TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN TỰ HỌC TOÁN 11 KẾT NỐI TRI THỨC NĂM HỌC 2025-2026

BÀI 3: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

- Quy tắc đặt tương ưng mỗi số thực với số thực sin được gọi là hàm số sin, kí hiệu là
Tập xác định của hàm số sin là .
- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực với số thực cosx được gọi là hàm số côsin, kỉ hiệu là
Tập xác định của hàm số côsin là .
- Hàm số cho bằng công thức

được gọi là hàm số tang, kí hiệu là

Tập xác định của hàm số tang là
- Hàm số cho bằng công thức

.
.

.

.
được gọi là hàm số côtang, kí hiệu là

.

Tập xác định của hàm số côtang là
.
2. HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ, HÀM SỐ TUẦN HOÀN
a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ.Cho hàm số

có tập xác định là

- Hàm số
được gọi là hàm số chẵn nếu
thì
Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung là trục đối xứng.

và

.
.

- Hàm số
được gọi là hàm số lẻ nếu
thì
và
.
Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc toạ độ là tâm đối xứng.
Nhận xét. Đề vẽ đồ thị của một hàm số chẵn (tương ứng, lẻ), ta chỉ cần vẽ phần đồ thị của hàm số với
những x dương, sau đó lấy đối xưng phần đồ thị đă vẽ qua trục tung (tương ứng, qua gốc toạ độ), ta sẽ được
đồ thị của hàm số đã cho.
b) Hàm số tuần hoàn.Hàm số
Số

có tập xác định

được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số

sao cho với mọi
ta có: i)
và
; ii)
.
dương nhỏ nhất thoả mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

Nhận xét.a) Các hàm số
và
tuần hoàn với chu kì
.
Các hàm số
và
tuần hoàn với chu kì .
b) Để vẽ đồ thị của một hàm số tuần hoàn với chu kì , ta chỉ cần vẽ đồ thị của hàm số này trên đoạn [
], sau đó dịch chuyển song song với trục hoành phần đồ thị đã vẽ sang phải và sang trái các đoạn có
độ dài lần lượt là
ta được toàn bộ đồ thị của hàm số.
3. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Hàm số

:

- Có tập xác định là

và tập giá trị là

- Đồng biến trên mỗi khoảng

;- Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì
và nghịch biến trên mỗi khoảng

- Có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ và gọi là một đường hình sin.

4. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1.Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

;

TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN TỰ HỌC TOÁN 11 KẾT NỐI TRI THỨC NĂM HỌC 2025-2026

Hàm số

:

- Có tập xác định là

và tập giá trị là

;

- Là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì

- Đồng biến trên mỗi khoảng
và nghịch biến trên mỗi khoảng
- Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.

5. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Hàm số
:
- Có tập xác định là
- Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì

và tập giá trị là
;

- Đồng biến trên mỗi khoảng
- Có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ.

;

;

6. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Hàm số
:
- Có tập xác định là
và tập giá trị là
- Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì ;
- Nghịch biến trên mỗi khoảng
- Có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ.
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

;

;

Bài 1.15. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a)
Lời giải.a) Biểu thức

có nghĩa khi

;
, tức là

Vậy tập xác định của hàm số

b) Biểu thức
Vì
Do đó,

nên

;

Lời giải.a) Biểu thức

.

.
và

và

b)

;
có nghĩa khi

2.Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

với mọi
với mọi

Vậy tập xác định của hàm số
là
Bài 1.16. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a)

.

.

có nghĩa khi
với mọi

với mọi

b)

.

.

.
c)

;
(do

d)

.
), tức là

;

TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN TỰ HỌC TOÁN 11 KẾT NỐI TRI THỨC NĂM HỌC 2025-2026

.
Suy ra tập xác định của hàm số
Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì

là
cũng thuộc tập xác định D.

Ta có:
Vậy

.
là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số
Do đó, nếu thuộc tập xác định D thì

là
.
cũng thuộc tập xác định D.

Ta có:
Vậy

là hàm số chẵn.

c) Tập xác định của hàm số
Do đó, nếu thuộc tập xác định D thì

là
.
cũng thuộc tập xác định

.

