Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

ĐỀ SỐ 1

Sưu tầm và biên soạn

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi
thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1.Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
vuông góc với đường thẳng
là:
A.
.B.
.C.
.D.
Câu 2.Có
học sinh giỏi gồm học sinh khối , học sinh khối
và học sinh khối . Hỏi có bao
nhiêu cách chọn ra học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất học sinh?
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 3.Độ cao của mực nước biển tại Biển Cần Thơ vào ngày 6/10/2024 được đo bởi hàm số
và thời gian t;

có đơn vị đo lần lượt là decimet và giờ. Bạn

Tuấn muốn đi tham quan Bến Ninh Kiều thuộc thành phố Cần Thơ. Vậy Tuấn nên tránh những thời điểm
nào bị ngập do triều cường (mực nước biển đạt độ cao nhất) gây ra?
A. 4 giờ và 14 giờ.
B. 4 giờ và 6 giờ.
C.4 giờ và 16 giờ.
D. 2 giờ.
Câu 4.Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của
để tập nghiệm của bất phương trình
có ít nhất số nguyên và không quá số nguyên?
A.
.
Câu 5.Cho khối chóp đều
tích khối chóp đó.

B.

A.

B.

.

.
có cạnh đáy là

C.
.
D.
.
, các mặt bên tạo với đáy một góc

.

C.

.

D.

. Tính thể

.

Câu 6.Một bài trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn trong đó chỉ có 1 đáp án
đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 5 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 2 điểm. Một học sinh không
học bài nên trả lời hú họa cả 10 câu hỏi. Xác suất để học sinh này nhận được không vượt quá 1 điểm bằng
(kết quả làm tròn đến chữ số hàng phần chục nghìn)
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 7.Cho hàm số

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

.

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng

.

C. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
và
. D. Hàm số nghịch biến trên khoảng
.
Câu 8.Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là 300 km. Vận tốc dòng nước là 6 km/h. Nếu
vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi
công thức E (v ) cv 3t , trong đó c là hằng số và E tính bằng Jun. Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên nằm
ở khoảng nào thì năng lượng tiêu hao của cá giảm?
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 9.Cho hàm số
lớn nhất của hàm số

có đạo hàm trên
trên

, thỏa mãn

. Khi đó, giá trị

bằng

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 10. Sân vận động Sport Hub (Singapore) là sân có mái vòm kỳ vĩ nhất thế giới. Đây là nơi diễn ra lễ
khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức tại Singapore năm
. Nền sân là một elip
có
trục lớn dài
, trục bé dài
(hình vẽ). Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông góc với trục
lớn của
và cắt elip ở
(hình vẽ) thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có tâm
(phần tô đậm trong hình 4) với

là một dây cung và góc
1

Để lắp máy điều hòa không khí thì

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Sưu tầm và biên soạn

các kỹ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một
mặt phẳng và thể tích vật liệu là mái không đáng kể. Hỏi thể tích xấp xỉ bao nhiêu (làm trong đến hàng đơn
vị theo đơn vị mét khối)?

M

N

M
I

N
A.

.

B.

Câu 11. Trong không gian
. Khi

.

C.

, xét đường thẳng

.D.

đi qua điểm

tạovới đường thẳng

và mặt phẳng

A.

, nằm trong mặt phẳng

một góc nhỏ nhất thì đường thẳng

một vectơ chỉ phương là
. Giá trị của
bằng bao nhiêu?
A. .
B. .
C. .
Câu 12.Trong không gian với hệ tọa độ
tính diện tích của mặt cầu
tuyến của mặt cầu

.

D.
.
có tâm

có

biết giao

là đường tròn có chu vi bằng

B.

C.

D.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý (a), (b), (c), (d) ở
mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1.Cho hình chóp
có đáy
lần lượt là trung điểm
a)
.

là hình vuông cạnh , tâm ,
. Các khẳng định sau đây đúng hay sai?
b) Góc giữa
và mặt phẳng

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng

và

Câu 2.Cho hàm số

bằng

có đồ thị

bằng
là

.
.

