Kiểm tra 15'
- 0 / 0
-
(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn:
Người gửi: Nguyễn Thanh Tùng (trang riêng)
Ngày gửi: 20h:22' 09-05-2025
Dung lượng: 148.7 KB
Số lượt tải: 39
Nguồn:
Người gửi: Nguyễn Thanh Tùng (trang riêng)
Ngày gửi: 20h:22' 09-05-2025
Dung lượng: 148.7 KB
Số lượt tải: 39
Số lượt thích:
0 người
SỞ GD&ĐT THÀNH PHỐ HUẾ
KIỂM TRA CUỐI KỲ II - NĂM HỌC 2024 - 2025
TRƯỜNG THPT VINH XUÂN
Môn: TOÁN, Lớp 10
ĐỀ THAM KHẢO 01
Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)
(Đề thi có ….. trang)
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu
đến câu . Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Trục đối xứng của hàm số y=−2 x 2 +3 x+5 là
A. x=
−3
.
4
3
B. x= .
4
3
C. x= .
2
D. x=
49
.
8
Lời giải
Chọn B
Trục đối xứng: x=
−b
−3
3
=
= .
2 a 2. (−2 ) 4
Câu 2. Cho tam thức bậc hai f ( x )=a x2 +bx +c , ( a ≠ 0 ) có bảng xét dấu như hình vẽ dưới đây
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hệ số a> 0.
B. f ( x ) >0 ⇔ x ∈ ( x1 ; x 2) .
C. Tam thức có hai nghiệm.
D. f ( x ) <0 ⇔ x ∈ (−∞ ; x 1 ) ∪ ( x2 ;+∞ ).
Lời giải
Chọn A
Từ bảng xét dấu ta thấy tam thức có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2.
Và f ( x ) >0 ⇔ x ∈ ( x1 ; x 2) ; f ( x ) <0 ⇔ x ∈ (−∞ ; x 1 ) ∪ ( x2 ;+∞ ).
Câu 3. Đường thẳng đi qua A (−1 ; 2 ), nhận n⃗ =( 2;−4 ) làm véctơ pháp tuyến có phương
trình là:
A. x – 2 y – 4=0 .
B. x + y +4=0 .
C. – x +2 y – 4=0 .
D. x – 2 y+5=0 .
Lời giải
Chọn D
Câu 4. Đường thẳng đi qua A (−1 ; 2 ), nhận n⃗ =( 2;−4 ) làm véctơ pháp tuyến có phương
trình là: 2 ( x+1 ) −4 ( y−2 )=0 hay x−2 y +5=0. Tính tổng các hệ số của các số hạng trong
khai triển nhị thức ( x +2 )2
A. 6 .
B.5.
C.1.
D.−2.
Lời giải
Chọn B
Ta có: ( x +2 )2=x 2+ 4 x +4
Câu 5. Phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn?
A. x 2+ y 2−8 x+ 10 y + 43=0.
B. x 2+ y 2−48 x +50 y+ 1101=0.
C. 2 x2 + y 2−24 x+50 y −100=0 .
D. x 2+ 2 y 2−4 x−8 y +1=0.
Lời giải
Chọn B
Phương án A: x 2+ y 2−8 x+ 10 y + 43=0⇔ ( x−4 )2 + ( y +5 )2=−2 (loại).
Phương án C và D loại vì hệ số của x 2 và y 2 không bằng nhau.
Phương án B: x 2+ y 2−48 x +50 y+ 1101=0 ⇔ ( x −24 )2 + ( y +25 )2=100 (nhận).
Câu 6. Lớp 10K có 20 học sinh nữ, 15 học sinh nam. Thầy giáo dạy toán cần chọn một
học sinh lên bảng thực hiện bài tập. Hỏi thầy có bao nhiêu cách chọn ?
A. 20.
B.35.
C.300.
D.15.
Lời giải
Chọn B
Thầy có thể chọn học sinh nữ hoặc học sinh nam để thực hiện bài tập.
Chọn nữ có 20 cách.
Chọn nam có 15 cách.
Theo quy tắc cộng ta được 20+15=35 cách chọn.
Câu 7. Có bao nhiêu cách xếp 3 học sinh nam và 4 học sinh nữ theo hàng ngang?
A. 5040.
B.144 .
C.2880 .
D.480 .
Lời giải
Chọn A
Mỗi cách sắp xếp 7 bạn học sinh thành 1 hàng ngang là một hoán vị của 7 phần tử nên
số cách xếp là 7 !=5040.
Câu 8. Bạn An thực hiện thí nghiệm hóa học. Trên bàn có 4 ống nghiệm chứa 4 loại
acid khác nhau và 4 ống nghiệm chứa 4 loại base khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách
ghép cặp acid với base để tạo thành 4 phản ứng cùng lúc?
A. 16.
B.24 .
C.8 .
D.4 .
Lời giải
Chọn B
Cố định 4 ống nghiệm chứa acid và hoán vị 4 ống nghiệm chứa base để ghép cặp tạo
thành 4 phản ứng: có 4 !=24 cách.
Câu 9. Khai triển nhị thức ( x +1 )5 có bao nhiêu số hạng?
A. 6 .
B.8 .
C.7 .
D.5.
