MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KỲ I
Môn: Toán 9. Năm học 2022 - 2023
Cấp độ
Chủ đề
Tính giá trị
của biểu thức.
Rút gọn biểu
thức chứa căn
thức bậc 2
Số câu
Số điểm
Tỷ lệ
Giải PT có
chứa căn
Số câu
Số điểm
Tỷ lệ
Bài toán liên
quan đến
BĐT Côsi, bất
PT
Số câu
Số điểm
Tỷ lệ
Áp dụng hệ
thức giữa
cạnh và
đường cao
trong Δ
vuông, định
nghĩa tỉ số
lượng giác
của góc nhọn
để tính độ dài
các đoạn
thẳng, góc
Số câu
Số điểm
Tỷ lệ
Vận dụng hệ
thức giữa
cạnh và

Nhận biết

Thông
hiểu

Tính giá trị
của biểu
thức.
2
1,5
15%

1
0,5
5%

Giải
phương
trình
1
1,0
10%

Vẽ đúng
hình

0,25
2,5%

Vận dụng
thấp
Rút gọn
biểu thức

Tổng

2
2,0
20%
Giải phương
trình

4
3,5
35%

1
1,0
10%

3
2,5
25%

Tính độ dài
các đoạn
thẳng, tính
góc

1
0,5
5%

Vận dụng
cao

1
1,0
10%

Tìm GTNN,
chứng minh
bất đẳng
thức
1
1
0,5
0,5
5%
5%

2
1,75
17,5%

đường cao
trong Δ vuông
để chứng
minh hai Δ
đồng dạng, từ
đó suy ra 2
góc bằng
nhau
Số câu
1
Số điểm
0,5
Tỷ lệ
5%

1
1,25
12,5%

Tổng số câu
Số điểm
Tỷ lệ

3
2,75
27,5%

4
2,25
22,5%

4
4,0
40%

1
0,5
5%

3
2,25
22,5%

2
1
10%

13
10
100%

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KỲ I
Năm học 2022-2023
Môn :Toán 9
Thời gian làm bài: 90 phút

TRƯỜNG THCS DƯƠNG NỘI

ĐỀ 1
Bài 1 (2 điểm):
Thực hiện phép tính và rút gọn biểu thức sau:

√

√

A = (4− √ 15) + ( √ 15+2)

(

2

2 √ 45−

2

)

3
75 10
√20+ √ : √
2
√ 15 3

B=
Bài (2,5 điểm):
Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)

√ 9 x2−6 x+1 =7

1
4

√ 1−x −3 √ 4−4 x − √ 16−16 x =−2

√ x2 −x +9 =2 x+1

1
√x
√x
+
Bài 3 (2 điểm): Cho A = √ x √ x+1 và B = x + √ x
a) Tính B khi x = 36
c) Tìm GTNN của 2S
Bài 4: (3 điểm)

với x > 0

A
b) Rút gọn S = B

1) Một cột cờ vuông góc với mặt đất có bóng dài 12m, tia nắng mặt trời tạo với mặt
đất một góc là
thứ nhất)

35°

. Tính chiều cao của cột cờ ( Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân

2) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH

( H ∈BC )

. E là hình chiếu của H trên AB

a) Biết AE = 6,4cm, BE = 3,6 cm. Tính AH, HE, góc B (làm tròn đến độ với số đo
góc, cạnh làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

b) Kẻ

HF⊥ AC

tại F. Chứng minh

c) Chứng minh S AEF=sin C sin B S
2

2

AB . AE=AC . AF

ABC

2
2
Bài 4:( 0,5 điểm) Cho ( x+ √ x +13 )( y+ √ y +13 )=13
x 2015

Tính giá trị của biểu thức

A=

y 2015

+

.
------------------------------------HẾT-----------------------------------(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 1
KIỂM TRA GIỮA KỲ I NĂM HỌC 2020-2021
MÔN : TOÁN LỚP 9

Bài

Đáp án
A

Bài 1
(2điểm)

A=│4 - √ 15 │+ │ √ 15 + 2 │

0,5

A = 4 - √ 15 + √ 15 + 2

0,25

A=6

0,25

B=
B

(

2 √ 45−

3

4 √5 .