Ta có:

.Vậy

d) Tập xác định của hàm số
Do đó, nếu x thuộc tập xác định

là
.
cũng thuộc tập xác định

thì

Ta có:
Vậy

là hàm số lẻ.

.

.
là hàm số không chẵn, không lẻ.

Bài 1.17. Tìm tập giá trị của các hàm số sau:a)
Lời giải.a) Ta có:

;

b)

.

với mọi

Vậy tập giá trị của hàm số
b) Vì với mọi
Do đó,

là
nên
với mọi

.
với mọi

.Suy ra

.
với mọi

Hay
với mọi
.Vậy tập giá trị của hàm số
Bài 1.18. Từ đồ thị của hàm số
, hãy tìm các giá trị
sao cho
.
Lời giải.Ta có đồ thị của hàm số
như hình vẽ dưới
đây.
Ta có
khi hàm số
nhận giá trị bằng 0
ứng với các điểm mà đồ thị giao với trục hoành. Từ đồ thị

là

.
.

ở hình trên ta suy ra
hay
khi
.
Bài 1.19. Giả sử khi một cơn sóng biển đi qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao của nước được mô hình
hoá bởi hàm số
bình tại thời điểm

giây.

, trong đó

3.Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

là độ cao tính bằng centimét trên mực nước biển trung

TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN TỰ HỌC TOÁN 11 KẾT NỐI TRI THỨC NĂM HỌC 2025-2026

a) Tìm chu kì của sóng.
b) Tìm chiều cao của sóng, tức là khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đáy và đỉnh của sóng.

Lời giải.a) Chu kì của sóng là
(giây).
b) Chiều cao của sóng tức là chiều cao của nước đạt được trong một chu kì dao động.
Ta có:
.Vậy chiều cao của sóng là 90 cm.
C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP LỜI GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm tập xác đinh của hàm số
Phương pháp.Để tìm tập xác định của hàm số ta cần lưu ý các điểm sau


có nghĩa khi và chỉ khi



có nghĩa khi và chỉ




,

có nghĩa khi và chỉ
Hàm số

,

xác định trên

Như vậy,

có nghĩa khi và chỉ khi


có nghĩa khi và chỉ khi
2. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a)

Hàm số

b)

Hàm số

.

xác định và

.

xác định và

.

và tập giá trị của nó là:

xác định khi và chỉ khi



a)
Lời giải

xác định và

;

b)

.

xác định.

xác định và
xác định và

.

c)

xác định

d)

.

Vậy

xác định

Vậy
c)

Hàm số

xác định

Vậy
d)
Ta có:
.Do đó, hàm só luôn luôn xác định hay
Ví dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a)

; b)

c)

Lời giải.a) Hàm số

d)

xác định

Vậy
b) Hàm số

xác định

4.Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Vậy

TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN TỰ HỌC TOÁN 11 KẾT NỐI TRI THỨC NĂM HỌC 2025-2026

c) Hàm số

xác định

Vậy
d) Hàm số

xác định

Vậy

Ví dụ 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a)
Lời giải.a) Hàm số

b)

xác định

Vậy
b) Hàm số

xác định
Vậy

Ví dụ 4. Tìm m để hàm số sau đây xác định trên
Lời giải.Hàm số đã cho xác định trên

khi và chỉ khi

Bất đẳng thức trên đúng với mọi khi
Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số
1. Phương pháp:
Giả sử ta cần xét tính chẵn, lẻ của hàm số
Bước 1: Tìm tập xác định
của hàm số; kiểm chứng

là tập đối xứng qua số 0 tức là

(1)
Bước 2: Tính

và so sánh

- Nếu

thì

- Nếu

thì

với

là hàm số chẵn trên

(2)

là hàm số lẻ trên

(3)

Chú ý: Nếu điều kiện (1) không nghiệm đúng thì

là hàm không chẵn và không lẻ trên D;

Nếu điều kiện (2) và (3) không nghiệm đúng, thì

là hàm không chẵn và cũng không lẻ trên

Lúc đó, để kết luận

là hàm không chẵn và không lẻ ta chỉ cần chỉ ra điểm

.

sao cho

2. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:a) y = sin2x;
Lời giải.a,TXĐ:
Suy ra
.
Ta có:
b,TXĐ:

b) y =

;

c)

.Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Suy ra

Ta có:

.

.Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.

c,TXĐ:
Suy ra
Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.
5.Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

.Ta có:

.

.

TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN TỰ HỌC TOÁN 11 KẾT NỐI TRI THỨC NĂM HỌC 2025-2026

Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:a) y = tanx + cotx;
Lời giải.a,TXĐ:

b) y = sinx.cosx.

Suy ra

Ta có:
Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.
b,TXĐ:
. Suy ra
Ta có:
.Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Ví dụ 3. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau: a) y = 2sinx + 3;
b)
.
Lời giải.a) TXĐ:
Suy ra

Ta có:
;
Do đó hàm số không chẵn không lẻ.
b) TXĐ:

Suy ra

.Nhận thấy

.Ta có:

Nhận thấy

Do đó hàm số không chẵn không lẻ.
Ví dụ 4. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:a)

;

b)

Lời giải.a) Hàm số xác định khi
TXĐ:

Suy ra

Ta có:
Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.
b) TXĐ:
Ta có:
Ví dụ 5. Xác định tham số m để hàm số sau:
Lời giải.TXĐ:
Suy ra
Ta có:

6.Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Suy ra
Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.
là hàm số chẵn.
Để hàm số đã cho là hàm số chẵn thì

TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN TỰ HỌC TOÁN 11 KẾT NỐI TRI THỨC NĂM HỌC 2025-2026

Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất và và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
1. Phương pháp: Cho hàm số

xác định trên tập

Lưu ý:

Dùng điều kiện có nghiệm của phương trình cơ bản
o

Phương trình bậc hai:

o

Phương trình

có nghiệm
có nghiệm

khi và chỉ khi
khi và chỉ khi

o
Nếu hàm số có dạng:
Ta tìm miền xác định của hàm số rồi quy đồng mẫu số, đưa về phương trình
2. Ví dụ mẫu

.

Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:a)

;b)

.

Lời giải.a) Ta có:
Hay

. Suy ra:

khi

khi
b) Ta có:
Hay

Suy ra

khi

khi
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:a)

;

Lời giải.a) Ta có:
Suy ra:

b)

.

.
khi

khi
b) Ta có:

.Suy ra:
khi

khi
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a)

;

b)

Lời giải.a, Ta có:
7.Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

.

. Do đó:

TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN TỰ HỌC TOÁN 11 KẾT NỐI TRI THỨC NĂM HỌC 2025-2026

Vì
.Hay
Do đó:

khi

khi

Lưu ý: Nếu đặt
với mọi

. Ta có (P):
, (P) có hoành độ đỉnh

xác định

và trên đoạn

biến nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại
nhất khi

hàm số đồng
và đạt giá trị lớn

.

b,Ta có

Vì

Do đó:

khi
khi

Lưu ý: Nếu đặt
định với mọi

. Ta có (P):

xác

, (P) có hoành độ đỉnh

và trên đoạn

hàm số nghịch biến nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại

và đạt giá trị lớn nhất khi

Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Lời giải.Ta có:

Do đó:

.Vì

nên

Biến đổi

Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm

là

Kết luận:
Dạng 4. Chứng minh hàm số tuần hoàn và xác định chu kỳ của nó
1. Phương pháp
Muốn chứng minh hàm số tuần hoàn f(x) tuần hoàn ta thực hiện theo các bước sau:
Xét hàm số
Với mọi
Vậy hàm số

, tập xác định là
, ta có

và
tuần hoàn

Chứng minh hàm tuần hoàn với chu kỳ
8.Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

(1) . Chỉ ra

(2)

TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN TỰ HỌC TOÁN 11 KẾT NỐI TRI THỨC NĂM HỌC 2025-2026

Tiếp tục, ta đi chứng minh
Giả sử có

là chu kỳ của hàm số tức chứng minh

sao cho

thuẫn này chứng tỏ
Một số nhận xét:

thỏa mãn tính chất (2)

mâu thuẫn với giả thiết

. Mâu

là số dương nhỏ nhất thỏa (2). Vậy hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ sở

Hàm số

tuần hoàn chu kỳ

Hàm số

tuần hoàn chu kỳ

Chú ý:

là số dương nhỏ nhất thỏa (1) và (2).