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Với

, hàm số nghịch biến trên

b) Với

, Giá trị lớn nhất của hàm số trên

c) Với

, đồ thị hàm số

d) Với mọi

. d)Thể tích khối tứ diện

.

.
là 2

có hai điểm cực trị

Đường tiệm cận xiên của đồ thị

thoả mãn
luôn tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân.

2

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 3.

Sưu tầm và biên soạn

Một vật chuyển động với gia tốc

, trong đó

thời điểm ban đầu. Vận tốc chuyển động của vật là
a) Vận tốc của vật tại thời điểm

giây là

b) Vận tốc của vật tại thời điểm

giây là

c)Vào thời điểm

là khoảng thời gian tính từ

, vận tốc ban đầu của vật là
.
.

thì vận tốc của vật là

.

d)Không có thời điểm nào vận tốc của vật đạt
.
Câu 4. Bảng sau thống kê lại tổng số giờ nắng trong tháng 6 của các năm từ 2002 đến
2021 tại hai trạm quan trắc đặt ở Nha Trang và Quy Nhơn.

Số giờ nắng
Số năm ở Nha Trang
1
1
1
8
7
2
Số năm ở Quy Nhơn
0
1
2
4
10
3
(Nguồn: Tổng cục Thống kê)
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)Xét số liệu ở Nha Trang thì khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
b)Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn
c)Xét số liệu của Quy Nhơn ta có độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm (làm tròn kết quả đến hàng
phần trăm) là:
d) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 6 của Nha Trang đồng đều hơn
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1.Hai con chuồn chuồn bay trên hai quĩ đạo khác nhau, xuất phát cùng
thời điểm.Một con bay trên quỹ đạo là đường thẳng từ điểm
đến
điểm

với vận tốc

Con còn lại bay trên quĩ đạo là đường thẳng

từ
đến điểm
với vận tốc
Hỏi trong quá trình bay
thì khoảng cách ngắn nhất hai con đạt được là bao nhiêu? ( làm tròn đến
hàng phần mười)
Câu 2.Trên đồng hồ, tại thời điểm buổi sáng đang xét, kim giờ chỉ số 3, kim
phút chỉ số 12. Đến khi kim phút và kim giờ gặp nhau lần cuối cùng trước
9h thì kim phút quay được một góc lượng giác bằng bao nhiêu radian? (Làm
tròn đến hàng đơn vị).
Câu 3.Một hộp có
chiếc thẻ cùng loại được đánh số từ đến
Hai
bạn An và Bình chơi trò chơi rút thẻ trong hộp như sau: Hai bạn lần lượt rút
thẻ, mỗi lượt rút ngẫu nhiên một thẻ rồi ghi lại số trên thẻ vừa rút sau đó trả
lại thẻ vào hộp. An sẽ thắng nếu rút được thẻ ghi số chia hết cho
Bình sẽ
thắng nếu rút được thẻ ghi số chia hết cho
Giả sử An chơi trước, tính xác
suất để Bình thắng có dạng

A(0;200)

(

là phân số tối giản ). Tính

B(120;160)
A'
B'

O

.

Câu 4.Một phần mềm mô phỏng vận động viên tập bắn bia mục tiêu có kích thước nhỏ
bằng
súng tiểu liên AK trong không gian
. Cho biết vận động viên đó sử dụng thước ngắm 3 và đứng cách
xa bia mục tiêu là
, trục của nòng súng và cọc đỡ bia
lần lượt có phương trình
và