3 12 √5
=
√ 10 √10

( 2,5 điểm)

0,25

0,25

0,25

0,25

B = 6√2
a)

)

3
75 10
√20+ √ : √
2
√ 15 3

( 6 √ 5−3 √ 5+ √ 15 ) : √ 10

B=

Bài 2

Điểm

√ 9 x2−6 x+1 =7
⇔ √(3 x−1)2 = 7
⇔

│3x - 1│= 7

⇔

3 x−1=7
3 x−1=−7

8
3
⇔ x=−2
x=

{ }

8
∈ ;−2
Vậy x 3

0,25

0,25

0,25
0,25

b)

1
4

√ 1−x −3 √ 4−4 x − √ 16−16 x =−2

ĐK x ¿ 1

1

√ 1−x −3 √ 4 (1−x ) − √ 16(1−x ) =−2
4

⇔

1
√ 1−x −6 √ 1−x − . 4 √ 1−x
4

⇔

√ 1−x −6 √ 1−x +−1 √ 1−x

⇔

−6 √ 2−x =

⇔

= −2

0,25

1
⇔ √ 1−x = 3
1
1−x=
9
⇔
8
8
⇔ x = 9 (TM) Vậy x = 9

√ x −x +9 =2 x+1

c)
⇔
⇔
⇔

2

ĐK x

¿−

0,25

1
2

2

x −x +9 =(2 x +1 )
2

2

x −x +9 =4 x +4 x+1
3 x2 +5 x −8 =0

( x−1)(3 x+8)=0
⇔ ( x−1)(3 x+8)=0
x=1(TM )
−8
x−1=0
x= ( KTM )
3
⇔ 3 x+8=0 ⇔
Vậy x = 1
⇔

Bài 3
(2điểm)

0,25

= −2

−2

2

0,25

a) Thay x = 36(TM) vào B ta có :

0,25

0,25

0,25

√ 36 = 6 = 6 = 1
B = 36+ √ 36 36+6 42 7
1
Vậy x = 36 thì B = 7

(

0,25

)

A
1
x
√x
S= =
+ √
:
B
√ x √ x+1 x+ √ x với x > 0
b)
0,5

S=

S=

S=

√ x +1+x . √ x ( √ x+1 )
√ x( √ x +1)
√x

x + √ x+1 √ x ( √ x+1 ) x + √ x+1
=
√ x( √ x+1) . √ x
√x

2 S=

c)

0,5

2 x +2 √ x +2
√x

=2 √ x+2+

2
√x

Vì x ¿0 ⇒ √ x >0 ⇒

{2 √ x >0 ¿ ¿ ¿

0,25

Áp dụng BĐT CôSi cho 2 số dương ta có
2 √x+
2 S≥6

√

2
2
≥2 2 √ x .
√x
√x

0,25

Dấu “ = ” xảy ra khi x = 1 (TMĐK)
Vậy GTNN của 2S = 6 khi x = 1
Bài 4

(1)

(3 điểm)

B

C

A

Gọi chiều cao cột cờ là AB
AC là bóng cột cờ
^ là góc tạo bởi tia nắng mặt trờitạo với mặt đất
C
∆ ABC vuông tại A

0,25

AB= AC tan C
AB=¿8,4 (m)

0,25

Vậy

a) AH = 8cm

0,25

HE = 4,8cm

0,25

Góc B = 530

0,25
A

0,25
F
E

H

B

C

2
b) Chứng minh AB . AE=AH

AF . AC= AH

0,5
0,5

2

⇒ AB . AE=AF . AC

d) Δ AFE

Δ ABC

( )

S AFE AF
=
S ABc
AB

AF

2

AE

Mà AB = AC

S AFE AF AE AE AF
=
∙
=
∙
S ABC AB AC AB AC
2

AE AE . AB AH
=
=
=sin2 B
AB AB . AB AB 2

0,25

AF AF . AC AH 2
2
=
=
=sin C
AC AC . AC AC 2
S AFE
2
2
=sin B . sin C
S ABc

Bài 5
( 0,5 điểm)

