Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

BÀI 3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
có dạng tổng quát là:
trong đó
Cặp số

là những số thực đã cho và không đồng thời bằng
và
được gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

là các ẩn số.
nếu bất đẳng thức

đúng.
Nhận xét. Bất bất phương bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.
2. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TRÊN MẶT
PHẲNG TỌA ĐỘ

Trong mặt phẳng tọa độ
tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình
được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

Người ta chứng minh được rằng đường thẳng có phương trình
chia mặt phẳng tọa độ
thành hai nửa mặt phẳng bờ
Một nửa mặt phẳng (không kể bờ ) gồm các điểm có tọa độ
thỏa mãn
Nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ ) gồm các điểm có tọa độ
thỏa mãn
Bờ gồm các điểm có tọa độ
thỏa mãn
Cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
.

Vẽ đường thẳng
trên mặt phẳng tọa độ

Lấy một điểm
không thuộc .

Nếu

Tính

và so sánh với .
thì nửa mặt phẳng bờ

chứa

là miền nghiệm của

phương trình. Nếu
thì nửa mặt phẳng bờ không chứa
miền nghiệm của bất phương trình.
Chú ý. Miền nghiệm của bất phương trình
là miền nghiệm
bất phương trình
bỏ đi đường thẳng
và biểu diễn đường thẳng bằng nét đứt.
B. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Câu 1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương tình bậc nhất hai ẩn?
a)
b)

bất
là
của

c)
Câu 2. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:
a)
b)
Câu 3. Ông An muốn thuê một chiếc ô tô (có lái xe) trong một tuần. Giá thuê xe được cho như bảng sau:
Phi cố định (nghin
Phí tính theo quãng đường di
đồng/ngày)
chuyển (nghin đồng/kilômét)
Từ thứ Hai đến thứ Sáu
900
8
Thứ Bảy và Chủ nhật
1500
10
a) Gọi x và y lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và trong hai ngày cuối
tuần. Viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa và y sao cho tổng số tiền ông An phải trả không quá
14 triệu đồng.
b) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình ở câu a trên mặt phẳng toạ độ.
C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Xác định bất phương trình bậc nhất hai ẩn và tìm nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2
ẩn
1. Phương pháp
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
có dạng tổng quát là:
1

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

trong đó
Cặp số

là những số thực đã cho và không đồng thời bằng
và
được gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

là các ẩn số.
nếu bất đẳng thức

đúng.
2. Ví dụ
Ví dụ 1: Tìm bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong các bất phương trình sau đây:
a) x - 5y + 2  0;
b) 9x2 + 8y -7  0;
c) 3x - 2 > 0;
d) 4y + 11  0.
Ví dụ 2: Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình 20x + 50y - 700  0?
a) (5; 6).
b) (9; 11).
Ví dụ 3:  Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình 4x - 7y - 28  0?
a) (9; 1);
b) (2; 6);
c) (0; - 4).
Ví dụ 4: Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình
?
a)
;
b)
;
c)
;
Ví dụ 5: Tìm bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong các bất phương trình sau và chỉ ra một nghiệm của bất
phương trình bậc nhất hai ẩn đó:
a)

;

b)

;

Ví dụ 6: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
Ví dụ 7:  Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn
phương trình bậc nhất hai ẩn trên?
a)

. Cặp số nào sau đây là một nghiệm của bất
b)

.

Dạng 2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Phương pháp
Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm
và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học.
Trong mặt phẳng toạ độ
tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm của bất phương trình được gọi là miền
nghiệm của nó.
Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương
trình
như sau (tương tự cho bất phương trình
Bước 1. Trên mặt phẳng toạ độ
vẽ đường thẳng
Bước 2. Lấy một điểm
không thuộc (ta thường lấy gốc toạ độ
Bước 3. Tính
và so sánh
với
Bước 4. Kết luận.
+) Nếu
thì nửa mặt phẳng bờ chứa
là miền nghiệm của
+) Nếu
thì nửa mặt phẳng bờ không chứa
là miền nghiệm của
Chú ý: Miền nghiệm của bất phương trình
bỏ đi đường thẳng
của bất phương trình
2. Ví dụ
Ví dụ 1: Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau:
a)
b)
Ví dụ 2: Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau:
a)
.
b)

.

Ví dụ 3: Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình sau:
2

là miền nghiệm

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

a) x - 2y - 1 > 0;

b) x + y - 1  0.