. Để bắn trúng hồng tâm ( điểm 10 ) thì vận động viên phải ngắm bắn vào điểm
và cách giao điểm của

và

một khoảng
3

. Khi

, tính giá trị biểu thức

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Sưu tầm và biên soạn

Câu 5.Trong không gian
, cho điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
và cắt 3 tia
lần lượt tại các điểm
(khác ) sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính
khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng
(kết quả là tròn đến hàng phần trăm).
Câu 6.Trong một kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông, một tỉnh
có 80% học sinh lựa chọn tổ hợp A00
(gồm các môn Toán, Vật lí, Hoá học). Biết rằng, nếu một học sinh chọn tổ hợp A00 thì xác suất để học sinh
đó đỗ đại học là 0,6; còn nếu một học sinh không chọn tổ hợp A00 thì xác suất để học sinh đó đỗ đại học là
0,7. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh
đã tốt nghiệp trung học phổ thông trong kì thi trên. Biết rằng
học sinh này đã đỗ đại học. Tính xác suất để học sinh đó chọn tổ hợp A00. (viết kết quả dưới dạng số thập
phân và làm tròn đến hàng phần trăm).
… Hết…

ĐỀ SỐ 1
………………………

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12
MÔN: TOÁN

I.
ĐÁP ÁN
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
(Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,25 điểm)
Câu
Chọn

1
A

2
D

3
C

4
D

5
C

6
B

7
C

8
C

9
D

10
D

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Điểm tối đa của 01 câu hỏi là 1 điểm
-Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 01 ý trong 1 câu hỏi được 0,1 điểm.
-Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 02 ý trong 1 câu hỏi được 0,25 điểm.
-Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 03 ý trong 1 câu hỏi được 0,5 điểm.
-Thí sinh lựa chọn chính xác cả 04 ý trong 1 câu hỏi được 1,0 điểm.
Câu 1
Câu 2
Câu 3
a) Đ
a) S
a) Đ
b) S
b) S
b) Đ
c) S
c) Đ
c) S
d) Đ
d) S
d) Đ
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
(Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,5 điểm)
Câu
1
2
Chọn
89,4
-36

3
62

4
-5

11
D

12
C

Câu 4
a) S
b) Đ
c) Đ
d) S

5
5,14

6
0,77

II. TÓM TẮT LỜI GIẢI
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi
thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1.
Phương trình tiếp tuyến
của đường tròn
vuông góc
với đường thẳng
là:
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Lời giải.Mức độ vận thông hiểu, đáp án A.
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
Dễ thấy đường tròn

.
nên phương trình đường thẳng
có tâm
và bán kính

Ta có:

.
.

4

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Sưu tầm và biên soạn

Câu 2.Có
học sinh giỏi gồm
học sinh khối
,
học sinh khối
và
bao nhiêu cách chọn ra học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất học sinh?

học sinh khối

A.
.
B.
Lời giải.Mức độ vận dụng, đáp án D.
Số cách chọn học sinh bất kỳ trong

D.

.

C.

.

học sinh là

Số cách chọn

học sinh chỉ có khối

là

Số cách chọn

học sinh chỉ có khối

và

là

Số cách chọn

học sinh chỉ có khối

và

là

. Hỏi có

.

cách.

cách.
cách.
cách.

Số cách chọn học sinh chỉ có khối
và
là
cách.
Do đó số cách chọn 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh là
cách.
Câu 3.Độ cao của mực nước biển tại Biển Cần Thơ vào ngày 6/10/2024 được đo bởi hàm số
và thời gian t;

có đơn vị đo lần lượt là decimet và giờ. Bạn

Tuấn muốn đi tham quan Bến Ninh Kiều thuộc thành phố Cần Thơ. Vậy Tuấn nên tránh những thời điểm
nào bị ngập do triều cường (mực nước biển đạt độ cao nhất) gây ra?
A. 4 giờ và 14 giờ.
B. 4 giờ và 6 giờ.
Lời giải.Mức độ vận dụng cao, đáp án C.

Xét hàm số

C.4 giờ và 16 giờ.

D. 2 giờ.

trên nửa khoảng

Dấu “ = ” xảy ra khi

với

.