Từ ( x+ √ x+13)( y+ √ y+13 )=13

√

0,25

0,25

ta có y+ √ y+13= x +13−x và x+ √ x+13=√ y+13− y
2

⇒ x + y=−x − y ⇒ x=− y
x 2015

A=

y 2015

+

x 2015

(− x )2015

=0
Vậy
(Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)

TRƯỜNG THCS DƯƠNG NỘI

=

+

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KỲ I
Năm học 2022-2023

0,25

ĐỀ SỐ 2

Môn :Toán 9
Thời gian làm bài: 90 phút

Bài 1 (2,0 điểm): Thực hiện phép tính và rút gọn biểu thức sau:
a)
b)
Bài (2,5 điểm): Giải các phương trình sau:
a) 5 √ 12 x−4 √ 3 x +2 √ 48 x=14
b)

c) √ 3 x−6− √ x+1=0
Bài 3 (2,0 điểm):
Cho hai biểu thức P =

(Với x ≥ 0, x ≠ 1)

x +1
√ x +1

và Q =

√ x + 2 − 3 √ x +1
√ x +1 √ x−1 x−1

a) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 4
b) Chứng minh Q =

√ x−1
√ x+1
P

c) Cho biểu thức A = Q . Tìm giá trị nhỏ nhất của A với x > 1.
Bài IV ( 3,0 điểm):
1) (0,5 điểm) Một chiếc thang dài 6,7m tựa vào tường làm thành góc 63º với
mặt đất. Tính độ cao của thang đạt được so với mặt đất khi đặt thang ở vị trí
đó? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
2) ( 2,5 điểm) Cho  ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 6cm;
BC = 10cm. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm H trên AB và AC.
a) Tính độ dài cạnh EF và góc ABC (làm tròn đến độ)
b) Chứng minh rằng: AE. AB = AF. AC
3

AH
c) Chứng minh: BC =
BE . CF

Bài V( 0,5 điểm) Giải phương trình
............................. Hết...........................
( Giám thị coi thi không giải thích thêm)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 2
KIỂM TRA GIỮA KỲ I NĂM HỌC 2022-2023

MÔN : TOÁN LỚP 9
Bài

Đáp án

Điểm
0,5

a)

0,25

=

0,25

= 2 √3
Bài 1
(2điểm
)

b)
0,5

=
Bài 2
( 2,5
điểm)

0,5

a) 5 √ 12 x−4 √ 3 x +2 √ 48 x=14 ( ĐK: x ≥ 0 )
 5 √ 4.3 x−4 √ 3 x +2 √16.3 x=14

0,25

 10√ 3 x−4 √ 3 x +8 √3 x=14

0,25

 14 √ 3 x=14
 3x = 1

0,25

1
 x = 3 ( TMĐK)

0,25

1

Vậy phương trình có nghiệm x = 3
b)
 √ 64( x+1)−√ 25( x +1)+ √ 4( x+1)=20
 8 √ x+1−5 √ x +1+2 √ x +1=20
 5 √ x+1=20
 √ x+1=4
 x + 1 = 16
 x = 15 ( TMĐK)
Vậy phương trình có nghiệm x = 1

( ĐK: x ≥ - 1)

0,25

0,25

0,25
0,25

c)

√ 3 x−6− √ x+1=0
⇔ √ 3 x−6= √ x+1

( ĐK x ≥ 2)

3x – 6 = x + 1
 3x – x = 1 + 6

2x = 7
⇔

7
2 (TM)

