ĐỀ THI THAM KHẢO KIỂM TRA KHẢO SÁT
Môn: Toán (lớp 9)
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
I. TRẮC NGHIỆM: (2 điểm). Khoanh tròn vào chữ cái đặt trước câu trả lời đúng:
1
Câu 1: (0,4 điểm). Điều kiện xác định của biểu thức:
là:
√x
A. x ≥ 0
B. x ≤ 0
C. x >0
D. x <0
Câu 2: (0,4 điểm). Cho tam giác đều ABC cạnh a. Vẽ hai đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp
tam giác đó. Tính diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn theo a.
πa √ 3
π a2
3 π a2
π a2
A.
B.
C.
D.
3
4
4
12
Câu 3: (0,4 điểm). Phương trình nào có tổng hai nghiệm bằng 4?
A. x 2+ 4 x +3=0
B. x 2−4 x+3=0
C. x 2+ 3 x −4=0
D. x 2−4 x+5=0
Câu 4: (0,4 điểm). Một đồ vật bơm khí đầy ở bên trong được sinh ra từ việc quay nửa đường
tròn quanh trục cố định. Biết bán kính đồ vật bằng 5 cm, thể tích khí cần dùng là:
100
375
500
π cm3
π cm3
π cm3
A.
B.
C. 100 π cm3
D.
3
4
3
Câu 5: (0,4 điểm). Em có hai con xúc xắc, gieo hai con ngẫu nhiên trong cùng một lần, khi
đó, đếm số chấm ở mặt bên trên hai con xúc xắc này. Xác suất để hai con xúc xắc ra số chấm
có tổng bằng 6 là:
5
1
1
5
A.
B.
C.
D.
18
4
3
36
II. TỰ LUẬN:
x + y=4
Câu 6: (1 điểm). Giải hệ phương trình:
−2 x + y =7
√ x+1 − √ x+ 1− 3 : ( x−4 )
Câu 7: (1 điểm). Cho biểu thức: A =
√ x−1
√ x−1
a) (0,625 điểm). Rút gọn biểu thức A.
b) (0,375 điểm). Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.
Câu 8: (1,5 điểm) Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2(m + 1)x – m2 – m
a) (0,75 điểm). Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 3.
b) (0,75 điểm). Tìm m để (P) cắt (d) tại hai điểm A(x1, y1) và điểm B(x2, y2) thỏa mãn:
y2(x1 – m)2 = 6m
Câu 9: (1,5 điểm)
a) (1 điểm) Bác Lan trồng cây trên một mảnh đất hình chữ nhật. Biết rằng, nếu tăng chiều dài
mảnh đất thêm 2 m và giảm chiều rộng mảnh đất đi 6 m thì diện tích mảnh đất giảm đi 140
m2. Nếu tăng chiều rộng 2 m và giảm chiều dài của mảnh đất 2 m thì mảnh đất trở thành hình
vuông. Tính chu vi của mảnh đất đó.
b) (0,5 điểm) Một cái tháp có hai phần tách biệt: phần thân hình trụ cao 5 m và mái dạng hình
nón ở bên trên có đường kính đáy bằng đường kính đáy của thân trụ và cao 3 m. Biết khi sơn
quanh thân hình trụ, người ta cần 40 π m2 sơn. Tính thể tích của tháp đó. (lấy π ≈3,14 , phần
sơn thừa hay phần mép giữa tháp và đỉnh nón là không đáng kể)
Câu 10: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), trung tuyến AH, AH cắt (O) tại D
(D ≠ A). Trên tia đối của tia DB lấy điểm E di động sao cho ^
BCE< ^
AHC . Vẽ tia Ex sao cho
^
^
BEx= BCA , Ex cắt AC tại F.
a) (1 điểm). Chứng minh: Tứ giác BECF nội tiếp và AD // EF.
b) (1 điểm). Chứng minh: ∆ ABF ∆ DCE và BF. BD = CA. CE
c) (0,5 điểm). Đường tròn ngoại tiếp tam giác FDE cắt (O) tại G (G ≠ D). Chứng minh khi E
di động trên tia đối của tia DB, giao điểm của EF và DG luôn thuộc một đường thẳng cố định.