Lời giải
Chọn A
Tính chất của công thức nhị thức ( a+ b )n: Số các số hạng của công thức là n+1
Với nhị thức ( x +1 )5: Số các số hạng của công thức là 5+1=6
Câu 10. Trong một chiếc hộp có 5 viên bi màu đỏ, 6 viên bi màu xanh. An lấy ngẫu
nhiên ra 3 viên bi. Tính xác suất để 3 viên bi lấy ra đều là màu đỏ.
A.
2
.
33
5
B. .
6
C.
5
.
11
D.
31
.
33
Lời giải
Chọn A
Lấy 3 viên bi trong số 11 viên bi ⇒ n ( Ω )=C 311
A “Lấy được 3 viên bi màu đỏ” ⇒ n ( A )=C 35
3
n ( A ) C5 2
=
=
Xác suất để lấy được 3 viên bi màu đỏ là P ( A )=
n ( Ω ) C311 33
Câu 11. Trong mặt phẳng Oxy , phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của
một elip?
2
2
2
2
A.
x y
+ =1.
4 5
B.
x
y
− =1.
16 9
C.
x y
+ =1.
25 16
D.
x y
+ =1.
4 2
2
2
Lời giải
Chọn D
2
2
x y
Phương trình chính tắc của elip có dạng 2 + 2 =1 , ( a>b> 0 ) nên chọn phương án D .
a b
Câu 12. Trong một chiếc hộp có 20 viên bi, trong đó có 8 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu
xanh và 5 viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi. Tìm xác suất để 3 viên bi lấy
ra đều màu đỏ.
A. P ( A )=
14
.
285
B. P ( A )=
253
.
380
C. P ( A )=
144
.
285
D. P ( A )=
233
.
380
Lời giải
Chọn A
Số phần tử của không gian mẫu: n ( Ω ) =C320=1140 .
Gọi biến cố A : “3 viên bi lấy ra đều màu đỏ”
3
⇒ n ( A )=C 8=56
Do đó: P ( A )=
56
14
=
.
1140 285
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu đến câu .
Trong mỗi ư (a), (b), (c), (d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
2
2
x y
Câu 13. Cho elip ( E ) : + =1. Khi đó:
16 9
a) Điểm A ( 4 ; 0 ) thuộc elip ( E ) .
b) Tiêu cự elip ( E ) bằng √ 7.
c) Elip ( E ) có tiêu điểm F 1 (−2 √ 7 ; 0 ), F 2 ( 2 √7 ; 0 ).
d) Cho M là điểm thuộc ( E ) thoả mãn M F 1 +2 M F2 =11. Khi đó2 M F 1+ M F2 =13.
Lời giải
(a) Điểm A ( 4 ; 0 ) thuộc elip ( E ) .
Điểm A ( 4 ; 0 ) thuộc elip ( E ) .
» Chọn ĐÚNG.
(b) Tiêu cự elip ( E ) bằng √ 7.
Ta có: c 2=a2−b 2=16−9=7 . Suy ra c= √7 .
Elip ( E ) có tiêu cự 2 c=2 √ 7
» Chọn SAI.
(c) Elip ( E ) có tiêu điểm F 1 (−2 √ 7 ; 0 ), F 2 ( 2 √7 ; 0 ).
Elip ( E ) có tiêu điểm F 1 (−√ 7 ; 0 ) , F 2 ( √ 7 ;0 ).
» Chọn SAI.
(d) Cho M là điểm thuộc ( E ) thoả mãn M F 1 +2 M F2 =11. Khi đó2 M F 1+ M F2 =13.
Ta có: M F 1 + M F 2=2 a=2⋅ 4=8.
Suy ra 3 M F 1+ 3 M F2 =24 hay ( 2 M F 1+ M F 2) + ( M F 1+ 2 M F 2 )=24.
Vì M F 1 +2 M F2 =11 nên 2 M F 1+ M F2 =24−11=13.
» Chọn ĐÚNG.
Câu 14. Trong hộp có chứa 7 bi xanh, 5 bi đỏ, 2 bi vàng có kích thước và khối lượng như
nhau. Lấy ngẫu nhiên từ trong hộp 6 viên bi. Khi đó:
1
.
429
a) Xác suất để có đúng một màu bằng
b) Xác suất để có đúng hai màu đỏ và vàng bằng
c) Xác suất để có ít nhất 1 bi đỏ bằng
1
.
429
139
.
143
d) Xác suất để có ít nhất 2 bi xanh bằng
32
.
39
Lời giải
Chọn ngẫu nhiên 6 viên bi trong 14 viên bi có C 614 cách.
Vậy số phần tử của không gian mẫu n ( Ω ) =C614=3003.
1
.
429
(a) Xác suất để có đúng một màu bằng
Gọi A :“6 viên được chọn có đúng một màu”.
6
n ( A ) =C7 . Suy ra P ( A )=
6
n ( A ) C7
1
= 6 =
.
429
n ( Ω ) C14
» Chọn ĐÚNG.
(b) Xác suất để có đúng hai màu đỏ và vàng bằng
1
.
429
Gọi biến cố B:“6 viên được chọn có đúng hai màu đỏ và vàng”.
Số trường hợp thuận lợi cho B là:
Trường hợp 1: Chọn được 1 vàng và 5 đỏ, có C 12 ⋅C 55=2 cách.
Trường hợp 2: Chọn được 2 vàng và 4 đỏ, có C 22 ⋅C 45=5 cách.
n ( B )=2+5=7. Suy ra P ( B )=
n ( B)
7
1
= 6 =
.
n ( Ω ) C 14 429
» Chọn ĐÚNG.