. Từ đó

có chu kỳ

. Từ đó

có chu kỳ T1 ;

có chu kỳ

có chu kỳ T2

Thì hàm số
có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2.
Các dấu hiệu nhận biết hàm số không tuần hoàn
Hàm số
không tuần hoàn khi một trong các điều kiện sau vi phạm
- Tập xác định của hàm số là tập hữu hạn
- Tồn tại số sao cho hàm số không xác định với
hoặc
- Phương trình

có vô số nghiệm hữu hạn

- Phương trình
2. Ví dụ mẫu

có vô số nghiệm sắp thứ tự

mà

hay

Ví dụ 1. Chứng minh rằng các hàm số sau là những hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ sở

Lời giải.a) Ta có :

.

Giả sử có số thực dương

thỏa

Cho
không xảy ra với mọi
b) Ta có :
Giả sử có số thực dương

. Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ
.
thỏa

Cho
B
không xảy ra với mọi
. Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ
Ví dụ 2. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ cơ sở (nếu có) của các hàm số sau

Lời giải.c) Hàm số

không tuần hoàn vì khoảng cách giữa các nghiệm (không điểm) liên tiếp

của nó dần tới 0
d) Hàm số

không tuần hoàn vì khoảng cách giữa các nghiệm (không điểm) liên tiếp của nó

dần tới
Dạng 5.Đồ thị của hàm số lượng giác.
1. Phương pháp
1/Vẽ đồ thị hàm số lượng giác:
9.Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN TỰ HỌC TOÁN 11 KẾT NỐI TRI THỨC NĂM HỌC 2025-2026

- Tìm tập xác định D.

- Tìm chu kỳ T0 của hàm số.

- Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần).

- Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T0 có thể chọn:
- Vẽ đồ thị trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ.
- Rồi suy ra phần đồ thị còn lại bằng phép tịnh tiến theo véc tơ

hoặc

về bên trái và phải song song với

trục hoành Ox (với là véc tơ đơn vị trên trục Ox).
2/Một số phép biến đổi đồ thị:
a,Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y = f(x) + a bằng cách tịnh tiến đồ thị y = f(x) lên trên trục
hoành a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến xuống phía dưới trục hoành a đơn vị nếu a < 0.
b,Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số
bằng cách tịnh tiến đồ thị y = f(x) sang phải
trục hoành a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến sang trái trục hoành a đơn vị nếu a < 0.
c,Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục hoành.
d,Đồ thị
nên suy ra đồ thị y = f(x) bằng cách giữ nguyên hần đồ thị y
= f(x) phía trên trục hoành và lấy đối xứng y = f(x) phía dưới trục hoành qua trục hoành
Mối liên hệ đồ thị giữa các hàm số
Đối xứng qua Ox

y=-f(x)

Tịnh tiến theo Oy, b đơn vị

Đối xứng qua Oy

Đối xứng qua gốc O

y=-f(-x)

Tịnh tiến theo
y=f(x+a)+b

y=f(x)

vec tơ v=(a;b)

Tịnh tiến theo Ox, a đơn vị

Đối xứng qua Ox
y=f(-x)

y=f(x+a)

Tịnh tiến theo Ox, a đơn vị

Tịnh tiến theo Oy, b đơn vị

Đối xứng qua Oy

y=f(x)+b

2. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Vẽ đồ thị các hàm số sau:

Lời giải.
x
0
y
0

1

Ta có đồ thị của hàm số y = sin4x trên đoạn

10.Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

0

-

-1

-

0

và sau đó tịnh tiến cho các đoạn:

TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN TỰ HỌC TOÁN 11 KẾT NỐI TRI THỨC NĂM HỌC 2025-2026

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số
Lời giải .
x
0
y
1
Ta có đồ thị của hàm số y=

0

-

-1

trên đoạn

-

0

1

và sau đó tịnh tiến cho các

đoạn:

Ví dụ 3. Cho đồ thị của hàm số y =sinx, (C) . Hãy vẽ các đồ thị của các hàm số sau:

Lời giải.Từ đồ thị của hàm số y = sinx, (C) như sau:
a) Từ đồ thị (C), ta có đồ thị
cách tịnh tiến (C) sang trái một đoạn là
ta được đồ thị hàm số
như (hình 8) sau:

