Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

BÀI 2: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. CÔNG THỨC CỘNG

2. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

3. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

4. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1.7. Sử dụng
Bài 1.8. Tính:
a)

, biết

b)

, biết cosa

Bài 1.9. Tính sin

, hãy tính các giá trị lượng giác của góc

và
và

;
.

, biết:

a)
và
; b)
Bài 1.10. Tính giá trị của các biểu thức sau:

và

.

a)
; b)
Bài 1.11. Chứng minh đẳng thức sau:

.
1

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Bài 1.12. Cho tam giác

có

a) Sử dụng công thức

và

.

và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác

cho bởi

công thức
b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích của tam giác
Bài 1.13. Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hoà cho bởi công thức
, trong đó

là thời điểm (tính bằng giây),

là li độ của vật tại thời điêm

là

biên độ dao động
và
là pha ban đầu của dao động.
Xét hai dao động điều hoà có phương trình:

Tìm dao động tổng hợp
và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và
pha ban đầu của dao động tổng hợp này.
C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Sử dụng công thức cộng
1. Phương pháp giải.






2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Biết

. Hãy tính giá trị lượng giác

Ví dụ 2: Biết

. Tính giá trị lượng giác

.

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức
Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức
Ví dụ 5: Không dùng MTCT, tính các giá trị lượng giác sau:
Ví dụ 6: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau:
a)
b)
Ví dụ 7: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau:
2

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

a)

b)

c)
Ví dụ 8: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau:

d)

a)
b)
c)
d)
Ví dụ 9: Cho
1. Phương pháp



thoả mãn
và
. Tính
Dạng 2: Sử dụng công thức nhân đôi và công thức hạ bậc

và


2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Không dùng máy tính. Hãy tính
Ví dụ 2: Chứng minh các biểu thức sau :
a)
b)
Ví dụ 3: Cho

với

. Tính

Ví dụ 4: Cho

với

. Tính

.
.

Ví dụ 5: Tính
Ví dụ 6 *: Không dùng máy tính. Hãy tính
Ví dụ 7: Cho

, với

. Tính

Ví dụ 8: Cho
Ví dụ 9: Cho

.
. Tính

.

.

Tính

.

3

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Dạng 3: Công thức biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng
1. Phương pháp giải.

2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a)
b)
Ví dụ 2: Chứng minh rằng
a)
b)

với

c)
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi góc lượng giác

Ví dụ 4: Cho

làm cho biểu thức xác định thì

. Chứng minh rằng:

a)
b)
Ví dụ 5: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào
a)
b)
Ví dụ 6: Đơn giản biểu thức sau:
a)
4

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

b)
c)
Ví dụ 7: Cho
thuộc vào
.
Ví dụ 8: Chứng minh rằng

. Chứng minh rằng biểu thức

không phụ

a)
b)
Dạng 4: bất đẳng thức lượng giác và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức lượng giác.
1. Phương pháp giải.
- Sử dụng phương pháp chứng minh đại số quen biết.
- Sử dụng các tính chất về dấu của giá trị lượng giác một góc.
- Sử dụng kết quả
2. Các ví dụ điển hình.

với mọi số thực

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với
a)
Ví dụ 2: Cho

thì
b)

. Chứng minh rằng

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với
thì
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức sau:
a)
b)
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức
Dạng 5: chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức trong tam giác.
1. Phương pháp giải
Trong tam giac ta cần lưu ý:

2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Chứng minh trong mọi tam giác

Ví dụ 2: Chứng minh trong mọi tam giác
a)
b)

ta đều có:

.
không vuông ta đều có:

5

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Ví dụ 3: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
a)
b)
c)
với ABC là tam giác nhọn.
Ví dụ 4: Chứng minh trong mọi tam giác
ta đều có:
a)
b)
c)
Ví dụ 5: Chứng minh trong mọi tam giác

Với tam giác
ta đều có:

không vuông.

a)
b)
Ví dụ 6: Cho tam giác
thỏa mãn
Chứng minh rằng
..
Ví dụ 7: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta luôn có

.