(c) Xác suất để có ít nhất 1 bi đỏ bằng
139
.
143
Gọi C :“6 viên được chọn có ít nhất 1 bi đỏ”.
Biến cố đối C :“Tất cả 6 viên được chọn đều không có bi đỏ”.
6
n ( C )=C 9=84 . Suy ra P ( C ) =
n (C )
4
=
.
n ( Ω ) 143
P ( C ) + P ( C )=1 ⇒ P (C )=1−P (C )=
139
.
143
» Chọn ĐÚNG.
(d) Xác suất để có ít nhất 2 bi xanh bằng
32
.
39
Gọi biến cố D :“6 viên được chọn có ít nhất 2 bi xanh”.
Biến cố đối D :“6 viên được chọn có nhiều nhất 1 bi xanh”.
Số trường hợp thuận lợi cho D là:
Trường hợp 1: Chọn được 6 bi đỏ, vàng, có C 67=7 cách.
Trường hợp 2: Chọn được 1 bi xanh và 5 bi đỏ, vàng, có C 17 ⋅C 57=147 cách.
n ( D )=7 +147=154 . Suy ra P ( D )=
P ( D ) + P ( D )=1 ⇒ P ( D )=1−P ( D )=
n ( D) 2
= .
n ( Ω) 39
37
.
39
» Chọn SAI.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu đến câu
.
Câu 15. Một hộp gồm các viên bi màu đỏ, xanh và vàng. Có 5 viên bỉ đỏ được đánh số
thứ tự từ 1đến 5, 6 viên bi xanh đánh số từ 1 đến 6 , 7 viên bi vàng được đánh số từ 1 đến
7 . Lấy ngẫu nhiên 3viên bi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 viên bi vừa khác số vừa khác
màu.
Lời giải
Trả lời: 125
Lấy 1 viên bi màu đỏ có C 15 cách lấy.
Lấy 1 viên bi màu xanh, khác số với viên bi màu đỏ có C 15 cách lấy.
Lấy 1 viên bi màu vàng, khác số với bi đỏ và bi xanh có C 15 cách lấy.
Vậy có C 15 . C15 . C15 =125 cách chọn thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 16. Siêu thị điện máy Nguyễn Kim nhập về một loại máy tính xách tay với giá 15
triệu đồng và bán ra với giá 18 triệu đồng. Với giá bán này, một tháng siêu thị sẽ bán
được 20 cái máy tính xách tay. Siêu thị dự định giảm giá bán, ước tính nếu cứ giảm giá
bán mỗi máy 500000 đồng thì số máy tính bán được trong một tháng tăng thêm 5 cái.
Siêu thị cần bán mỗi cái máy tính giá là bao nhiêu triệu đồng để lợi nhuận thu được
của siêu thị là cao nhất?
Lời giải
Trả lời: 17,5
Gọi x (triệu đồng) là số tiền cần giảm giá bán mỗi máy tính xách tay (0 ≤ x<3 ).
Gọi y là số máy tính bán được tăng thêm sau khi giảm giá bán.
Từ giả thiết ta có
x
y
= ⇔ y =10 x .
0,5 5
Suy ra, số máy tính bán được trong một tháng là 20+10 x .
Khi đó, lợi nhuận thu được là: f ( x )= ( 3−x ) ( 20+ 10 x ) với 0 ≤ x<3 .
Lợi nhuận thu được cao nhất khi hàm số f ( x ) đạt giá trị lớn nhất trên [ 0 ;3 )
2
( )
Ta có f ( x )=−10 x +10 x+ 60=−10 x−
1 2 125 125
+
≤
, ∀ x ∈ [ 0; 3 ).
2
2
2
Suy ra giá trị lớn nhất của f ( x ) trên [ 0 ; 3 ) bằng
125
1
, đạt được khi x= .
2
2
Do đó, lợi nhuận thu được là cao nhất khi giảm giá bán mỗi máy tính 0,5 triệu đồng.
Vậy giá bán mỗi máy tính là 17,5 triệu đồng thì lợi nhuận thu được là lớn nhất.
Câu 17. Một khung biển quảng cáo hình elip có độ dài trục lớn bằng 120 cm, độ dài trục
bé bằng 8 0 cm . Người ta dự định căng một bức ảnh trong một hình chữ nhật nội tiếp
của elip như hình vẽ bên dưới. Hỏi diện tích bức ảnh lớn nhất có thể là bao nhiêu m2?
Lời giải
Trả lời: 0,48
Ta có:
a=1,2
a=0,6
⇒{
{22b=0,8
b=0,4
x2
y2
Vậy elip ( E ) :
+
=1
0,36 0,16
Giả sử M ( x ; y ) ∈ ( E ) với x >0 , y> 0.
và M M 1 M 3 M 2 là hình chữ nhật nội tiếp của elip.
Diện tích của hình chữ nhật M M 1 M 3 M 2 là:
SM M
1
M3
√
M =M M 1 . M M 2=2 x .2 y=4 xy=4 x .0,4 1−
2
.
⇒ SM M
1
M3M2
2
x
8
8
8
2
2
2
, ( Ðk : 0≤ x ≤ 0,6 )= . x √ 0,36−x = . √ x ( 0,36−x ) ≤ .
0,36
3
3
3
≤0,48 .
Vậy diện S M M
1
M3 M2
lớn nhất bằng 0,48 m2 .