Theo điều kiện
thì
.
Hai thời điểm triều cường trong ngày là nước biển dâng cao nhất là 4 giờ và 16 giờ
Vậy Tuấn nên tránh vào 2 thời điểm 4 giờ và 16 giờ ngày 6/10/2024.
Câu 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của
để tập nghiệm của bất phương trình
có ít nhất số nguyên và không quá số nguyên?
A.
.
B.
Lời giải.Mức độ vận dụng, đáp án D.

.

C.

5

.

D.

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Điều kiện:

Sưu tầm và biên soạn

Ta có

TH1. Nếu

Để bất phương trình có ít nhất số nguyên và không quá
Suy ra có

TH2. Nếu

giá trị nguyên dương của

thỏa mãn (1).

Để bất phương trình có ít nhất số nguyên và không quá
Suy ra có

số nguyên thì

số nguyên thì

giá trị nguyên dương của

thỏa mãn (2).

Từ (1), (2) suy ra có
giá trị nguyên dương của thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 5. Cho khối chóp đều
có cạnh đáy là
, các mặt bên tạo với đáy một góc
tích khối chóp đó.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

. Tính thể

.

Lời giải.Mức độ vận dụng, thông hiểu C.
Gọi
là trung điểm
,
ABCD là hình vuông
, S.ABCD là hình
chóp đều
Mà
 góc giữa mặt bên
Xét

và mặt phẳng

: vuông tại O, có

là góc

.

,


Nên

.

Câu 6. Một bài trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn trong đó chỉ có 1 đáp án
đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 5 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 2 điểm. Một học sinh không
học bài nên trả lời hú họa cả 10 câu hỏi. Xác suất để học sinh này nhận được không vượt quá 1 điểm bằng
(kết quả làm tròn đến chữ số hàng phần chục nghìn)
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải.Mức độ vận dụng, đáp án B.
Ta có xác suất để học sinh trả lời câu đúng 1 câu hỏi là

và xác suất trả lời câu sai là

Gọi là số câu trả lời đúng, khi đó số câu trả lời sai là
Số điểm học sinh này đạt được là:
Nên học sinh này nhận được không quá 1 điểm khi
Mà nguyên nên nhận các giá trị:
.
Gọi
(
) là biến cố: “Học sinh trả lời đúng câu”
A là biến cố: “ Học sinh nhận điểm dưới 1”
Suy ra:
và
Mà:

nên

.
6

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 7.Cho hàm số

Sưu tầm và biên soạn

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

.

C.Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
Lời giải.Mức độ thông hiểu, đáp án C.
Tập xác định:

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng

và

.

. D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

.Ta có

.

.

.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
và
.
Câu 8. Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là 300 km. Vận tốc dòng nước là 6 km/h.
Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho
bởi công thức E (v) cv 3t , trong đó c là hằng số và E tính bằng Jun. Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên
nằm ở khoảng nào thì năng lượng tiêu hao của cá giảm?
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải.Mức độ vận dụng cao, đáp án C. Khi bơi ngược dòng vận tốc của cá là: v  6 (km/h)
300
(v  6)
Thời gian để cá vượt khoảng cách 300 km là t 
v 6
Năng lượng tiêu hao của cá khi vượt khoảng cách 300km là:
v 9
300
v3
E (v) 600cv 2
; E (v) 0  v 9 do (v> 6)
;
E (v) cv 3
300c
(v  6) 2
v 6
v 6
Bảng biến thiên

Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên nằm ở khoảng
Câu 9.

Cho hàm số

trị lớn nhất của hàm số

có đạo hàm trên
trên

thì năng lượng tiêu hao của cá giảm
, thỏa mãn

. Khi đó, giá

bằng

A.
.
B.
Lời giải.Mức độ thông hiểu, đáp án D.
Vì
nên

.

Do đó, hàm số

.

đồng biến trên

C.
nên hàm số

.

D.

.

.
.Vậy

.

