KỲ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LIÊN TRƯỜNG
LỚP 8 - NĂM HỌC 2023-2024
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi có 02 trang)

Họ và tên thí sinh:
……………………………………………….

Môn thi : TOÁN Thời gian: 120 phút.
(Không kể thời gian phát đề)
Số báo danh:
Chữ ký thí sinh:
…………….
…………………..

PHẦN I: CHỈ ĐIỀN KẾT QUẢ VÀO BÀI LÀM (Mỗi câu đúng 1 điểm)
Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x2 – 7xy – 6y2
Câu 2: Cho tam giác ABC; M thuộc AB sao cho AM = 1,5MB, N thuộc AC
sao cho MN song song với BC; MN = 12,6cm. Tính BC?
Câu 3: Trong hộp đựng 6 viên bi đỏ, 7 viên bi xanh, 8 viên bi vàng, (các
viên bi có thể tích, hình dạng và trọng lượng hoàn toàn giống nhau). Tính
xác suất biến cố lấy trong hộp ra trúng viên bi màu xanh
Câu 4: Tìm các giá trị của x,y,z. Biết: 16(2xyz +2xy + z + 2x + 1) = 101(yz + y +
1)
Câu 5: Đường thẳng (d) : y = (3m2 – 2)x + m – 1 song song với đường thẳng (d') : y = x khi
m nhận những gái trị nào?
Câu 6: Cho x > 0 thỏa mãn:

, Tính giá trị biểu thức P =

Câu 7 : Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y=
Câu 8: Xác định các hệ số hữu tỉ

và

3−4 x
2 x2 +2

sao cho

chia hết cho

.
Câu 9 : Cho hình chóp đều S.ABC, cạnh AB = 6cm, cạnh bên SA = 8cm. Tính thể tích của
hình chóp S.ABC.
Câu 10: Tìm số nguyên dương n để 2n – 3 và 8n – 31 đều là các số chính phương.

PHẦN II: TỰ LUẬN
Câu 1.(3,0 điểm) Cho biểu thức
a) Viết điều kiện xác định, rồi rút gọn biểu thức .
b) Tìm giá trị của để
.
c) Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.
Câu 2.(2,0 điểm)
a) Cho

.Tính giá trị của biểu thức sau:

.

b) Chứng minh rằng:
.Câu 3.(3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có
. Đường phân giác của góc D đi
qua trung điểm I của cạnh AB.
a) Chứng minh:
.
b) Kẻ
. Chứng minh:
.
c) Chứng minh:
.
Câu 4. (1,0 điểm ) Tìm m để các đường thăng (d): y = 3x + 2 ; (d'): y = 2x + 1 và đường
thẳng (d”) : y= (2m – 3)x + 2 đồng quy.

Câu 5. (1,0 điểm) Cho hình vuông ABCD hai đường chéo căt nhau tại O, H là trung điểm
của OC và M là trung điểm của đoạn AB. Tính số đo góc DHM.
-------------HẾT--------------Thí sinh không được sử dụng máy tính và tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

HƯỚNG DẪN CHẤM
(Bảng hướng dẫn chấm gồm 6 trang)
------------------------I- HƯỚNG DẪN CHUNG:
1- Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho
đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
2- Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm
phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong
Hội đồng chấm thi.
3- Điểm toàn bài thi không làm tròn số.
II- ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM:
Phần 1: Chỉ điền kết quả vào bài làm: (mỗi câu đúng cho 1 điểm)
Câu 1: (3x +2y)(x – 3y)
Câu 2: 21 cm
Câu 3:
Câu 4: x = 3; y = 3; z = 4.
Câu 5: m = -1
Câu 6: P = 123
Câu 7: min y =
Câu 8: a = b = 1

; max y = 2

Câu 9: V =
cm3
Câu 10: n = 14
Phần 2: Tự luận:
CÂU
Câu 1.