2
2
2
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x =0,36−x ⇒ 2 x −0,36=0 ⇒ x=
3 √2
.
10
Vậy diện tích bức ảnh lớn nhất bằng 0,48 m2
Câu 18. Có 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang và được đánh số thứ tự từ 1 đến
6. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 học sinh lớp A , 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp
C , ngồi vào hàng ghế đó, sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh. Tính xác suất để các
học sinh lớp A ngồi vào những ghế có số thứ tự cách đều nhau và học sinh lớp C chỉ
ngồi cạnh học sinh lớp B. Viết kết quả dưới dạng thập phân.
Lời giải
Trả lời: 0,1
Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh thành hàng ngang, không gian mẫu có số phần tử là:
n ( Ω ) =6 !.
Gọi M là biến cố “các học sinh lớp A ngồi vào những ghế có số thứ tự cách đều nhau
và học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B”.
Vì học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B nên các học sinh lớp A không thể ngồi
vào các ghế 1, 3, 5 hoặc 2, 4, 6 do đó ta xét các trường hợp.
Trường hợp 1: Các học sinh lớp A ngồi vào các ghế được đánh số thự tự 1 ,2 , 3 hoặc 4,
5, 6 có P3=3 ! cách xếp 3 học sinh lớp A vào các ghế này. Có C 12 Cách xếp học sinh lớp C
vào các ghế còn lại không gần A . Tiếp theo có 2 ! cách xếp 2 học sin h lớp B vào 2 ghế
còn lại. Do đó trong trường hợp này có 2.3 ! C12 2 !=48 cách xếp.
Trường hợp 2: Các học sinh lớp A ngồi vào các ghế được đánh số thự tự 2 , 3 , 4 hoặc 3,
4, 5có P3=3 ! cách xếp 3 học sinh lớp A vào các ghế này. Khi đó có duy nhất cách xếp
học sinh lớp C vào ghế không gần A . Tiếp theo có 2 ! cách xếp 2 học sinh lớp B vào 2
ghế còn lại. Do đó trong trường hợp này có 2.3 ! .2!=24 cách xếp.
Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố M là n ( M )=48+24=72.
Vậy P ( M )=
n ( M ) 72 1
= = .
n ( Ω ) 6 ! 10
PHẦN IV. Câu tự luận. Thí sinh ghi lời giải từ câu đến câu .
Câu 19. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2−2 x−2 y−3=0 và điểm M =( 0 ;2 ) .
Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A , B sao cho
ABcó độ dài ngắn nhất.
Lời giải
I(1;1)
R= 5
A
M(0;2)
H
B
d
( C ) có tâm I =( 1 ; 1 ) và bán kính R=√ 5 , ℑ=√ 2< √ 5 ⇒ M nằm trong đường tròn ( C )
Gọi H là hình chiếu của I trên d
Ta có: AB=2 AH =2 √ I A2 −I H 2=2 √ 5−I H 2 ≥ 2 √ 5−I M 2=2 √ 3.
Dấu "¿" xảy ra ⇔ H ≡ M hay d ⊥ ℑ.
Vậy phương trình đường thẳng d qua M ( 0; 2 ) và có VTPT ⃗
MI =( 1;−1 ) là x− y +2=0
Câu 20. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 10 A , 3 học sinh lớp 10 B và 5 học
sinh lớp 10 C thành một hàng ngang. Tính số cách xếp để trong 10 học sinh trên không
có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau.
Lời giải
Sắp xếp 5 học sinh lớp 10C vào 5 vị trí, có 5 ! cách.
Ứng mỗi cách xếp 5 học sinh lớp 10C sẽ có 6 khoảng trống gồm 4 vị trí ở giữa và hai vị
trí hai đầu để xếp các học sinh còn lại.
Trường hợp 1: Chọn một học sinh và xếp vào một trong hai chỗ đầu hàng, sau đó xếp
4 học sinh còn lại mỗi học sinh vào một chỗ giữa (khoảng trống giữa hai học sinh lớp
10C).
Theo quy tắc nhân, ta có 5.2 .4 ! cách.
Trường hợp 2: Chọn một học sinh lớp 10A và một học sinh lớp 10B, xếp hai học sinh
vừa chọn vào một khoảng trống giữa hai học sinh lớp 10C. Sau đó xếp ba học sinh còn
lại vào ba khoảng trống còn lại giữa các học sinh 10C.
Theo quy tắc nhân, ta có 2.3 .4 .2 .3! cách.
Do đó số cách xếp không có học sinh cùng lớp ngồi cạnh nhau là:
5 !. ( 5.2.4 !+ 48.3 ! ) =63360 cách.
Câu 21. Cho đường tròn ( C ) có phương trình x 2+ y 2−6 x+ 2 y +6=0 và điểm hai điểm B (1 ; 3 ) .
Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) kẻ từ B.
Lời giải
Phương trình đường thẳng Δ đi qua B có dạng:
a ( x−1 ) +b ( y −3 )=0 (với a 2+ b2 ≠ 0 ) hay ax +by −a−3b=0
Đường thẳng Δ là tiếp tuyến của đường tròn ⇔ d ( I ; Δ ) =R
⇔
|3 a−b−a−3 b|
√a +b
2
2
2
2
2
2
=2 ⇔ ( a−2b ) =a +b ⇔ 3 b −4 ab=0 ⇔
[ 3 b=0
b=4 a
+ Nếu b=0, chọn a=1 suy ra phương trình tiếp tuyến là x=1.