Câu 10. Sân vận động Sport Hub (Singapore) là sân có mái vòm kỳ vĩ nhất thế giới. Đây là nơi diễn ra lễ
khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức tại Singapore năm
. Nền sân là một elip
có
trục lớn dài
, trục bé dài
(hình vẽ). Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông góc với trục
lớn của
và cắt elip ở
(hình vẽ) thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có tâm
(phần tô đậm trong hình 4) với
là một dây cung và góc
Để lắp máy điều hòa không khí thì
các kỹ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một
7

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Sưu tầm và biên soạn

mặt phẳng và thể tích vật liệu là mái không đáng kể. Hỏi thể tích xấp xỉ bao nhiêu (làm trong đến hàng đơn
vị theo đơn vị mét khối)?

M

N

M
I

N
A.
.
B.
Lời giải.Mức độ vận dụng cao, đáp án D.
Chọn hệ trục
như hình vẽ.

.

C.

.D.

.

Phương trình chính tắc của E-líp đáy:
Gọi
.
Ta có công thức diện tích hình quạt:
đo góc ở tâm chắn cung tương ứng.Gọi

với

(theo đơn vị độ) là số

là diện tích thiết diện, ta có:

Thể tích khoảng không gian sân vận động là
Câu 11.Trong không gian
. Khi

, xét đường thẳng

đi qua điểm

tạovới đường thẳng

một góc nhỏ nhất thì đường thẳng

có một vectơ chỉ phương là
. Giá trị của
bằng bao nhiêu?
A. .
B. .
C. .
Lời giải.Mức độ vận dụng, đáp án D.
Đáp số:
.
có véc tơ chỉ phương
,
có véc tơ pháp tuyến
Giả sử
Do

, nằm trong mặt phẳng

có véc tơ chỉ phương
ta có:

.
8

D.
,

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Gọi

là góc giữa

và

,

Góc

nhỏ nhất khi và chỉ khi

Ta có

, khi đó:

lớn nhất.Vì

ta được:

, đặt

Bảng biến thiên của hàm số
Do

nên

, có:

.

:

lớn nhất khi

thiên ta được

lớn nhất, từ bảng biến

.

Khi đó

, mà

Cách 2: Đường thẳng tạo với
(vẽ hình và chứng minh).
Do đó

Sưu tầm và biên soạn

, suy ra

. Do đó

một góc nhỏ nhất

.

song song hoặc trùng với hình chiếu của

trên

có một vectơ chỉ phương là:

Suy ra
.
Câu 12.Trong không gian với hệ tọa độ
tuyến của mặt cầu

tính diện tích

của mặt cầu

và mặt phẳng

A.

có tâm

biết giao

là đường tròn có chu vi bằng

B.

C.

D.

Lời giải.Mức độ thông hiểu, đáp án C.
Vì

Gọi

là bán kính đường tròn giao tuyến;

là bán kính của mặt

Từ giả thiết ta có
Mà

Vậy diện tích của mặt cầu

là

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý (a), (b), (c), (d) ở
mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1.

Cho hình chóp

cạnh , tâm
trung điểm
a)
.
b) Góc giữa

,

có đáy

.
lần lượt là
. Các khẳng định sau đây đúng hay sai?

và mặt phẳng

bằng

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng
d)Thể tích khối tứ diện

là hình vuông

là

và

.
bằng

.

9

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Sưu tầm và biên soạn

Lời giải.a) Mức độ thông hiểu.Ta có:
Vây 1) đúng.
b) Mức độ vận dụng.

Trong
Do

. Nên trong

Do đó, góc giữa

và mặt phẳng

là

.Vậy 2) sai.

c) Mức độ vận dụng cao.Ta có
(do

là trung điểm của

)

Ta có:

Kẻ

.

Vậy 3) sai.
d) Mức độ vận dụng cao.
Ta có:

Lại có:
Khi đó:
Câu 2.