Ví dụ 4: Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau:
a)
b)
Dạng 3: Bài toán thực tế
Ví dụ 1. Anh An là nhân viên bán hàng tại siêu thị điện máy. Anh An kiếm được một khoản hoa hồng 600
nghìn đồng cho mỗi máy giặt và 1,3 triệu đồng cho mỗi tủ lạnh mà anh ấy bán được. Hỏi để nhận được từ
10 triệu đồng trở lên tiền hoa hồng thì anh An cần bán bao nhiêu máy giặt và tủ lạnh?
Ví dụ 2. Một cửa hàng bán lẻ bán hai loại hạt cà phê. Loại thứ nhất giá 140 nghìn đồng/kg và loại thứ hai
giá 180 nghìn đồng/kg. Cửa hàng trộn kg loại thứ nhất và kg loại thứ hai sao cho hạt cà phê đã trộn có
giá không quá 170 nghìn đồng/kg.
a) Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn
thoả mãn điều kiện đề bài.
b) Biểu diển miền nghiệm của bất phương trình tìm được ở câu a trên mặt phẳng toạ độ.
Ví dụ 3. Bạn Hoa để dành được 420 nghìn đồng. Trong một đợt ủng hộ trẻ em khuyết tật, Hoa đã ủng hộ
tờ tiền loại 10 nghìn đồng, tờ tiền loại 20 nghìn đồng.
a) Tính tổng số tiền bạn Hoa đã ủng hộ theo
.
b) Giải thích tại sao ta lại có bất phương trình
.
Ví dụ 4. Cho biết
thịt bò chứa khoảng
protein. Một quả trứng nặng
có chứa khoảng
protein (nguồn: Bộ Nông nghiệp Hoa Kỳ). Giả sử có một người mỗi ngày cần không quá
protein. Gọi
số gam thịt bò và số gam trứng mà người đó ăn trong một ngày lần lượt là
.
a) Lập bất phương trình theo
diễn tả giới hạn về lượng protein mà người đó cần mỗi ngày.
b) Dùng bất phương trình ở câu a) để trả lời hai câu hỏi sau:
- Nếu người đó ăn
thịt bò và 2 quả trứng, mỗi quả
, trong một ngày thì có phù hợp không?
- Nếu người đó ăn
thịt bò và 2 quả trứng, mỗi quả
, trong một ngày thì có phù hợp không?
Ví dụ 5. Bạn Nga muốn pha hai loại nước rửa xe. Để pha một lít loại I cần
dung dịch chất tẩy rửa,
còn loại
chỉ cần
. Gọi và lần lượt là số lít nước rửa xe loại I và II pha chế được và biết rằng
Nga chỉ còn
chất tẩy rửa, hãy lập các bất phương trình mô tả số lít nước rửa xe loại và II mà bạn
Nga có thể pha chế được và biểu diễn miền nghiệm của từng bất phương trình đó trên mặt phẳng toạ độ
.
D. TRẮC NGHIỆM 4 PHƯƠNG ÁN
Câu 1: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
A.
B.
C.
D.
Câu 2: Cho bất phương trình
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Bất phương trình
chỉ có một nghiệm duy nhất.
B. Bất phương trình
vô nghiệm.
C. Bất phương trình
luôn có vô số nghiệm.
D. Bất phương trình
có tập nghiệm là .
Câu 3: Miền nghiệm của bất phương trình:
là nửa mặt phẳng chứa điểm:
A.
B.
C.
D.
Câu 4: Miền nghiệm của bất phương trình:
là nửa mặt phẳng chứa điểm:
A.
B.
C.
D.
Câu 5: Miền nghiệm của bất phương trình
là nửa mặt phẳng không chứa
điểm nào trong các điểm sau?
A.
B.
C.
D.
Câu 6: Trong các cặp số sau đây, cặp nào không thuộc nghiệm của bất phương trình:
A.
B.
C.
D.
Câu 7: Điểm
là điểm thuộc miền nghiệm của bất phương trình:
A.
B.
C.
D.
Câu 8: Cặp số
là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 9: Miền nghiệm của bất phương trình
là phần tô đậm trong hình vẽ của hình vẽ nào, trong
các hình vẽ sau?
3

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
y

y

2

2
2

2

x

O

y

A.

B.
y

2

2
2

x
2

x

O

x
O

O

C.

D.