{

(

)

Câu 11: (0,5 điểm) Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
2
a +ab b +ba
+
2
2
a +9 b b +9 a
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Đề nghị thí sinh làm bài không sử dụng tài liệu!
Họ và tên:…………………………………………………………………………………… Lớp:
………
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THAM KHẢO KIỂM TRA KHẢO SÁT
Môn: Toán (lớp 9)
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với các ý cơ bản học sinh phải trình bày, nếu
học sinh giải theo cách khác mà đúng và đủ các bước thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa.
- Trong mỗi bài, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các bước sau có liên quan không được
điểm.
- Bài hình học bắt buộc phải vẽ đúng hình thì mới chấm điểm, nếu không có hình vẽ đúng ở
phần nào thì giám khảo không cho điểm phần lời giải liên quan đến hình của phần đó.
- Điểm toàn bài là tổng điểm của các ý, các câu, tính đến 0,125 điểm và không làm tròn.
I. TRẮC NGHIỆM: (2 điểm). Khoanh tròn vào chữ cái đặt trước câu trả lời đúng:
Câu

1

2

3

4

5

Đáp án

C

A

B

D

B

(Mỗi câu làm sai trừ 0,4 điểm)
II. TỰ LUẬN:
Câu 6: (1 điểm). Giải hệ phương trình:

{

x + y=4 (1)
−2 x + y =7(2)

Hướng dẫn chung

Điểm

Giải hệ phương trình ra được nghiệm (-1, 5).

0,75

Vậy hệ phương trình có nghiệm (-1, 5).

0,25

Câu 7: (1 điểm). Cho biểu thức: A =

(

)

√ x+1 − √ x+ 1− 3 : ( x−4 )
(ĐKXĐ: x ≥ 0, x ≠ 1 và
√ x−1
√ x−1

x ≠ 4) (0,125 điểm)
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.
Hướng dẫn chung
a) A =

Điểm
0,375

√ x+1 − ( √ x+ 1 )( √ x−1 ) −3 . 1 = √ x +1 − x−1−3 . 1 = √ x+1 − x −4 . 1 = √ x +1 − 1 = √
x −4 √ x−1 √ x−1 x−4 √ x −1 √ x−1 x −4 √ x−1 √ x −1
√ x−1
√ x−1
0,125
√x .
Vậy với x ≥ 0, x ≠ 1 và x ≠ 4 thì A =
√ x−1
0,25
√ x (ĐKXĐ: x ≥ 0, x ≠ 1 và x ≠ 4)
b) Ta có: A =
√ x−1
√ x =1+ 1
Khi đó: A =
√ x−1
√ x−1

1
có giá trị nguyên nên √ x−1∈ Ư ( 1 )= {± 1 }
√ x−1
Ta tìm được x = 0 (Thỏa mãn ĐKXĐ) và x = 4 (Không thỏa mãn ĐKXĐ)

Để A có giá trị nguyên thì

Vậy x = 0 thì biểu thức A có giá trị nguyên.

0,125

Câu 8: (1,5 điểm) Cho parabol (P): y = x và đường thẳng (d): y = 2(m + 1)x – m – m
a) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 3.
b) Tìm m để (P) cắt (d) tại hai điểm A(x1, y1) và điểm B(x2, y2) thỏa mãn: y2(x1 – m)2 = 6m
2

2

Hướng dẫn chung

Điểm

Ta có: (P): y = x (*) và (d): y = 2(m + 1)x – m + m (**)
Xét phương trình hoành độ giao điểm: x2 = 2(m + 1)x – m2 – m
hay x2 – 2(m + 1)x + m2 + m = 0 (1)

0,25

a) Thay m = 3 vào phương trình (1), ta được:
x2 – 2(3 + 1)x + 32 + 3 = 0
hay x2 – 8x + 12 = 0 (2)

