (D nằm giữa A và E).
a) Chứng minh: bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh: OA

BC tại H và OD2 = OH.OA. Từ đó suy ra tam giác

OHD đồng dạng với tam giác ODA.
c) Chứng minh BC trùng với tia phân giác của góc DHE.

GV: Nguyễn Hùng Minh

1

Trường THCS Trần Quốc Toản

BTVN LỚP 9A5 VÀ 9A7: LÀM RA GIẤY THI VÀ NỘP VÀO NGÀY 09/12/2023

d) Từ D kẻ đường thẳng song song với BE, đường thẳng này cắt AB,
BC lần lượt tại M và N. Chứng minh: D là trung điểm của MN.
Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC. Vẽ dây
cung AD của (O) vuông góc với đường kính BC tại H. Gọi M là trung đi ểm
cạnh OC và I trung điểm cạnh AC. Từ M vẽ đường thẳng vuông góc v ới OC,
đường thẳng này cắt tia OI tại N. Trên tia ON lấy điểm S sao cho N là trung
điểm cạnh OS.
1) Chứng minh: Tam giác ABC vuông tại A và HA = HD.
2) Chứng minh: MN // SC và SC là tiếp tuy ến c ủa đ ường tròn (O).
3) Gọi K là trung điểm cạnh HC, vẽ đường tròn đ ường kính AH c ắt c ạnh
AK tại F. Chứng minh:

.

4) Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho B là trung đi ểm c ạnh AE.
Chứng minh ba điểm E, H, F thẳng hàng.
Bài 6: Cho (O;R) có đường kính AB và hai tiếp tuyến Ax, By (Ax, By cùng
thuộc nửa mặt phẳng có bờ là AB). Một tiếp tuyến khác tại điểm M cắt Ax
ở C và By ở D.
a) Chứng minh : CD = AC + BD.
b) Chứng minh: ∆COD vuông.
c) Chứng minh: AB2 = 4AC.BD (hoặc tích AC.BD không đổi khi M di
chuyển).
d) AM cắt OC tại I, BM cắt OD tại K. Tứ giác OIMK là hình gì ? Tìm vị trí
của điểm M để OIMK là hình vuông.
Kẻ MH

AB (H

AB). Chứng minh rằng BC đi qua trung điểm của MH.

Bài 7: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB=2R. Trên nửa đ ường tròn
lấy điểm M sao cho MB=R. Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt các ti ếp
tuyến Ax, By lần lượt tại C và D (Ax và By cùng thuộc một n ửa m ặt ph ẳng
có bờ AB chứa điểm M)
a/.CM: Tam giác COD vuông và AC+BD=CD
b/.Tính OC theo R?
c/.BC cắt đường tròn tại F (F khác B). Đường thẳng qua O vuông góc v ới BC
cắt By tại E. CM: EF là tiếp tuyến của đường tròn (O).
d/.Gọi K là giao điểm của OE và BC. CM: DM=DK

GV: Nguyễn Hùng Minh

2

Trường THCS Trần Quốc Toản

BTVN LỚP 9A5 VÀ 9A7: LÀM RA GIẤY THI VÀ NỘP VÀO NGÀY 09/12/2023

Bài 8: ). Cho đường tròn (O) và điểm A bên ngoài đường tròn, từ A vẽ ti ếp
tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Kẻ đường kính BC c ủa đường
tròn (O). AC cắt đường tròn (O) tại D (D khác C).
a) Chứng minh BD vuông góc AC và AB2 = AD . AC.
b) Từ C vẽ dây CE // OA. BE cắt OA tại H. Chứng minh H là trung đi ểm
BE và AE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Chứng minh O C^ H=O A^ C .
d) Tia OA cắt đường tròn (O) tại F. Chứng minh FA . CH = HF . CA.
Bài 9: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Lấy một điểm C thu ộc
nửa đường tròn sao cho CA < CB (C khác A). Kẻ CH vuông góc v ới AB. Trên
cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, vẽ hai n ửa đ ường
tròn tâm O1 đường kính AH và tâm O2 đường kính HB. (O1) cắt CA tại E ,
(O2) cắt CB tại F.
a) Chứng minh tứ giác CEHF là hình chữ nhật.
b) Chứng minh CE.CA = CF.CB = HA.HB.
c) Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O 1) và (O2).
d) Gọi I là điểm đối xứng của H qua E, CI cắt tiếp tuy ến tại A c ủa
đường tròn (O) tại M. Chứng minh BM, CH, EF đồng quy.
Bài 10:
Cho tam giác ABC nhọn . Đường tròn tâm O đường kính BC c ắt
AB ở M và cắt AC
ở N. Gọi H là giao điểm của BN và CM.
1) Chứng minh AH
BC .
2) Gọi E là trung điểm AH. Chứng minh ME là tiếp tuyến của đ ường
tròn (O)
3) Chứng minh MN. OE = 2ME. MO
Bài 11: Cho nửa đường tròn ( O , R) có đường kính AB . D ựng dây AC = R và
tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn . Tia phân giác của góc BAC cắt OC tại
M , cắt tia Bx tại P và cắt nửa đường tròn tâm O tại Q
a) CM : BP2 = PA . PQ
b) CM : 4 điểm B,P, M, O cùng thuộc đường tròn tìm tâm
c) Đường thẳng AC cắt tia Bx tại K . C/m : KP = 2 BP

GV: Nguyễn Hùng Minh

3

Trường THCS Trần Quốc Toản