11.Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

bằng
đơn vị,

TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN TỰ HỌC TOÁN 11 KẾT NỐI TRI THỨC NĂM HỌC 2025-2026

b) Từ đồ thị (C') của hàm số

, ta có đồ thị hàm số

bằng cách tịnh tiến

(C') lên trên một đoạn là 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số

như sau:

Dạng 6. Toán thực tế
Ví dụ 1: Một dao động điều hoà có phương trình li độ dao động là:
, trong đó là thời
gian tính bằng giây,
là biên độ dao động và là li độ dao động đều được tính bằng centimét. Khi đó, chu
kì

của dao động là

. Xác định giá trị của li độ khi

biểu diễn li độ của dao động điều hoà trên đoạn
a)

;

Lời giải.Từ
a)Với

b)
ta có

và
thì
thì

c)

.Khi đó ta có phương trình li độ là
thay vào phương trình li độ

.
ta có:

;
;

thì
;

Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà

Ta vẽ đồ thị hàm số

trong trường hợp:
;

thì

Xét hàm số

và vẽ đồ thị

có chu kì là

trên đoạn

.

trên đoạn

12.Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

thì

theo bảng sau:

:

TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN TỰ HỌC TOÁN 11 KẾT NỐI TRI THỨC NĂM HỌC 2025-2026

Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số

trên đoạn

theo đoạn có độ dài T, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số

song song với trục hoành sang phải
trên đoạn

.

Từ đó ta vẽ được đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà

trên đoạn

b) Với

ta có:

và

thay vào phương trình li độ

thì

;

thì

thì

;

thì

.

Xét hàm số

có chu kì là

Ta vẽ đồ thị hàm số
theo bảng sau:

;

thì

Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà

;

trên đoạn

.

trên đoạn

Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số
trên đoạn
song song với trục hoành sang phải
theo đoạn có độ dài T, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số
trên đoạn
.
Từ đó ta vẽ được đồ thị biểu diễn li độ của dao động
điều hoà
c) Với

trên đoạn
và

như sau:

thay vào phương trình li độ

13.Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

như sau:

ta có:

TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN TỰ HỌC TOÁN 11 KẾT NỐI TRI THỨC NĂM HỌC 2025-2026

thì

;

thì

thì

;

;

thì

;

thì

.

Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà

trên đoạn

Đồ thị hàm số
là hình đối xứng với đồ thị hàm số
Ví dụ 2: Khi đu quay hoạt động, vận tốc theo phương ngang của một cabin
thuộc vào góc lượng giác

theo hàm số

qua trục hoành:
phụ

(Hình 11

a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
b) Dựa vào đồ thị của hàm số
, hãy cho biết trong vòng quay đầu tiên
, góc

ở trong các khoảng nào thì

Lời giải.a) Do

tăng.

nên

Vậy giá trị lớn nhất của

là

và giá trị nhỏ nhất của

là

b) Dựa vào đồ thị hàm số
, ta thấy vòng quay đầu tiên
Ví dụ 3:Trong Hinh 13, một chiếc máy bay
bay ờ độ cao
theo một đường thẳng đi ngang qua phía trên trạm quan
sát ở mặt đất. Hinh chiếu vuông góc của
lên mặt đất là
là góc lượng giác
a) Biểu diễn tọa độ

.
,

tăng khi

.
của điềm

trên trục

theo

.

b) Dựa vào đồ thị hàm số côtang, hãy cho biết với
thì

nằm trong khoảng nào. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Lời giải.a)
;
b) Với
thì
.Vậy
.
Ví dụ 4: Huyết áp là áp lực máu cần thiết tác động lên thành động mạch nhằm đưa máu đi nuôi dưỡng các
mô trong cơ thể. Nhờ lực co bóp của tim và sức cản của động mạch mà huyết áp được tạo ra. Giả sử huyết
áp của một người thay đổi theo thời gian được cho bởi công thức:
trong đó

là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thuỷ ngân) và thời gian

tính theo đơn vị phút.

a) Chứng minh
là một hàm số tuần hoàn.
b) Huyết áp cao nhất và huyết áp thấp nhất lần lượt được gọi là huyết áp tâm thu và huyết áp tâm trương.
Tìm chỉ số huyết áp của người đó, biết rằng chỉ số huyết áp được viết là huyết áp tâm thu/huyết áp tâm
trương.
Lời giải.a) Hàm số

có tập xác định là

14.Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

.

TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN TỰ HỌC TOÁN 11 KẾT NỐI TRI THỨC NĂM HỌC 2025-2026

Với mọi

, ta có

Do đó

và

là một hàm số tuần hoàn.

b)
với mọi
nên
Vậy chỉ số huyết áp của người đó là 135/105.

với mọi

Câu 7:Một chất điểm dao động điều hoà theo phương trình

với

bằng giây. Dựa vào đồ thị của hàm số sin, hãy xác định ở các thời điểm
Lời giải.
Trong 4 giây đầu, ta có
Đặt

, suy ra

, khi đó

.

tính bằng

và

tính

nào trong 4 giây đầu thì

.

.

Đồ thị của hàm số

trên đoạn

Dựa vào đồ thị trên đoạn
khi

như sau:

, ta có:

hay

, suy ra

.

Do đó
.
Ví dụ 5:Trong Hình 1, cây xanh
nằm trên đường xích đạo được trồng
vuông góc với mặt đất và có chiều cao
. Bóng của cây là
. Vào ngày
xuân phân và hạ phân, điểm
di chuyển trên đường thẳng
. Góc thiên
đinh

phụ thuộc vào vị trí của Mặt Trời và thay đổi theo thời

gian trong ngày theo công thức

với

là thời gian trong

ngày (theo đơn vị giờ,
.(Theo https://www.sciencedirect.com/
topics/engineering/solar-hour-angle)
a) Viết hàm số biểu diễn toạ độ của điểm
trên trục
theo .
b) Dựa vào đồ thị hàm số tang, hãy xác định các thời điềm mà tại đó bóng cây phủ qua vị trí tường rào
biết

nằm trên trục

với toạ độ là

Lời giải.a) Xét tam giác ABE vuông tại B, có:
b) Đồ thị của hàm số

15.Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

.

TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN TỰ HỌC TOÁN 11 KẾT NỐI TRI THỨC NĂM HỌC 2025-2026

Dựa vào đồ thị hàm số để

và

suy ra các thời điểm để bóng cây phủ

qua hàng rào
là
.
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.Tìm tập xác định
A.

của hàm số

B.

C.

D.

Lời giải.Chọn C.Hàm số xác định khi và chỉ khi
Vật tập xác định
Câu 2.Tìm tập xác định
A.

của hàm số

B.

C.

D.

Lời giải.Chọn D.Hàm số xác định khi và chỉ khi
Vậy tập xác định

Câu 3.Tìm tập xác định

của hàm số

C.

A.

,B.

D.

Lời giải.Chọn C.Hàm số xác định
Vậy tập xác định
Câu 4.Tìm tập xác định
A.

của hàm số

B.

Lời giải.Chọn D.Hàm số xác định
16.Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

C.

D.

TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN TỰ HỌC TOÁN 11 KẾT NỐI TRI THỨC NĂM HỌC 2025-2026

Vậy tập xác định
Câu 5.Tìm tập xác định

của hàm số

A.

B.

C.

D.

Lời giải.Chọn C.Hàm số xác định
Vậy tập xác định
Câu 6.Tìm tập xác định

của hàm số

B.

A.

C.

D.

Lời giải.Chọn A.Hàm số xác định
Vậy tập xác định
Câu 7.Tìm tập xác định

của hàm số

B.

C.

A.
D.

Lời giải.Chọn B.Hàm số xác định khi và chỉ khi

và

xác định

Vậy tập xác định
Câu 8.Tìm tập xác định

của hàm số

A.

B.

Lời giải.Chọn A.Ta có
Do đó luôn tồn tại căn bậc hai của
Câu 9.Tìm tập xác định

C.
với mọi

Vậy tập xác định

của hàm số

A.

B.

Lời giải.Chọn D.Ta có
Do đó không tồn tại căn bậc hai của
Câu 10.Tìm tập xác định
A.

C.

của hàm số
B.

C.

nên

Câu 11.Tìm tập xác định

D.

Vậy tập xác định

D.

Lời giải.Chọn C.Hàm số xác định khi và chỉ khi
Mà

D.