.Vậy 4) đúng.
Cho hàm số

có đồ thị

a) Với

, hàm số nghịch biến trên

c) Với

, đồ thị hàm số

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

. b) Với

có hai điểm cực trị

, Giá trị lớn nhất của hàm số trên

là 2

thoả mãn

d) Với mọi
Đường tiệm cận xiên của đồ thị
luôn tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân.
Lời giải.a) Mức độ thông hiểu.
Với
, hàm số nghịch biến trên
.Sai vì hs không liên tục trên

b)Mức độ thông hiểu.Với

,

.Ta có

.Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên
c)Mức độ vận dụng..Đồ thị hàm số

có hai điểm cực trị
10

, xét

là
thoả mãn

Đúng

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Sưu tầm và biên soạn

d)Mức độ vận dụng cao.
Với

ta có

nên đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là

Đường tiệm cận xiên của đồ thị
tạo với hai trục toạ độ một tam giác khi nó không đi qua gốc O. Do
đó
, khi đó do đường thẳng có hệ số góc bằng 1 nên song song với đường phân giác góc
phần tư thứ nhất nên tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân.
Vậy với
Đường tiệm cận xiên của đồ thị
luôn tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân.
Câu 3.

Một vật chuyển động với gia tốc

, trong đó

thời điểm ban đầu. Vận tốc chuyển động của vật là
a) Vận tốc của vật tại thời điểm

giây là

b) Vận tốc của vật tại thời điểm

giây là

c)Vào thời điểm

là khoảng thời gian tính từ

, vận tốc ban đầu của vật là
.
.

thì vận tốc của vật là

.

d)Không có thời điểm nào vận tốc của vật đạt
.
Lời giải.a)Mức độ thông hiểu. b)Mức độ vận dụng. c)Mức độ vận dụng. d)Mức độ vận dụng cao.
Ta có:
+

+ Tính

+ Khi

.

suy ra

. Với

các phương trình vô nghiệm.

Vậy không có thời điểm nào vận tốc của vật đạt
.
Câu 4. Bảng sau thống kê lại tổng số giờ nắng trong tháng 6 của các năm từ 2002 đến
2021 tại hai trạm quan trắc đặt ở Nha Trang và Quy Nhơn.

Số giờ nắng
Số năm ở Nha Trang
1
1
1
8
7
2
Số năm ở Quy Nhơn
0
1
2
4
10
3
(Nguồn: Tổng cục Thống kê)
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)Xét số liệu ở Nha Trang thì khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
.
b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn.
c) Xét số liệu của Quy Nhơn ta có độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm (làm tròn kết quả đến hàng
phần trăm) là:
.
d) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 6 của Nha Trang đồng đều hơn.
Lời giảia)Mức độ thông hiểu.
b)Mức độ thông hiểu. c)Mức độ vận dụng. d)Mức độ vận dụng
cao.
a) Sai
b) Đúng
c) Đúng
d) Sai
Cỡ mẫu:
.Gọi
là mẫu số liệu gốc về số giờ nắng trong tháng 6 trong 20 năm của Nha
Trang được xếp theo thứ tự không giảm.

11

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Sưu tầm và biên soạn

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là

. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số

liệu ghép nhóm là:
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là

.

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
Gọi
là mẫu số liệu gốc về số giờ nắng trong tháng 6 trong 20 năm của Quy Nhơn được xếp
theo thứ tự không giảm.
Ta có:
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là

.

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là

.