7
x=
2
Vậy

0,25

x=

Vậy
Bài 3
(2điểm
)

a) P =

x +1
√ x +1

Thay x = 4(TMĐK) vào biểu thức P ta có :
P=

4+1 5
=
√ 4+1 3

5
Vậy với x = 4 thì giá trị biểu thức P = 3

√ x + 2 − 3 √ x +1
(Với x ≥ 0, x ≠ 1)
√ x +1 √ x−1 x−1
√ x ( √ x−1 ) +2 ( √ x +1 )−(3 √ x+1)
Q=
( √ x +1)( √ x−1)
x−√ x +2 √ x+2−3 √ x−1
Q=
( √ x +1 ) ( √ x−1)
x−2 √ x+1
Q=
( √ x +1 ) ( √ x−1)
Q = ¿¿
√ x−1
Q=
( đpcm)
√ x+1
b)

0,25

0,25
0,25

Q=

0,25
0,25

0,25

0,25

c) Với x > 1
P x +1 √ x−1
:
Ta có A = Q =
√ x +1 √ x +1

A=
Nên

x +1 √ x +1
x +1
.
=
√ x +1 √ x−1 √ x−1
A=

x +1
x−1+2
2
=
=√ x−1+
+2
√ x−1 √ x−1
√ x−1

Vì x > 1 nên √ x−1>0 và

0,25

2
>0
√ x−1

Áp dụng BĐT CôSi đối với hai số dương ta có
A ¿ 2 √2 + 2

0,25

Dấu “ = ” xảy ra khi x = ( √ 2+1¿ 2 (TMĐK)
Vậy GTNN của A=¿ = 2√ 2+2 khi x = ( √ 2+1¿ 2
Bài 4
(3,0
điểm)

1) Gọi độ cao của thang đạt được so với mặt đất ở vị trí đó
là AH
Độ dài của chiếc thang là AB = 6,7 m
0,25
Thang tựa vào tường tạo với mặt đất góc ABH = 63º
Xét  AHB vuông tại H có:
AH

Sin ABH = AB ( TSLG)
AH

Sin 63º = 6,7

 AH = 6,7. Sin 63º  6,0(m)
Vậy chiều cao của thang đạt được so với mặt đất khoảng 6 m

0,25

B

2)

H

E

A

Vẽ hình đúng

F

C

0,25

a) Tính EF?
Xét Δ ABC vuông tại A có
BC2 = AB2 + AC2( Định lý Py Ta Go)
⇒

AC = √ BC 2− AB2

0,25

 AC = 8 cm
AC

8

+ Ta có sin ABC = BC = 10 =0,8 (TSLG)
 góc ABC = 53º

0,25

Xét Δ ABC vuông tại A, AH ¿ BC
⇒

AH. BC = AB.AC ( hệ thức lượng)

AB . AC
 AH = BC =4,8(cm)

*) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật

0,25

0,25

 EF = AH = 4,8(cm)
b) Xét Δ AHB vuông tại H, HE ¿ AB
⇒

AH2 = AE.AB ( hệ thức lượng) (1)

0,25

Xét Δ AHC vuông tại H, HF ¿ AC
⇒

AH2 = AF.AC ( hệ thức lượng) (2)

0,25

Từ (1) và (2)
⇒

AE.AB=AF.AC ( = AH2)

d)

0,25
3

AH
Chứng minh: BC =
BE . CF

Xét  ABC vuông tại A có AH là đường cao
 AH2 = BH.CH ( Hệ thức lượng)
 AH4 = BH2.CH2
Xét  AHB vuông tại H có HE là đường cao
 BH2 = BE. BA ( Hệ thức lượng)
Xét  AHC vuông tại H có HF là đường cao
 CH2 = CF.CA ( Hệ thức lượng)
Do đó AH4 = BE.CF.AB.AC = BE.CF.BC.AH
Suy ra AH3 = BE.CF.BC
Vậy BC =
Bài 5
( 0,5
điểm)

0,25

0,25

3

AH
BE . CF

( 1 ) Điều kiện: x –1.
(1)

(x2– 6x + 9 ) + ( x + 1– 4
( x – 3)2 + (

+ 4) = 0

– 2)2 = 0
0,25

(TM ĐK)
Vậy phương trình có một nghiệm là x = 3.
(Ghi chú: (Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)

0,25