SỞ GD-ĐT BẮC NINH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2
NĂM HỌC 2023-2024
————————————–
Môn: Toán 11
(Đề thi gồm 01 trang)
Ngày thi: 06/01/2024 - Thời gian làm bài: 150 phút
————————————–

Câu 1 (4,0 điểm). Cho dãy số (un ) có số hạng tổng quát un = −3n + 1, ∀n ∈ N∗ .
a) Chứng minh rằng (un ) là một cấp số cộng.
b) Với mỗi số nguyên dương n ta đặt vn = 2024un . Chứng minh rằng dãy số (vn ) là
một cấp số nhân lùi vô hạn và tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó.
Câu 2 (4,0 điểm).

π √
= 2 − 1.
a) Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình tan 3x −
7
b) Biết rằng phương trình a. sin x + b. cos x = c có nghiệm khi và chỉ khi a2 + b2 ≥ c2 .
Vận dụng tính chất đó, hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1 − sin x + 2 cos x
.
y=
3 + sin x − cos x
Câu 3 (4,0 điểm).
a) Tìm m để hàm số sau đây liên tục tại điểm x = 1

1
3


− 3
khi x > 1,

x
−
1
x
−
1
f (x) =


 x2 + m
khi x ≤ 1.
√
√
1 + 16x. 3 1 − 27x − 1
.
b) Tính giới hạn lim
x→0
x
Câu 4 (2,0 điểm). Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương có 5 chữ số. Tính xác suất
để chọn được số mà hai chữ số kề nhau luôn khác nhau.
Câu 5 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P ) : y = x2 − 2x và
đường tròn (T ) : x2 + y 2 − 4x − 2y = 0. Tính diện tích của đa giác lồi có các đỉnh là các
điểm chung của (P ) và (T ).
Câu 6 (4,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O.
Gọi M là trung điểm của SC , G là trọng tâm tam giác ABC , K là giao điểm của đường
thẳng SD và mặt phẳng (AGM ).
a) Chứng minh đường thẳng OM song song với mặt phẳng (SAD).
b) Mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng M G và song song với đường thẳng SB . Hãy xác
định giao điểm Q của đường thẳng BC với mặt phẳng (P ).
KS
c) Tính tỉ số
.
KD
HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Số báo danh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

SỞ GD-ĐT BẮC NINH
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2
NĂM HỌC 2023-2024
————————————–
Môn: Toán 11
Ngày thi: 06/01/2024 - Thời gian làm bài: 150 phút
————————————–

ĐÁP ÁN - HƯỚNG DẪN CHẤM
(Gồm 03 trang)

Điểm
Câu
Nội dung
1
∗
1,0
(4,0) a) Ta có un = −3n + 1, un+1 = −3n − 2, ∀n ∈ N
⇒ un+1 −un = −3, ∀n ∈ N∗ . Vậy (un ) là một cấp số cộng với công sai d = −3. 1,0
 1 n+1
 1 n
, vn+1 = 2024.
, ∀n ∈ N∗ .
b) Nhận thấy vn = 2024.
3
3

2024
1
vn+1
∈ (−1; 1), ∀n ∈ N∗ .
=
Do đó
vn
20243

2024

1,0

1
1
, v1 =
.
3
2024
20242
2024
v
.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (vn ) là S = 1 =
1−q
20243 − 1

 √


2
π
π
π
5π kπ
(4,0) a) tan 3x − 7 = 2 − 1 ⇔ tan 3x − 7 = tan 8 ⇔ x = 56 + 3 , k ∈ Z.
5π
kπ
15
Ta có
+
< 0 ⇔ k < − . Mà k ∈ Z nên k = −1, −2, −3, −4, .... Vậy
56
3
56
41π
.
nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã cho (ứng với k = −1) là x = −
168
b) Phương trình sin x − cos x = −3 vô nghiệm vì 12 + (−1)2 < (−3)2 . Dẫn tới
3 + sin x − cos x ̸= 0, ∀x ∈ R. Hàm số đã cho có tập xác định là R. Ta có
1 − sin x + 2 cos x
⇔ (−y − 1) sin x + (y + 2) cos x = 3y − 1.
y=
3 + sin x − cos x
Coi phương trình trên là phương trình ẩn x, với y là tham số. Phương trình
này có nghiệm khi và chỉ khi (−y−1)2 +(y+2)2 ≥ (3y−1)2 ⇔ 7y 2 −12y−4
h 2 ≤i0
2
⇔ − ≤ y ≤ 2. Chứng tỏ hàm số đã cho có miền giá trị là đoạn − ; 2 .
7
7
2
Vậy max y = 2 và min y = − .
7 1
 x+2 

3
3
lim+ f (x) = lim+
−
= lim+
= 1.
(4,0) a) Ta có x→1
x − 1 x3 − 1
x2 + x + 1
x→1
x→1
Đồng thời lim− f (x) = |m + 1| = f (1).