+ Nếu 3 b=4 a, chọn a=3 , b=4 suy ra phương trình tiếp tuyến là 3 x+ 4 y −15=0
Vậy qua B kẻ được hai tiếp tuyến với ( C ) có phương trình là x=1 và 3 x+ 4 y −15=0
KIỂM TRA CUỐI KỲ II - NĂM HỌC 2024 - 2025
TRƯỜNG THPT VINH XUÂN
Môn: TOÁN, Lớp 10
ĐỀ THAM KHẢO 01
Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)
(Đề thi có ….. trang)
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu
Câu 1. Trục đối xứng của hàm số y=−2 x 2 +3 x+5 là
A. x=
−3
.
4
3
B. x= .
4
3
C. x= .
2
D. x=
49
.
8
Lời giải
Chọn B
Trục đối xứng: x=
−b
−3
3
=
= .
2 a 2. (−2 ) 4
Câu 2. Cho tam thức bậc hai f ( x )=a x2 +bx +c , ( a ≠ 0 ) có bảng xét dấu như hình vẽ dưới đây
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hệ số a> 0.
B. f ( x ) >0 ⇔ x ∈ ( x1 ; x 2) .
C. Tam thức có hai nghiệm.
D. f ( x ) <0 ⇔ x ∈ (−∞ ; x 1 ) ∪ ( x2 ;+∞ ).
Lời giải
Chọn A
Từ bảng xét dấu ta thấy tam thức có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2.
Và f ( x ) >0 ⇔ x ∈ ( x1 ; x 2) ; f ( x ) <0 ⇔ x ∈ (−∞ ; x 1 ) ∪ ( x2 ;+∞ ).
Câu 3. Đường thẳng đi qua A (−1 ; 2 ), nhận n⃗ =( 2;−4 ) làm véctơ pháp tuyến có phương
trình là:
A. x – 2 y – 4=0 .
B. x + y +4=0 .
C. – x +2 y – 4=0 .
D. x – 2 y+5=0 .
Lời giải
Chọn D
Câu 4. Đường thẳng đi qua A (−1 ; 2 ), nhận n⃗ =( 2;−4 ) làm véctơ pháp tuyến có phương
trình là: 2 ( x+1 ) −4 ( y−2 )=0 hay x−2 y +5=0. Tính tổng các hệ số của các số hạng trong
khai triển nhị thức ( x +2 )2
A. 6 .
B.5.
C.1.
D.−2.
Lời giải
Chọn B
Ta có: ( x +2 )2=x 2+ 4 x +4
Câu 5. Phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn?
A. x 2+ y 2−8 x+ 10 y + 43=0.
B. x 2+ y 2−48 x +50 y+ 1101=0.
C. 2 x2 + y 2−24 x+50 y −100=0 .
D. x 2+ 2 y 2−4 x−8 y +1=0.
Lời giải
Chọn B
Phương án A: x 2+ y 2−8 x+ 10 y + 43=0⇔ ( x−4 )2 + ( y +5 )2=−2 (loại).
Phương án C và D loại vì hệ số của x 2 và y 2 không bằng nhau.
Phương án B: x 2+ y 2−48 x +50 y+ 1101=0 ⇔ ( x −24 )2 + ( y +25 )2=100 (nhận).
Câu 6. Lớp 10K có 20 học sinh nữ, 15 học sinh nam. Thầy giáo dạy toán cần chọn một
học sinh lên bảng thực hiện bài tập. Hỏi thầy có bao nhiêu cách chọn ?
A. 20.
B.35.
C.300.
D.15.
Lời giải
Chọn B
Thầy có thể chọn học sinh nữ hoặc học sinh nam để thực hiện bài tập.
Chọn nữ có 20 cách.
Chọn nam có 15 cách.
Theo quy tắc cộng ta được 20+15=35 cách chọn.
Câu 7. Có bao nhiêu cách xếp 3 học sinh nam và 4 học sinh nữ theo hàng ngang?
A. 5040.
B.144 .
C.2880 .
D.480 .
Lời giải
Chọn A
Mỗi cách sắp xếp 7 bạn học sinh thành 1 hàng ngang là một hoán vị của 7 phần tử nên
số cách xếp là 7 !=5040.
Câu 8. Bạn An thực hiện thí nghiệm hóa học. Trên bàn có 4 ống nghiệm chứa 4 loại
acid khác nhau và 4 ống nghiệm chứa 4 loại base khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách
ghép cặp acid với base để tạo thành 4 phản ứng cùng lúc?
A. 16.
B.24 .
C.8 .
D.4 .
Lời giải
Chọn B
Cố định 4 ống nghiệm chứa acid và hoán vị 4 ống nghiệm chứa base để ghép cặp tạo
thành 4 phản ứng: có 4 !=24 cách.
Câu 9. Khai triển nhị thức ( x +1 )5 có bao nhiêu số hạng?
A. 6 .
B.8 .
C.7 .
D.5.
Lời giải
Chọn A
Tính chất của công thức nhị thức ( a+ b )n: Số các số hạng của công thức là n+1
Với nhị thức ( x +1 )5: Số các số hạng của công thức là 5+1=6
Câu 10. Trong một chiếc hộp có 5 viên bi màu đỏ, 6 viên bi màu xanh. An lấy ngẫu
nhiên ra 3 viên bi. Tính xác suất để 3 viên bi lấy ra đều là màu đỏ.
A.
2
.