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
Vậy nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn
Xét số liệu của Nha Trang:Số trung bình:
Độ lệch chuẩn:
Xét số liệu của Quy Nhơn:Số trung bình:
Độ lệch chuẩn:
Vậy nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1.Hai con chuồn chuồn bay trên hai quĩ đạo khác nhau, xuất phát cùng thời
điểm.Một con bay trên quỹ đạo là đường thẳng từ điểm
đến điểm
với vận tốc

Con còn lại bay trên quĩ đạo là đường thẳng từ

đến điểm
với vận tốc
Hỏi trong quá trình bay thì
khoảng cách ngắn nhất hai con đạt được là bao nhiêu? ( làm tròn đến hàng phần
mười)
Lời giải.Mức độ vận dụng.Đáp án: 89,4
Xét tại thời điểm (giây),
, con chuồn chuồn bay từ A về O có tọa độ là

12

A(0;200)
B(120;160)
A'
B'

O

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Con chuồn chuồn bay từ

Sưu tầm và biên soạn

về

trên quĩ đạo là đường thẳng có hệ số góc là

.
Do đó tại thời điểm , nó có tọa độ là
Ta có:

.

.Khi đó, khoảng cách giữa hai con chuồn chuồn là:

nhỏ nhất khi hàm số

đạt giá trị nhỏ nhất trên

.

Ta có:

.

Vậy khoảng cách ngắn nhất của hai con chuồn chuồn trong quá trình bay là
Câu 2.Trên đồng hồ, tại thời điểm buổi sáng đang xét, kim giờ chỉ số 3, kim phút
chỉ số 12. Đến khi kim phút và kim giờ gặp nhau lần cuối cùng trước 9h thì kim
phút quay được một góc lượng giác bằng bao nhiêu radian? (Làm tròn đến hàng đơn
vị).
Lời giải.Mức độ vận dụng.Đáp án: -36
Xét lần đầu tiên kim giờ và kim phút gặp nhau, khi đó gọi là góc lượng giác mà

m.

kim giờ đi được, khi đó kim phút quay được một góc bằng
Vì kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ nên ta có
Xét lần thứ hai kim giờ và kim phút gặp nhau, gọi
quay được một góc bằng

.
là góc lượng giác mà kim giờ đi được, khi đó kim phút

Vì kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ nên ta có

.

Ta thấy kể tại thời điểm đang xét đến các lần gặp nhau thì kim giờ tạo thành các góc lập thành cấp số cộng
với

và công sai

. Các góc của kim phút cũng lập thành CSC

và

với

.

Theo giả thiết, lần gặp nhau của hai kim lần cuối cùng trước 9h nên ta có

Khi đó lần gặp nhau cuối cùng trước 9h là lần thứ 6, lúc đó kim phút quay được một góc lượng giác bằng

Câu 3. Một hộp có
chiếc thẻ cùng loại được đánh số từ đến
Hai bạn An và Bình chơi trò chơi
rút thẻ trong hộp như sau: hai bạn lần lượt rút thẻ, mỗi lượt rút ngẫu nhiên một thẻ rồi ghi lại số trên thẻ vừa
rút sau đó trả lại thẻ vào hộp. An sẽ thắng nếu rút được thẻ ghi số chia hết cho
Bình sẽ thắng nếu rút
được thẻ ghi số chia hết cho

Giả sử An chơi trước, tính xác suất để Bình thắng có dạng

tối giản ). Tính
.
Lời giải.Mức độ vận dụng.Đáp án: 62.Từ đến
Gọi
là biến cố rút được thẻ ghi số chia hết cho

(

là phân số

có số chia hết cho và số chia hết cho .
,
là biến cố rút được thẻ ghi số chia hết cho 5.

.

13

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Sưu tầm và biên soạn

Giả sử Bình thắng ở lần rút thứ , suy ra An đã rút lần và đều rút được thẻ không chia hết cho 6. Từ lần 1
đến lần
Bình đều rút được thẻ không chia hết cho 5.
Vì các lần rút là độc lập với nhau nên xác suất để Bình thắng ở lần rút thứ n là:
.
Do đó xác suất để Bình thắng là:

Vì

lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu

nên

Suy ra

, công bội

.

Câu 4.Một phần mềm mô phỏng vận động viên tập bắn bia mục tiêu có kích thước nhỏ
bằng
súng tiểu liên AK trong không gian
. Cho biết vận động viên đó sử dụng thư