ĐÁP ÁN

ĐIỂM
3,00 đ
1,00 đ

a) Rút gọn

0,25 đ

ĐKXĐ:

0,50 đ
Ta có:

0,25 đ

Vậy,
b) Tìm giá trị của

để

1,00 đ

.

0,50đ

Ta có:

(thỏa ĐKXĐ)

Vậy,
c) Tìm các giá trị nguyên của
Để

để

có giá trị nguyên khi

1,00 đ
0,50đ

có giá trị nguyên.
nguyên và

0,50 đ

thì

0,25 đ

Giải ra
Câu 2.

hoặc

Suy ra

thì

b) Cho
Đặt a =

0,25 đ

( thỏa ĐKXĐ)
có giá trị nguyên.

2,00 đ
1,00 đ

.Tính giá trị của biểu thức sau:
;b=

;c=

.

=> a + b + c = 0

Ta có:
Mà a + b + c = 0 nên

0,25 đ

=>

0,25 đ
Do đó

( ĐKXĐ:

)
0,25 đ

Ta có:

0,25 đ
Vậy,

khi

1,00 đ

b) Chứng minh rằng:

.
0,25 đ

Ta có:
Tương tự:

0,25 đ

. Vậy

0,25 đ

Lại có:
0,25 đ

Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta được:
Do đó bài toán được chứng minh.
Câu 3.

3,00 đ
1,00 đ
0,25 đ

a) Chứng minh:
.
Ta có: AB = 2AI (Vì I là trung điểm của AB ) (1)
Ta lại có:
mà
Do đó,

( Vì DI là phân giác của
( Vì AB // DC, slt)
suy ra

cân tại A nên

),

0,50 đ
0,25 đ

Từ (1) và (2) suy ra

A

B

I

E

D

H

M

C

b) Kẻ
. Chứng minh:
Gọi M là trung điểm của DC, E là giao điểm của AM và DI.

1,50 đ

Ta có
và
nên tam giác ADM đều.
Suy ra DI là đường phân giác nên cũng là đường cao.
Do đó,
tại E.

0,50 đ

Vì

0,25 đ

0,25 đ

đều có AH, DE là hai đường cao nên

Vì
cân tại A, có
Từ (3) và (4) suy ra
c) Chứng minh:

tại E nên
.

0,50 đ

.

Xét tam giác ADC có AM là đường trung tuyến và
. Vậy,
Câu 4.

0,50 đ

nên

0,50 đ

.

Tìm m để các đường thăng (d): y = 3x + 2 ; (d'): y = 2x + 1 và đường
thẳng (d”) : y= (2m – 3)x + 2 đồng quy.

1,00 đ

0,25 đ
(d) căt (d') tại điểm A có hoành độ thõa mãn: 3x + 2 = 2x + 1
0,25 đ
x= - 1 từ đó y = 2.(-1) + 1 = - 1
suy ra điểm A(-1 ; -1)
các đường thẳng (d); (d') và (d'') đồng quy khi A thuộc (d'') hay 0,25 đ
(2m – 3)(-1) + 2 = - 1 => m = 3 ;
0,25 đ

Câu 5.

1,00 đ

A

D

cao
AI
-

M

- Gọi I là trung điểm của AO; vì
H là trung điểm của CO nên IH
là đường trung bình của tam 0,25 đ
O
giác DOC;
Suy ra HI//DC mà CD AD
I
H
nên HI AD
- Lại có ABCD là hình vuông,
nên DO AC
C
Do đó tam giác ADC có các đường 0,25 đ
HI và DO căt nhau tạ I => I là trực tâm của tam giác ADC =>
DH
0,25 đ
Mặt khác HI là đường trung bình của tam giác DOC nên
B

HI =
= AM (1)
Lại có: AM // CD (vì BA//CD ) => HI // AM (2)
Từ 1 và 2 suy ra AIHM là hình bình hành => MH // AI mà AI
DH nên MH

DH hay

0,25 đ