Dạng 6: Toán thực tế
Ví dụ 1: Một sợi cáp R được gắn vào một cột thẳng đứng ở vị trí cách mặt đất 14 m. Một sợi cáp S khác
cũng được gắn vào cột đó ở vị trí cách mặt đất 12 m. Biết rằng hai sợi cáp trên cùng được gắn với mặt đất
tại một vị trí cách chân cột 15 m (Hình 18).

a) Tính
, ở đó là góc giữa hai sợi cáp trên.
b) Tìm góc (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).
Ví dụ 2: Trong Hình 5, ba điềm
nằm ở đầu các cánh quạt của tua-bin gió. Biết các cánh quạt dài
, độ cao của điểm
.
a) Tính
và
.

so với mặt đất là

, góc giữa các cánh quạt là

và số góc

b) Tính sin của các góc lượng giác
và
, từ đó tính chiều cao của các điên
với mặt đất (theo đơn vị mét). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
6

là

và

so

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Ví dụ 3: Phương trình dao động điều hoà của một vật tại thời điểm
, trong đó
và
hai

Xét

dao

là li độ của vật tại thời điểm

là pha ban đầu của dao động.
động
điều
hoà

có

phương

giây được cho bởi công thức
giây,

là biên độ dao động

trình

lần

lượt

là:

a) Xác định phương trình của dao động tổng hợp
.
b) Tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp trên..
Ví dụ 4: Trên một mảnh đất hình vuông
, bác An đặt một chiếc đèn pin tại vị trí
chiếu chùm
sáng phân kì sang phía góc . Bác An nhận thấy góc chiếu sáng của đèn pin giới hạn bởi hai tia
và
, ở đó các điểm

lần lượt thuộc các cạnh sao cho

.
a) Tính
.
b) Góc chiếu sáng của đèn pin bằng bao nhiêu độ?
Ví dụ 5: Hai song âm có phương trình lần lượt là
và
Hai song này giao thoa với nhau tạo nên một âm kết hợp có phương trình

.

.
a) Sử dụng công thức cộng chỉ ra rằng hàm
đó
b) Khi

là hai hằng số phụ thuộc vào

có thể viết được dưới dạng

, trong

.

, hãy tìm biên độ và pha ban đầu của sóng âm kết hợp, tức là tìm hai hằng số

sao cho
.
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Rút gọn biểu thức
A.

B.

C.
7

D.

và

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 2:

Tính giá trị của biểu thức

A.
Câu 3:

.
B.
Công thức nào sau đây sai?

.

C.

A.
C.
Câu 4:

.

D.

B.
D.

Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
B.
C.
D.
Câu 5:
A.
C.
Câu 6:

Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?
B.
Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?

A.
C.
Câu 7:

B.

Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

A.
C.
Câu 8:

D.

D.

B.
D.
Có bao nhiêu đẳng thức dưới đây là đồng nhất thức?

1)

2)

3)
4)
A.
B.
Câu 9: Công thức nào sau đây đúng?
A.
B.
C.
D.
Câu 10: Công thức nào sau đây đúng?
A.
B.
C.
D.
Câu 11: Nếu

C.

thì khẳng định nào sau đây đúng?

A.

B.

C.

D.

Câu 12: Nếu

D.

thì khẳng định nào sau đây đúng?

A.

B.

C.

D.
8

.

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 13: Rút gọn
A.
C.

B.
D.

Câu 14: Rút gọn
A.

B.

Câu 15: Rút gọn
A.
B.
Câu 16: Giá trị nào sau đây của thỏa mãn
A.
B.
Câu 17: Đẳng thức nào sau đây đúng:
A.

C.

D.

C.

D.
?

C.

D.

B.

C.
D.
Câu 18: Chọn công thức đúng trong các công thức sau:
A.

B.

C.

D.

Câu 19: Rút gọn
A.

B.

C.

Câu 20: Cho

là ba góc nhọn thỏa mãn

A.
Câu 21: Cho

B.
là các góc của tam giác

A.
C.
Câu 22: Cho

D.
. Tổng

C.
. Khi đó

bằng

D.
tương đương với:

B.
D.
là các góc của tam giác

Khi đó
A.

.
tương đương với:
B.

C.