33
5
B. .
6
C.
5
.
11
D.
31
.
33
Lời giải
Chọn A
Lấy 3 viên bi trong số 11 viên bi ⇒ n ( Ω )=C 311
A “Lấy được 3 viên bi màu đỏ” ⇒ n ( A )=C 35
3
n ( A ) C5 2
=
=
Xác suất để lấy được 3 viên bi màu đỏ là P ( A )=
n ( Ω ) C311 33
Câu 11. Trong mặt phẳng Oxy , phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của
một elip?
2
2
2
2
A.
x y
+ =1.
4 5
B.
x
y
− =1.
16 9
C.
x y
+ =1.
25 16
D.
x y
+ =1.
4 2
2
2
Lời giải
Chọn D
2
2
x y
Phương trình chính tắc của elip có dạng 2 + 2 =1 , ( a>b> 0 ) nên chọn phương án D .
a b
Câu 12. Trong một chiếc hộp có 20 viên bi, trong đó có 8 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu
xanh và 5 viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi. Tìm xác suất để 3 viên bi lấy
ra đều màu đỏ.
A. P ( A )=
14
.
285
B. P ( A )=
253
.
380
C. P ( A )=
144
.
285
D. P ( A )=
233
.
380
Lời giải
Chọn A
Số phần tử của không gian mẫu: n ( Ω ) =C320=1140 .
Gọi biến cố A : “3 viên bi lấy ra đều màu đỏ”
3
⇒ n ( A )=C 8=56
Do đó: P ( A )=
56
14
=
.
1140 285
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu
Trong mỗi ư (a), (b), (c), (d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
2
2
x y
Câu 13. Cho elip ( E ) : + =1. Khi đó:
16 9
a) Điểm A ( 4 ; 0 ) thuộc elip ( E ) .
b) Tiêu cự elip ( E ) bằng √ 7.
c) Elip ( E ) có tiêu điểm F 1 (−2 √ 7 ; 0 ), F 2 ( 2 √7 ; 0 ).
d) Cho M là điểm thuộc ( E ) thoả mãn M F 1 +2 M F2 =11. Khi đó2 M F 1+ M F2 =13.
Lời giải
(a) Điểm A ( 4 ; 0 ) thuộc elip ( E ) .
Điểm A ( 4 ; 0 ) thuộc elip ( E ) .
» Chọn ĐÚNG.
(b) Tiêu cự elip ( E ) bằng √ 7.
Ta có: c 2=a2−b 2=16−9=7 . Suy ra c= √7 .
Elip ( E ) có tiêu cự 2 c=2 √ 7
» Chọn SAI.
(c) Elip ( E ) có tiêu điểm F 1 (−2 √ 7 ; 0 ), F 2 ( 2 √7 ; 0 ).
Elip ( E ) có tiêu điểm F 1 (−√ 7 ; 0 ) , F 2 ( √ 7 ;0 ).
» Chọn SAI.
(d) Cho M là điểm thuộc ( E ) thoả mãn M F 1 +2 M F2 =11. Khi đó2 M F 1+ M F2 =13.
Ta có: M F 1 + M F 2=2 a=2⋅ 4=8.
Suy ra 3 M F 1+ 3 M F2 =24 hay ( 2 M F 1+ M F 2) + ( M F 1+ 2 M F 2 )=24.
Vì M F 1 +2 M F2 =11 nên 2 M F 1+ M F2 =24−11=13.
» Chọn ĐÚNG.
Câu 14. Trong hộp có chứa 7 bi xanh, 5 bi đỏ, 2 bi vàng có kích thước và khối lượng như
nhau. Lấy ngẫu nhiên từ trong hộp 6 viên bi. Khi đó:
1
.
429
a) Xác suất để có đúng một màu bằng
b) Xác suất để có đúng hai màu đỏ và vàng bằng
c) Xác suất để có ít nhất 1 bi đỏ bằng
1
.
429
139
.
143
d) Xác suất để có ít nhất 2 bi xanh bằng
32
.
39
Lời giải
Chọn ngẫu nhiên 6 viên bi trong 14 viên bi có C 614 cách.
Vậy số phần tử của không gian mẫu n ( Ω ) =C614=3003.
1
.
429
(a) Xác suất để có đúng một màu bằng
Gọi A :“6 viên được chọn có đúng một màu”.
6
n ( A ) =C7 . Suy ra P ( A )=
6
n ( A ) C7
1
= 6 =
.
429
n ( Ω ) C14
» Chọn ĐÚNG.
(b) Xác suất để có đúng hai màu đỏ và vàng bằng
1
.
429
Gọi biến cố B:“6 viên được chọn có đúng hai màu đỏ và vàng”.
Số trường hợp thuận lợi cho B là:
Trường hợp 1: Chọn được 1 vàng và 5 đỏ, có C 12 ⋅C 55=2 cách.
Trường hợp 2: Chọn được 2 vàng và 4 đỏ, có C 22 ⋅C 45=5 cách.
n ( B )=2+5=7. Suy ra P ( B )=
n ( B)
7
1
= 6 =
.
n ( Ω ) C 14 429
» Chọn ĐÚNG.
(c) Xác suất để có ít nhất 1 bi đỏ bằng
139
.
143
Gọi C :“6 viên được chọn có ít nhất 1 bi đỏ”.
Biến cố đối C :“Tất cả 6 viên được chọn đều không có bi đỏ”.