0,25

Ta có: ∆ ' =(−4 )2−1.12=4> 0 nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:

0,25

2

2

−(−4 ) + √ 4
−(−4 )−√ 4
=6 , x 2=
=2.
1
1
Với x1 = 6, thay vào phương trình (*), ta được: y1 = 36.
Với x2 = 2, thay vào phương trình (*), ta được: y2 = 4.
Vậy với m = 3, tọa độ giao điểm của (P) và (d) là (6, 36) và (2, 4).
x 1=

b) Xét: ∆ ' =( m+ 1 )2−1. ( m2 +m ) =m2+ 2m+1−m2−m=m+ 1

0,25

Để (P) cắt (d) tại hai điểm thì phương trình (1) có hai nghiệm.
Do đó, ∆ ' ≥ 0 suy ra m+1≥ 0 hay m ≥ -1.
Vậy nên, với m ≥ -1 thì (P) cắt (d) tại hai điểm A(x1, y1) và B(x2, y2).

Theo hệ thức Vietè, ta có:

{

−[ −2 ( m+1 ) ]
=2 (m+1)(3)
1
m2 +m
x 1 x2 =
=m2+ m(4)
1

x1 + x 2=

Vì điểm B(x2, y2) nằm trên đường thẳng (d) nên thay x = x2, y = y2 vào phương
trình của đường thẳng (d), ta được:
y2 = 2(m + 1)x2 – m2 – m = 2(m + 1)x2 – m(m + 1) = (m + 1)(2x2 – m) (***)
Vì điểm A(x1, y1) là giao điểm của (P) và (d) nên x1 là một nghiệm của phương
trình (1). Khi đó:
x12 – 2(m + 1)x1 + m2 + m = 0
hay x12 – 2mx1 – 2x1 + m2 + m = 0
hay x12 – 2mx1 + m2 = 2x1 – m
hay (x1 – m)2 = 2x1 – m (****)
Theo bài ra ta có: y2(x1 – m)2 = 6m (5)
Thay (***), (****) vào phương trình (5), kết hợp với (3) và (4), ta được:
(m + 1)(2x2 – m)(2x1 – m) = 6m

0,25

0,25

hay (m + 1)[4x1x2 – 2m(x1 + x2) + m2] = 6m
(m + 1)[4(m2 + m) – 2m. 2(m + 1) + m2] = 6m
(m + 1)(4m2 + 4m - 4m2 – 4m + m2) = 6m
(m + 1)m2 = 6m
m(m2 + m – 6) = 0
m(m – 2)(m + 3) = 0
Khi đó, m = 0, m – 2 = 0 hoặc m + 3 = 0 hay m = 0 (thỏa mãn), m = 2 (thỏa mãn)
hoặc m = -3 (không thỏa mãn)
Vậy với m = 0 hoặc m = 2 để parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm A(x1,
y1) và B(x2, y2) thỏa mãn y2(x1 – m)2 = 6m.
Câu 9: (1,5 điểm) a) Bác Lan trồng cây trên một mảnh đất hình chữ nhật. Biết rằng, nếu tăng
chiều dài mảnh đất thêm 2 m và giảm chiều rộng mảnh đất đi 6 m thì diện tích mảnh đất giảm
đi 140 m2. Nếu tăng chiều rộng 2 m và giảm chiều dài của mảnh đất 2 m thì mảnh đất trở
thành hình vuông. Tính chu vi của mảnh đất đó.
b) Một cái tháp có hai phần tách biệt: phần thân hình trụ cao 5 m và mái dạng hình nón ở bên
trên có đường kính đáy bằng đường kính đáy của thân trụ và cao 3 m. Biết khi sơn quanh thân
hình trụ, người ta cần 40π m2 sơn. Tính thể tích của tháp đó. (lấy π ≈ 3,14, phần sơn thừa hay
phần mép giữa tháp và đỉnh nón là không đáng kể)
Hướng dẫn chung
Điểm
a) Gọi x, y (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của mảnh đất (6 < y < x)
Diện tích của mảnh đất là: xy (m2)