D. Đáp án khác.

Câu 23: Trong
A. Cân tại

, nếu

Câu 24: Trong
A. Tam giác vuông.
C. Tam giác đều.

, nếu

thì
B. Cân tại

là tam giác có tính chất nào sau đây?
C. Cân tại
D. Vuông tại

thì

là tam giác gì?
B. Tam giác cân.
D. Tam giác vuông hoặc cân.
9

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 25: Nếu

là ba góc nhọn thỏa mãn

thì

A.

B.

C.

D.

Câu 26: Nếu

với

thì

A.

B.

C.

D.

Câu 27: Nếu

và

là hai nghiệm của phương trình

A.

B.

C.

thì
D.

Câu 28: Nếu
;
là hai nghiệm của phương trình
hai nghiệm của phương trình
thì tích
bằng
A.
Câu 29: Nếu

B.
và

C.

. Và

C.

D.

.

A.

B.

C.

D.

Câu 31: Rút gọn biểu thức
A.

B.

C.

D.

C.

D.

Câu 32: Chọn đẳng thức đúng.
A.

B.

C.

D.

Câu 33: Gọi
A.
Câu 34: Gọi

thì
B.
thì

10

là

thì giá trị biểu thức

bằng:
B.

;

D.

là hai nghiệm của phương trình

A.
Câu 30: Rút gọn biểu thức

bằng

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

A.

B.

C.

D.

Câu 35: Rút gọn biểu thức
A.
Câu 36: Rút gọn biểu thức
A.
Câu 37: Rút gọn biểu thức
A.
Câu 38: Rút gọn biểu thức
A.
.
Câu 39: Biểu thức
A.
Câu 40: Rút gọn biểu thức
A.

.
B.

C.

D.

B.

.
C.

D.

C.

D.

.
B.
.
B.

.

B.

A.
Câu 44: Tìm giá trị lớn nhất
A.
C.
Câu 45: Cho biểu thức
A.
C.
Câu 46: Tìm giá trị lớn nhất
A.
Câu 47: Gọi
lần lượt là
Tính

có kết quả rút gọn bằng:
C.

B.

D.

..

D.

C.

D.

C.

D.

C.
.

D.

.
B.

Câu 42: Rút gọn biểu thức
A.
Câu 43: Rút gọn biểu thức

.

.

Câu 41: Rút gọn biểu thức
A.

C.

được:
B.

B.
và nhỏ nhất

C.
của biểu thức
B.
D.

D.

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
B.
D.
và nhỏ nhất
của biểu thức
B.
C.
D.
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
11

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

A.
Câu 48: Cho biểu thức
A.

B.

C.
Câu 49: Tìm giá trị lớn nhất

C.
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
B.
D.
của biểu thức

và nhỏ nhất

A.

B.

C.

D.

Câu 50: Tìm giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất
A.
C.
E. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu 1.

Cho biết

và

của biểu thức
B.
D.

. Khi đó:

a)
b)
c)
d)
Câu 2.

Cho biết

và

. Khi đó:

a)
b)
c)

d)
Câu 3.
a)

Cho biết

. Khi đó:

b)
c)
d)
12

D.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 4.
a)

Cho biết

. Khi đó:

b)
c)
d)
Câu 5.
a)

Cho biết

và

; khi đó:

b)
c)
d)
Câu 6.
a)

Cho biết

và

; khi đó:

b)
c)
d)
Câu 7.
a)

Cho biết

và

. Khi đó:

b)
c)
d)
Câu 8.

Biết

và

,

là các góc nhọn. Khi đó:

a)
b)
c)
13

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

d)
Câu 9.