6
n ( C )=C 9=84 . Suy ra P ( C ) =
n (C )
4
=
.
n ( Ω ) 143
P ( C ) + P ( C )=1 ⇒ P (C )=1−P (C )=
139
.
143
» Chọn ĐÚNG.
(d) Xác suất để có ít nhất 2 bi xanh bằng
32
.
39
Gọi biến cố D :“6 viên được chọn có ít nhất 2 bi xanh”.
Biến cố đối D :“6 viên được chọn có nhiều nhất 1 bi xanh”.
Số trường hợp thuận lợi cho D là:
Trường hợp 1: Chọn được 6 bi đỏ, vàng, có C 67=7 cách.
Trường hợp 2: Chọn được 1 bi xanh và 5 bi đỏ, vàng, có C 17 ⋅C 57=147 cách.
n ( D )=7 +147=154 . Suy ra P ( D )=
P ( D ) + P ( D )=1 ⇒ P ( D )=1−P ( D )=
n ( D) 2
= .
n ( Ω) 39
37
.
39
» Chọn SAI.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu
Câu 15. Một hộp gồm các viên bi màu đỏ, xanh và vàng. Có 5 viên bỉ đỏ được đánh số
thứ tự từ 1đến 5, 6 viên bi xanh đánh số từ 1 đến 6 , 7 viên bi vàng được đánh số từ 1 đến
7 . Lấy ngẫu nhiên 3viên bi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 viên bi vừa khác số vừa khác
màu.
Lời giải
Trả lời: 125
Lấy 1 viên bi màu đỏ có C 15 cách lấy.
Lấy 1 viên bi màu xanh, khác số với viên bi màu đỏ có C 15 cách lấy.
Lấy 1 viên bi màu vàng, khác số với bi đỏ và bi xanh có C 15 cách lấy.
Vậy có C 15 . C15 . C15 =125 cách chọn thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 16. Siêu thị điện máy Nguyễn Kim nhập về một loại máy tính xách tay với giá 15
triệu đồng và bán ra với giá 18 triệu đồng. Với giá bán này, một tháng siêu thị sẽ bán
được 20 cái máy tính xách tay. Siêu thị dự định giảm giá bán, ước tính nếu cứ giảm giá
bán mỗi máy 500000 đồng thì số máy tính bán được trong một tháng tăng thêm 5 cái.
Siêu thị cần bán mỗi cái máy tính giá là bao nhiêu triệu đồng để lợi nhuận thu được
của siêu thị là cao nhất?
Lời giải
Trả lời: 17,5
Gọi x (triệu đồng) là số tiền cần giảm giá bán mỗi máy tính xách tay (0 ≤ x<3 ).
Gọi y là số máy tính bán được tăng thêm sau khi giảm giá bán.
Từ giả thiết ta có
x
y
= ⇔ y =10 x .
0,5 5
Suy ra, số máy tính bán được trong một tháng là 20+10 x .
Khi đó, lợi nhuận thu được là: f ( x )= ( 3−x ) ( 20+ 10 x ) với 0 ≤ x<3 .
Lợi nhuận thu được cao nhất khi hàm số f ( x ) đạt giá trị lớn nhất trên [ 0 ;3 )
2
( )
Ta có f ( x )=−10 x +10 x+ 60=−10 x−
1 2 125 125
+
≤
, ∀ x ∈ [ 0; 3 ).
2
2
2
Suy ra giá trị lớn nhất của f ( x ) trên [ 0 ; 3 ) bằng
125
1
, đạt được khi x= .
2
2
Do đó, lợi nhuận thu được là cao nhất khi giảm giá bán mỗi máy tính 0,5 triệu đồng.
Vậy giá bán mỗi máy tính là 17,5 triệu đồng thì lợi nhuận thu được là lớn nhất.
Câu 17. Một khung biển quảng cáo hình elip có độ dài trục lớn bằng 120 cm, độ dài trục
bé bằng 8 0 cm . Người ta dự định căng một bức ảnh trong một hình chữ nhật nội tiếp
của elip như hình vẽ bên dưới. Hỏi diện tích bức ảnh lớn nhất có thể là bao nhiêu m2?
Lời giải
Trả lời: 0,48
Ta có:
a=1,2
a=0,6
⇒{
{22b=0,8
b=0,4
x2
y2
Vậy elip ( E ) :
+
=1
0,36 0,16
Giả sử M ( x ; y ) ∈ ( E ) với x >0 , y> 0.
và M M 1 M 3 M 2 là hình chữ nhật nội tiếp của elip.
Diện tích của hình chữ nhật M M 1 M 3 M 2 là:
SM M
1
M3
√
M =M M 1 . M M 2=2 x .2 y=4 xy=4 x .0,4 1−
2
.
⇒ SM M
1
M3M2
2
x
8
8
8
2
2
2
, ( Ðk : 0≤ x ≤ 0,6 )= . x √ 0,36−x = . √ x ( 0,36−x ) ≤ .
0,36
3
3
3
≤0,48 .
Vậy diện S M M
1
M3 M2
lớn nhất bằng 0,48 m2 .
2
2
2
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x =0,36−x ⇒ 2 x −0,36=0 ⇒ x=
3 √2
.