Câu 10: Phần tô đậm trong hình vẽ sau, biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào trong các bất
phương trình sau?
y

3
2

x

O

-3

A.
B.
C.
D.
Câu 11: Điểm
thuộc miền nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 12: Cho bất phương trình
có tập nghiệm là .Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
.
B.
.
C.
. D.
.
Câu 13: Miền nghiệm được cho bởi hình bên, là miền nghiệm của bất phương trình nào?

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 14: Hình vẽ nào sau đây biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình

4

?

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

A. H1
B. H2
Câu 15: Miền của bất phương trình
A.

C. H3
không chứa điểm nào sau đây?

D. H4

.

B.
.
C.
.
D.
.
Câu 16: Đường thẳng d : 2 x  y 2 chia mặt phẳng tọa độ thành hai miền I, II có bờ là đường thẳng d .
Xác định miền nghiệm của bất phương trình 2 x  y 2 .

A. Nửa mặt phẳng I bỏ đi đường thẳng d .
B. Nửa mặt phẳng I kể cả bờ d .
C. Nửa mặt phẳng II kể cả bờ d .
D. Nửa mặt phẳng II bỏ đi đường thẳng d .
Câu 17: Điểm nào dưới đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình
A.
.
Câu 18: Cho bất phương trình
A.
.

B.
B.

.
C.
có tập nghiệm là
.

C.
.
D.
E. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu 1:
a)
b)
c)
d)
Câu 2:
a)
b)
c)
d)
Câu 3:
a)
b)
c)

.

Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau
là bất phương trình bậc nhất hai ẩn;
là bất phương trình bậc nhất hai ẩn;
là bất phương trình bậc nhất hai ẩn;
là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
5

?

.
D.
.
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

d)

không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Câu 4: Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn
. Khi đó:
a)
không là một nghiệm của bất phương trình
b)
không là một nghiệm của bất phương trình
c)
là một nghiệm của bất phương trình
d)
không là một nghiệm của bất phương trình
Câu 5: Cho điểm
và các bất phương trình:
đó:
a)
không là một nghiệm của bất phương trình
.
b)
là một nghiệm của bất phương trình
.
c)
là một nghiệm của bất phương trình
.
d)
là một nghiệm của bất phương trình
.
Câu 6: Cho bất phương trình
. Khi đó:
a)
không là nghiệm bất phương trình.
b)
không là nghiệm bất phương trình.
c)
không là nghiệm bất phương trình.
d)
là nghiệm bất phương trình.
Câu 7: Điểm
thuộc miền nghiệm của bất phương trình
a)
;
b)
;
c)
;
d)
.
Câu 8: Cho bất phương trình:
. Khi đó:
a)
là một nghiệm của bất phương trình.
b)
là một nghiệm của bất phương trình.
c)
là một nghiệm của bất phương trình.
d)
là một nghiệm của bất phương trình.
Câu 9: Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau:
a) Miền nghiệm của các bất phương trình
chứa điểm
b) Miền nghiệm của các bất phương trình
chứa điểm
c) Miền nghiệm của các bất phương trình
chứa điểm
d) Miền nghiệm của các bất phương trình
chứa điểm
Câu 10: Cho bất phương trình
. Khi đó:
a)
là nghiệm của bất phương trình
.
b)
là nghiệm của bất phương trình
.
c)
là nghiệm của bất phương trình
.
d)
là nghiệm của bất phương trình
.
Câu 11: Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
. Khi đó:
a)
là một nghiệm của bất phương trình đã cho
b)
không là một nghiệm của bất phương trình đã cho
c)
không là một nghiệm của bất phương trình đã cho
d)

Khi

là một nghiệm của bất phương trình đã cho

Câu 12: Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau
a) Cho bất phương trình
có miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ
b) Cho bất phương trình
có miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ
c) Cho bất phương trình
có miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ
d) Cho bất phương trình
có miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ
6

chứa
(bỏ bờ).
chứa
(bỏ bờ).
chứa .
chứa .