Vậy tập xác định
của hàm số

17.Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN TỰ HỌC TOÁN 11 KẾT NỐI TRI THỨC NĂM HỌC 2025-2026

A.

B.

C.

D.

Lời giải.Chọn B.Ta có

Vậy tập xác định

Câu 12.Tìm tập xác định
A.

của hàm số
.

B.

.

C.

.

D.

Lời giải.Chọn D.Hàm số xác định khi và chỉ khi

.
.

Do
nên
Vậy tập xác định
Câu 13.Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A.
B.
Lời giải.Chọn B.Nhắc lại kiến thức cơ bản:

C.

 Hàm số
là hàm số lẻ.
 Hàm số
 Hàm số
là hàm số lẻ.
 Hàm số
Vậy B là đáp án đúng.
Câu 14.Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A.
B.
Lời giải.Chọn C.Tất các các hàm số đều có TXĐ:
Bây giờ ta kiểm tra
 Với

là hàm số chẵn.
là hàm số lẻ.

C.
. Do đó

D.

hoặc
. Ta có
. Suy ra hàm số

 Với

là hàm số lẻ.

Ta có
. Suy ra hàm số

 Với

không chẵn không lẻ.

. Ta có

. Suy ra hàm số
 Với

D.

là hàm số chẵn.

Ta có

. Suy ra hàm số
là hàm số lẻ.
Câu 15.Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A.

B.

Lời giải.Chọn D Xét hàm số

C.
TXĐ:

Ta có
 Xét hàm số

. Do đó
là hàm số lẻ.

TXĐ:

Ta có
 Xét hàm số

D.

. Do đó
là hàm số lẻ.

TXĐ:

Ta có
18.Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Do đó
là hàm số lẻ.

TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN TỰ HỌC TOÁN 11 KẾT NỐI TRI THỨC NĂM HỌC 2025-2026

 Xét hàm số

TXĐ:

Do đó

Ta có
Câu 16.Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

là hàm số chẵn.

A.
B.
C.
D.
Lời giải.Chọn A.Ta kiểm tra được A là hàm số chẵn, các đáp án B, C, D là hàm số lẻ.
Câu 17.Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?
A.
B.
C.
D.
Lời giải.Chọn B
Ta dễ dàng kiểm tra được A, C, D là các hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ
Xét đáp án B, ta có
nên có đồ thị đối xứng qua trục tung.
Câu 18.Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

.

. Kiểm tra được đây là hàm số chẵn

A.
B.
C.
D.
Lời giải.Chọn D.Ta kiểm tra được đáp án A và C là các hàm số chẵn. Đáp án B là hàm số không chẵn,
không lẻ. Đáp án D là hàm số lẻ.
Câu 19.Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
A.
B.
C.
D.
Lời giải.Chọn A.Ta kiểm tra được đáp án A là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
Đáp án B là hàm số không chẵn, không lẻ. Đáp án C và D là các hàm số chẵn.
Câu 20.Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
A.

B.

C.

D.

Lời giải.Chọn C.Viết lại đáp án A là
Ta kiểm tra được đáp án A, B và D là các hàm số chẵn. Đáp án C là hàm số lẻ.
Câu 21.Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
A.
B.
C.
D.
Lời giải.Chọn C.Ta kiểm tra được đáp án A, B và D là các hàm số chẵn. Đáp án C là hàm số lẻ.
Câu 22.Cho hàm số

và

Chọn mệnh đề đúng

A.

là hàm số chẵn,

là hàm số lẻ.

B.

là hàm số lẻ,

C.

là hàm số chẵn,

là hàm số chẵn.

D.

và

Lời giải.Chọn B Xét hàm số

TXĐ:

Ta có
 Xét hàm số

là hàm số chẵn.

đều là hàm số lẻ.

. Do đó
là hàm số lẻ.

TXĐ:

Do đó

Ta có
Câu 23.Cho hai hàm số
19.Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

là hàm số chẵn.
và

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN TỰ HỌC TOÁN 11 KẾT NỐI TRI THỨC NĂM HỌC 2025-2026

A.

lẻ và

chẵn. B.

và

chẵn.

Lời giải.Chọn B Xét hàm số

C.

chẵn,

TXĐ