Biết

và

. Khi đó:

a)
b)
c)
d)
Câu 10. Biết

. Khi đó:

a)
b)
c)
d)
Câu 11. Cho

. Khi đó:

a)
b)
c)
d)
Câu 12. Cho

. Khi đó:

a)
b)
c)
d)
Câu 13. Biết:

và

. Khi đó:

a)
b)
14

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

c)
d)
Câu 14. Cho

, khi đó:

a)
b)
c)
d)
Câu 15. Biết:

. Khi đó:

a)
b)
c)
d)
Câu 16. Biến đổi được các biểu thức sau về dạng tích số. Khi đó:
a)
b)

;

c)
d)
Câu 17. Cho

. Khi đó:

a)
b)
c)
d)
Câu 18. Cho

. Khi đó:
15

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

a)
b)
c)
d)
F. TRẢ LỜI NGẮN
Câu 1: Tính giá trị của biểu thức
Câu 2: Tính giá trị của biểu thức
Câu 3:

Giá trị của biểu thức

là

Câu 4:

Giá trị của biểu thức

Câu 5:

Giá trị đúng của biểu thức

Câu 6:

Giá trị của biểu thức

Câu 7:

Giá trị của biểu thức

Câu 8:

Tính giá trị của biểu thức

Câu 9:

Tam giác

là
bằng
bằng
là

có

và

. Khi đó

Câu 10: Cho góc

thỏa mãn

và

. Tính

Câu 11: Cho góc

thỏa mãn

và

. Tính

Câu 12: Biết

và

bằng

.

. Tính

Câu 13: Cho góc

thỏa mãn

Tính

Câu 14: Cho góc

thỏa mãn

Tính

Câu 15: Cho góc

thỏa mãn

và

Câu 16: Cho góc

thỏa mãn

. Tính

Câu 17: Cho góc

thỏa mãn

và

Câu 18: Cho góc

thỏa mãn

. Tính

.
.

. Tính

. Tính

.
.

16

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 19: Cho góc

thỏa mãn

và

. Tính

Câu 20: Cho góc

thỏa mãn

Câu 21: Cho góc

thỏa mãn

Câu 22: Cho góc

thỏa mãn

Câu 23: Cho góc
Câu 24: Cho góc

thỏa mãn
thỏa mãn

Tính

Câu 25: Cho góc

thỏa mãn

và

Câu 26: Cho góc

thỏa mãn

Câu 27: Cho góc

thỏa mãn

Câu 28: Cho góc

thỏa mãn

và

. Tính

và
và

.

. Tính

.

. Tính

.

. Tính

.

Tính

và

. Tính
và

.

. Tính

và

.

. Tính

Câu 29: Biết

.

Hãy tính

Câu 30: Nếu biết rằng

thì giá trị đúng của biểu thức

là
Câu 31: Cho hai góc nhọn

Câu 32: Nếu
Câu 33: Cho
Câu 34: Cho

thì

và thỏa mãn

,

có giá trị bằng
. Góc

có giá trị bằng

là các góc nhọn và dương thỏa mãn

Tổng

và

Câu 36: Nếu

thì biểu thức

thì giá trị của biểu thức

Câu 37: Nếu

Câu 39: Khi

Tính giá trị của biểu thức

là hai góc nhọn và

Câu 35: Biết rằng
trị bằng

Câu 38: Nếu

và biết rằng

thì giá trị đúng của
và

thì

thì biểu thức

bằng

là
bằng
có giá trị bằng:

17

bằng
có giá

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 40: Biểu thức

có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

Câu 41: Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức
Câu 42: Có hai chung cư cao tầng xây cạnh nhau với khoảng cách giữa chúng là HK = 20 m. Để đảm bảo
an ninh, trên nóc chung cư thứ hai người ta lắp camera ở vị trí
C. Gọi A, B lần lượt là vị trí thấp nhất,
cao nhất trên chung cư thứ nhất mà camera có thể quan sát được (Hình 18). Hãy tính số đo góc ACB (phạm
vi camera có thể quan sát được ở chung cư thứ nhất). Biết rằng chiều cao của chung cư thứ hai là CK = 32
m, AH = 6 m, BH = 24 m.

Câu 43: Trong Hình 3, tam giác
nằm trên tia đối của tia

vuông tại

thoả mãn

và có hai cạnh góc vuông là
. Tính

, từ đó tính độ dài cạnh

. Vẽ điểm
.

Câu 44: Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hoà cho bởi công thức
, trong đó

là thời điểm (tính bằng giây),

là li độ của vật tại thời điêm

là

biên độ dao động
và
là pha ban đầu của dao động.
Xét hai dao động điều hoà có phương trình:

Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích
này.

để tìm pha ban đầu của dao động tổng hợp

18