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 13: Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
. Khi đó:
a) Miền nghiệm của bất phương trình
là nửa mặt phẳng kể cả bờ
, không
chứa gốc tọa độ
b)
là nghiệm của bất phương trình
.
c)
không là nghiệm của bất phương trình
.
d)
không là nghiệm của bất phương trình
.
Câu 14: An thích ăn hai loại trái cây là cam và xoài, mỗi tuần mẹ cho An 200000 đồng để mua trái cây.
Biết rằng giá cam là 15000 đồng/ 1 kg, giá xoài là 30000 đồng/1 kg. Gọi
lần lượt là số ki-lô-gam cam
và xoài mà An có thể mua về sử dụng trong một tuần. Khi đó:
a) Trong tuần, số tiền An có thể mua cam là
, số tiền An có thể mua xoài là
.
b) Bất phương trình bậc nhất cho hai ẩn
là
c) Cặp số
thỏa mãn bất phương trình bậc nhất cho hai ẩn
d) An có thể mua
cam,
xoài trong tuần.
Câu 15: Một công ty viễn thông tính phí 1 nghìn đồng mỗi phút gọi nội mạng và 2 nghìn đồng mỗi phút
gọi ngoại mạng. Gọi và
lần lượt là số phút gọi nội mạng, ngoại mạng của Bình trong một tháng và
Bình muốn số tiền phải trả cho tồng đài luôn thấp hơn 100 nghìn đồng. Khi đó:
a) Số tiền phải trả cho cuộc gọi nội mạng mỗi tháng là (nghìn đồng), số tiền phải trả cho cuộc gọi ngoại
mạng mỗi tháng là
(nghìn đồng). Điều kiện:
.
b) Bất phương trình bậc nhất gồm hai ẩn số
đã cho là
.
c)
nghiệm của bất phương trình bậc nhất gồm hai ẩn số
đã cho.
d) Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất gồm hai ẩn số
đã cho là một hình vuông
Câu 16: Một đội sản xuất cần 3 giờ để làm xong sản phẩm loại và 2 giờ để làm xong sản phẩm loại II.
Biết thời gian tối đa cho việc sản xuất hai sản phẩm trên là 18 giờ. Gọi
lần lượt là số sản phẩm loại ,
loại
mà đội làm được trong thời gian cho phép. Khi đó:
a) Tổng thời gian làm xong sản phẩm loại là
, tổng thời gian làm xong sản phẩm loại II là
.
b) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn theo
với điều kiện
là
c)
là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn theo
với điều kiện
d)
là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn theo
với điều kiện
Câu 17: Một trò chơi chọn ô chữ đơn giản mà kết quả gồm một trong hai khả năng: Nếu người chơi chọn
được chữ
thì người ấy được cộng 3 điểm, nếu người chơi chọn được chữ
thì người ấy bị trừ 1 điểm.
Người chơi chỉ chiến thắng khi đạt được số điểm tối thiểu là 20. Gọi
theo thứ tự là số lần người chơi
chọn được chữ
và chữ . Khi đó:
a) Tổng số điểm người chơi đạt được khi chọn chữ
là , tổng số điểm người chơi bị trừ khi chọn chữ
là .
b) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
trong tình huống người chơi chiến thắng là
c) Người chơi chọn được chữ
7 lần và chọn được chữ
1 lần thì người đó vừa đủ điểm dành chiến
thắng trò chơi.
d) Người chơi chọn được chữ
8 lần và chọn được chữ
3 lần thì người đó vừa đủ điểm dành chiến
thắng trò chơi.
Câu 18: Bạn Nam tiết kiệm được 450 nghìn đồng. Trong đợt ủng hộ các bạn học sinh đồng bào miền
Trung bị lũ lụt vừa qua, bạn Nam đã ủng hộ tờ tiền loại 20 nghìn đồng, tờ tiền loại 10 nghìn đồng. Khi
đó:
a) Tổng số tiền bạn Nam đã ủng hộ là
.
b) Tổng số tiền bạn Nam đã ủng hộ là
.
c) Bất phương trình biểu thị số tiền đã ủng hộ của bạn Nam là
.
d) Bất phương trình biểu thị số tiền đã ủng hộ của bạn Nam là
.
F. TRẢ LỜI NGẮN
Câu 1:

Cho bất phương trình

số nguyên dương?
Câu 2: Cho bất phương trình
nguyên âm?

.Miền nghiệm có chứa bao nhiêu điềm
. Miền nghiệm có chứa bao nhiêu điềm
7

với
với

là các
là các số

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 3:

Tìm các giá trị nhỏ nhất của tham số

sao cho

là nghiệm của bất phương trình

Câu 4: Bạn Lan mang 150000 đồng đi nhà sách để mua một số quyển tập và bút. Biết rằng giá một quyển
tập là 8000 đồng và giá của một cây bút là 6000 đồng. Bạn Lan có thể mua được tối đa bao nhiêu quyển tập
nếu bạn đã mua 10 cây bút.
Câu 5: Cho tam giác
có
. Có bao nhiêu giá trị nguyên
để điểm
nằm bên trong tam giác

?

8