Vậy (vn ) là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q =

1,0
1,0
1,0

1,0

1,0

1,0

x→1

Hàm số f (x) liên tục tại điểm x = 1 khi và chỉ khi |m + 1| = 1 hay m = 0 1,0
hoặc m = −2.

Trang 1/3

√
n
1 + ax − 1
b) Ta xét giới hạn L = lim
với các hằng số a ̸= 0, n ∈ N, n ≥ 2.
x→0
x
√
Đặt t =√n 1 + ax thì ax = tn − 1, x → 0 khi và chỉ khi t → 1. Lúc này
n
1 + ax − 1
a(t − 1)
a
a
L = lim
= lim n
= lim n−1
= . Cụ thể, ta có
x→0
t→1 t − 1
t→1√
t
+ ... + t + 1
n
√x
3
16
−27
1 + 16x − 1
1 − 27x − 1
=
= 8, lim
=
= −9.
lim
x→0
x→0 √
x
2
x
2
√
3
1 + 16x. 1 − 27x − 1
Như vậy lim
x
 √x→0

√
3
1 + 16x − 1 √
1
−
27x
−
1
. 3 1 − 27x +
= lim
= 8.1 − 9 = −1.
x→0
x
x
Xét số nguyên dương có 5 chữ số có dạng abcxy , ở đó các chữ số a, b, c, x, y
4
4
a có 9 cách chọn, mỗi
(2,0) tùy ý, a ̸= 0. Có tất cả 9.10 số như vậy, vì chữ số
4
chữ số còn lại có 10 cách chọn. Do đó n(Ω) = 9.10 .
Xét số nguyên dương có 5 chữ số có dạng abcxy , ở đó các chữ số a, b, c, x, y
thỏa mãn a ̸= 0, a ̸= b, b ̸= c, c ̸= x, x ̸= y .
- Vì a ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} nên a có 9 cách chọn.
- Vì b ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} \ {a} nên b có 9 cách chọn.
- Vì c ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} \ {b} nên c có 9 cách chọn.
- Tương tự, x có 9 cách chọn và y cũng có 9 cách chọn.
Như thế, có tất cả 95 số nguyên dương có 5 chữ số mà hai chữ số kề nhau
luôn khác nhau. Gọi A là biến cố cần tính xác suất thì n(A) = 95 .
 9 4
n(A)
95
=
= 0, 6561.
Vậy P (A) =
=
n(Ω)
9.104
10
Thế y = x2 − 2x vào phương trình x2 + y 2 − 4x − 2y = 0 ta được
x2 + (x2 − 2x)2 − 4x − 2(x2 − 2x) = 0
5
(2,0) ⇔ x2 (x2 − 4x + 3) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3 hoặc x = 1.
Vậy (P ) và (T ) có ba điểm chung là O(0; 0), A(3; 3), B(1; −1).
4
(P )
3

1,0

1,0

0,75

1,25

1,0

y
(T )

A

2
1
−1 O
−1
√

Ta tính được OA = 3 2, OB =

1

2

3

4

x

B
√

√
2, AB = 2 5.

0,5

Trang 2/3

1

Kí hiệu p = (OA + OB + AB) =
2
p

√

√
5 + 2 2. Tam giác OAB có diện tích là

p.(p − OA).(p − OB).(p − AB) = 3 (đơn vị diện tích).
Lưu ý : Vì OA2 + OB 2 = AB 2 nên tam giác OAB vuông tại O.
Do đó có thể tích diện tích tam giác OAB như sau
1
S = .OA.OB = 3 (đơn vị diện tích).
2

S=

0,5

6
1,0
(4,0) a) Vì OM //SA nên OM //(SAD).
b) Gọi I = AM ∩ SO. Trong mặt phẳng (SBD), kéo dài GI cắt SD tại K ⇒
K = SD ∩(AM G). Tam giác SAC có SO, AM là hai đường trung tuyến, nên 0,75
OI
1
OG
I là trọng tâm tam giác đó ⇒
= =
⇒ GI // SB ⇒ GK // SB .
OS

3

OB

Do đó mặt phẳng (P ) chính là mặt phẳng (GM K).
Để ý rằng I ∈ GK ⊂ (GM K) , A ∈ IM ⊂ (GM K) .
0,75
Vậy giao điểm của BC với (P ) chính là giao điểm của BC với AG, và là
trung điểm Q của BC .

KD
GD
=
. Ta có DO = BO = 3GO ⇒ GD = 4GO,
KS
GB
GD
4GO
KS
1
KD
=
=
=2⇒
= .
GB = 2GO. Vậy
KS
GB
2GO
KD
2

c) Vì GK // SB nên

1,5

HẾT

Trang 3/3