0,25

Khi tăng chiều dài thêm 2 m, chiều dài mới là: x + 2 (m)
Khi giảm chiều rộng đi 6 m, chiều rộng mới là: y – 6 (m)
Khi đó, diện tích mảnh đất là: (x + 2)(y – 6) (m2)
Vì khi này, diện tích mảnh đất giảm đi 140 m2 nên ta có phương trình:
xy – 140 = (x + 2)(y – 6) hay 3x – y = 64 (1)

0,25

Khi tăng chiều rộng thêm 2 m, chiều rộng mới của mảnh đất là: y + 2 (m)
Khi giảm chiều dài đi 2 m, chiều dài mới của mảnh đất là: x – 2 (m)
Khi này, mảnh đất trở thành hình vuông nên các cạnh bằng nhau. Do đó, ta có
phương trình: y + 2 = x – 2 hay x – y = 4 (2)

0,25

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

x − y=64
{3x−
y=4

0,125

Giải hệ phương trình, ta được: x = 30, y = 26 (Thỏa mãn điều kiện)
Chu vi của mảnh đất là: (30 + 26). 2 = 112 (m)
Vậy chu vi của mảnh đất là 112 m.
b) Bán kính đáy của thân trụ là: S xq=2 πRh nên R =

0,125
S xq
40 π
=
=4 (m)
2 πh 2 π .5

0,25

Thể tích của thân trụ là: Vtrụ = π R 2 htrụ =π . 4 2 .5=80 π (m3)
Thể tích của mái nón là: Vnón =

1
1
2
2
π R h nón= . π . 4 .3=16 π (m3)
3
3

0,25

Thể tích của tòa tháp là: V =V trụ +V nón =80 π +16 π =96 π ≈ 96.3,14=301,44 (m3)
Vậy thể tích của tháp là 301,44 m3.
Câu 10: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), trung tuyến AH, AH cắt (O) tại D
(D ≠ A). Trên tia đối của tia DB lấy điểm E di động sao cho ^
BCE< ^
AHC . Vẽ tia Ex sao cho
^
BEx= ^
BCA , Ex cắt AC tại F.
a) Chứng minh: Tứ giác BECF nội tiếp và AD // EF.
b) Chứng minh: ∆ ABF ∆ DCE và BF. BD = CA. CE
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác FDE cắt (O) tại G (G ≠ D). Chứng minh khi E di động trên
tia đối của tia DB, giao điểm của EF và DG luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Hướng dẫn chấm
Điểm
0,75

a)
Xét tứ giác BECF, ta có: ^
BEF= ^
BCF , mà hai điểm E và C cùng thuộc nửa mặt
phẳng bờ BF => Tứ giác BECF nội tiếp.
⏜
Xét (O) có hai góc nội tiếp ^
ADB và ^
ACB cùng chắn AB
=> ^
ADB= ^
ACB (hệ quả của góc nội tiếp) (*)

Mà ^
BEF= ^
ACB (giả thiết) nên kết hợp với (*)
=> ^
ADB= ^
BEF , mà chúng ở vị trí đồng vị => AD // EF

0,25

0,5

^ ^
b) Vì tứ giác BECF nội tiếp => CEB+
CFB=180o (tính chất của tứ giác nội tiếp),
^ B
^ BFA
^ =180o => CEB=
^
mà CFB+
FA

Vì tứ giác ABDC nội tiếp => ^
BAC + ^
BDC =180o (tính chất của tứ giác nội tiếp),
o
^
^
mà ^
=> ^
BAC=CDE
BDC+ CDE=180
^ ^
^
Xét tam giác ABF và tam giác DCE có CEB=
BFA và ^
BAC=CDE
=> ∆ ABF ∆ DCE( g . g)