10
Vậy diện tích bức ảnh lớn nhất bằng 0,48 m2
Câu 18. Có 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang và được đánh số thứ tự từ 1 đến
6. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 học sinh lớp A , 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp
C , ngồi vào hàng ghế đó, sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh. Tính xác suất để các
học sinh lớp A ngồi vào những ghế có số thứ tự cách đều nhau và học sinh lớp C chỉ
ngồi cạnh học sinh lớp B. Viết kết quả dưới dạng thập phân.
Lời giải
Trả lời: 0,1
Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh thành hàng ngang, không gian mẫu có số phần tử là:
n ( Ω ) =6 !.
Gọi M là biến cố “các học sinh lớp A ngồi vào những ghế có số thứ tự cách đều nhau
và học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B”.
Vì học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B nên các học sinh lớp A không thể ngồi
vào các ghế 1, 3, 5 hoặc 2, 4, 6 do đó ta xét các trường hợp.
Trường hợp 1: Các học sinh lớp A ngồi vào các ghế được đánh số thự tự 1 ,2 , 3 hoặc 4,
5, 6 có P3=3 ! cách xếp 3 học sinh lớp A vào các ghế này. Có C 12 Cách xếp học sinh lớp C
vào các ghế còn lại không gần A . Tiếp theo có 2 ! cách xếp 2 học sin h lớp B vào 2 ghế
còn lại. Do đó trong trường hợp này có 2.3 ! C12 2 !=48 cách xếp.
Trường hợp 2: Các học sinh lớp A ngồi vào các ghế được đánh số thự tự 2 , 3 , 4 hoặc 3,
4, 5có P3=3 ! cách xếp 3 học sinh lớp A vào các ghế này. Khi đó có duy nhất cách xếp
học sinh lớp C vào ghế không gần A . Tiếp theo có 2 ! cách xếp 2 học sinh lớp B vào 2
ghế còn lại. Do đó trong trường hợp này có 2.3 ! .2!=24 cách xếp.
Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố M là n ( M )=48+24=72.
Vậy P ( M )=
n ( M ) 72 1
= = .
n ( Ω ) 6 ! 10
PHẦN IV. Câu tự luận. Thí sinh ghi lời giải từ câu
Câu 19. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2−2 x−2 y−3=0 và điểm M =( 0 ;2 ) .
Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A , B sao cho
ABcó độ dài ngắn nhất.
Lời giải
I(1;1)
R= 5
A
M(0;2)
H
B
d
( C ) có tâm I =( 1 ; 1 ) và bán kính R=√ 5 , ℑ=√ 2< √ 5 ⇒ M nằm trong đường tròn ( C )
Gọi H là hình chiếu của I trên d
Ta có: AB=2 AH =2 √ I A2 −I H 2=2 √ 5−I H 2 ≥ 2 √ 5−I M 2=2 √ 3.
Dấu "¿" xảy ra ⇔ H ≡ M hay d ⊥ ℑ.
Vậy phương trình đường thẳng d qua M ( 0; 2 ) và có VTPT ⃗
MI =( 1;−1 ) là x− y +2=0
Câu 20. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 10 A , 3 học sinh lớp 10 B và 5 học
sinh lớp 10 C thành một hàng ngang. Tính số cách xếp để trong 10 học sinh trên không
có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau.
Lời giải
Sắp xếp 5 học sinh lớp 10C vào 5 vị trí, có 5 ! cách.
Ứng mỗi cách xếp 5 học sinh lớp 10C sẽ có 6 khoảng trống gồm 4 vị trí ở giữa và hai vị
trí hai đầu để xếp các học sinh còn lại.
Trường hợp 1: Chọn một học sinh và xếp vào một trong hai chỗ đầu hàng, sau đó xếp
4 học sinh còn lại mỗi học sinh vào một chỗ giữa (khoảng trống giữa hai học sinh lớp
10C).
Theo quy tắc nhân, ta có 5.2 .4 ! cách.
Trường hợp 2: Chọn một học sinh lớp 10A và một học sinh lớp 10B, xếp hai học sinh
vừa chọn vào một khoảng trống giữa hai học sinh lớp 10C. Sau đó xếp ba học sinh còn
lại vào ba khoảng trống còn lại giữa các học sinh 10C.
Theo quy tắc nhân, ta có 2.3 .4 .2 .3! cách.
Do đó số cách xếp không có học sinh cùng lớp ngồi cạnh nhau là:
5 !. ( 5.2.4 !+ 48.3 ! ) =63360 cách.
Câu 21. Cho đường tròn ( C ) có phương trình x 2+ y 2−6 x+ 2 y +6=0 và điểm hai điểm B (1 ; 3 ) .
Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) kẻ từ B.
Lời giải
Phương trình đường thẳng Δ đi qua B có dạng:
a ( x−1 ) +b ( y −3 )=0 (với a 2+ b2 ≠ 0 ) hay ax +by −a−3b=0
Đường thẳng Δ là tiếp tuyến của đường tròn ⇔ d ( I ; Δ ) =R
⇔
|3 a−b−a−3 b|
√a +b
2
2
2
2
2
2
=2 ⇔ ( a−2b ) =a +b ⇔ 3 b −4 ab=0 ⇔
[ 3 b=0
b=4 a
+ Nếu b=0, chọn a=1 suy ra phương trình tiếp tuyến là x=1.
+ Nếu 3 b=4 a, chọn a=3 , b=4 suy ra phương trình tiếp tuyến là 3 x+ 4 y −15=0
Vậy qua B kẻ được hai tiếp tuyến với ( C ) có phương trình là x=1 và 3 x+ 4 y −15=0
Các ý kiến mới nhất