Gọi J là giao điểm của EF và BC.
AF HJ
=
(định lí Thalès trong tam giác) (2)
AC HC
DE HJ
=
Xét tam giác BJE có DH // JE =>
(định lí Thalès trong tam giác) (3)
DB HB
AF DE
=
Mà HC = HB (giả thiết) nên từ (2) và (3) =>
(4)
AC DB
AF BF
=
Vì ∆ ABF ∆ DCE (cmt) =>
(hai cặp cạnh tỉ lệ tương ứng). (5)
DE CE
AF AC
BF AC
=
=
Mặt khác, từ (4) =>
nên kết hợp với (5) =>
=> BF. BD = CA.
DE DB
CE DB

Xét tam giác AHC có FJ // AH =>

CE

0,5

0,5

c)
^ và GDE
^ cùng
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác DFGE, ta có: hai góc nội tiếp GFE
⏜
^ GDE
^ (hệ quả của góc nội tiếp)
chắn cung ¿ => GFE=
o
Vì tứ giác AGDB nội tiếp => ^
BAG+ ^
BDG=180 (định lí về tứ giác nội tiếp), mà
o
^ GFE
^ (chứng minh trên)
^
^
=> ^
BAG= ^
GDE, mà GDE=
BDG+ GDE=180

=> ^
BAG= ^
GFE

o
^ BCG=180
^
Vì tứ giác AGCB nội tiếp => BAG+
, mà ^
BAG= ^
GFE =>
o
o
^ ^
GFE+
BCG=180 hay ^
JFG+ ^
JCG=180 .
o
Xét tứ giác JFGC, ta có: ^
JFG+ ^
JCG=180 , mà hai góc đó ở vị trí đối nhau

=> Tứ giác JFGC nội tiếp.
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác JFGC có hai góc nội tiếp ^
FGJ và ^
FCJ cùng
⏜
chắn cung FJ => ^
FGJ = ^
FCJ (hệ quả của góc nội tiếp) (4)
Ta lại có: ^
FCJ = ^
FEB (giả thiết) (5)

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác DFGE có hai góc nội tiếp ^
FGD cùng
FED và ^
⏜

^
chắn cung FD => F
ED= ^
FGD (6)
Từ (4), (5) và (6) => ^
FGJ = ^
FGD => G, J, D thẳng hàng.

=> Hai đường thẳng FE và GD cắt nhau tại J.
Mà J ∈ BC, BC cố định => FE cắt GD tại điểm nằm trên đường thẳng cố định khi
E di động trên tia đối của tia DB.
Câu 11: (0,5 điểm) Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của
a2 +ab b2 +ba
+
a2 +9 b b2 +9 a

Hướng dẫn chấm
Đặt A =
Ta có:

2

2

a +ab b +ba
+ 2
2
a +9 b b +9 a

Điểm
0,5

2

(

2

)

2

2

a +ab b +ba a (a+b) b(b+ a)
3a
3b
a
b
a
b
+ 2
= 2
+ 2
= 2
+ 2
=3 2
+ 2
=3( 3
+ 3
)
2
a +9 b b +9 a a + 9 b b +9 a a + 9 b a + 9 a
a +9b b +9a
a +9 ab b +9 ab

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz:

2

2
2
x y ( x+ y )
, ta được:
+ ≥
m n
m+n

2
2
( a+b )2
a
b
9
9
9
1
+
≥
=
=
=
=
3
3
3
3
3
27−9
ab+18
ab
27+9
ab
ab+3
a +9 ab b +9 ab a +b +18 ab ( a+ b ) −3 ab ( a+b )+18 ab

1
≥
( a+b )2 9
Mặt khác: ab ≤
= nên ab+3
4
4

1

=

9
+3
4
a
b
1
1
4
+ 2
≥
≥
=
2
Do đó: a +9 b b +9 a ab+ 3 21 21
4
4 4
Khi đó: A ≥ 3. =
21 7
3
Dấu “=” xảy ra khi: a = b =
2
4
3
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là khi a = b =
7
2

1
21
4