Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG
- Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
- Nếu phương trình
tương đương với phương trình
thì ta viết
Chú ý. Để giải phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình đó thành một phương trình tương
đương đơn giản hơn. Các phép biến đổi như vậy gọi là các phép biến đổi tưong đưong.
Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì
ta được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho:
a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc một biểu thức:
b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0:
2. PHƯƠNG TRÌNH
- Phương trình
- Khi

có nghiệm khi và chỉ khi

, sẽ tồn tại duy nhất

Chú ý
a) Nếu số đo của góc

.

thoả mãn

. Khi đó

được cho bằng đơn vị độ thì

b) Một số trường hợp đặc biệt:
.
.
.
3. PHƯƠNG TRÌNH
- Phương trình
- Khi

có nghiệm khi và chỉ khi

, sẽ tồn tại duy nhất

Chú ý
a) Nếu số đo của góc

.

thoả mãn

. Khi đó

được cho bằng đơn vị độ thì

b) Một số trường hợp đặc biệt:
.
.
4. PHƯƠNG TRÌNH
- Phương trình
- Với mọi

.
có nghiệm với mọi

, tồn tại duy nhất

.
thoả mân tan
1

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Khi đó
Chú ý. Nếu số đo của góc
5. PHƯƠNG TRÌNH
- Phương trình
- Với mọi

.
được cho bằng đơn vị độ thì

có nghiệm với mọi

, tồn tại duy nhất

Khi đó
Chú ý. Nếu số đo góc

.
thoả mãn

.
.

được cho bằng đơn vị độ thì

6. SỬ DỤNG MTCT
Giáo viên hướng dẫn trực tiếp ở lớp
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1.20. Giải các phương trình sau:
a)

;

b)

;

c)
;
d)
Bài 1.21. Giải các phương trình sau:
a)
;
b)

.
.

Bài 1.22. Một quả đạn pháo được bắn khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu
hợp với phương
ngang một góc . Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được
bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình

, ở đó

là gia tốc trọng trường.
a) Tính theo góc bắn
tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm quả đạn chạm
đất).
b) Tìm góc bắn
để quả đạn trúng mục tiêu cách vị tri đặt khẩu pháo
.
c) Tìm góc bắn
đề quả đạn đạt độ cao lớn nhất.
Bài 1.23. Giả sử một vật dao động điều hoà xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình

Ở đây, thời gian tính bằng giây và quãng đường tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời
gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?
C. CÁC VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG
Ví dụ 1. Giải các phương trình
a)

;

b)

;

d)
e)
Ví dụ 2. Giải phương trình
a)

;

;

c)

;

f)

;

b)

c)
Ví dụ 3. Giải phương trình
2

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

;

a)

b)

Ví dụ 4. Tìm m để phương trình
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:

có nghiệm

a)
b)
Ví dụ 6. Giải phương trình

c)

a)

b)
MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ

Câu 1: Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố
không nhuận được cho bởi hàm số

ở vĩ độ

Bắc trong ngày thứ

của một năm

với
và
(Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020)
a) Thành phố
có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?
b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố
có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời?
c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời?
Câu 2: Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) được tổ chức vào mùa xuân thường có trò chơi đánh đu. Khi người chơi
đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động quanh vị trí cân bằng (Hình 39). Nghiên cứu trò chơi
này, người ta thấy khoảng cách

từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu diễn qua thời

gian
(với
) bởi hệ thức
với
, trong đó ta quy ước
khi vị trí cân
bằng ở phía sau lưng người chơi đu và
trong trường hợp ngược lại (Nguồn: Đại số và Giải tích 11
Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020). Vào thời gian nào thì khoảng cách là
?

Câu 3:
khiến vật

Trong Hình 9, khi được kéo ra khơi vị trí cân bằng ờ điểm
gắn ở đầu của lò xo dao động quanh

. Toạ độ

(giây) sau khi buông tay được xác định bởi công thức
?

3

và buông tay, lực đàn hồi của lò xo
của

trên trục

vào thời điểm

. Vào các thời điểm nào thì

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

(Theo https://www.britannica.com/science/simple-harmonic-motion)
Câu 4: Một quả đạn pháo được bắn khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu
hợp với phương
ngang một góc . Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được
bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình

, ở đó

là gia tốc trọng trường.
a) Tính theo góc bắn
tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm quả đạn chạm
đất).
b) Tìm góc bắn
để quả đạn trúng mục tiêu cách vị tri đặt khẩu pháo
.
c) Tìm góc bắn
đề quả đạn đạt độ cao lớn nhất.
Câu 5: Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5 m; trục của nó đặt cách mặt nước
(hình bên). Khi guồng quay đều, khoảng cách (mét) tính từ một chiếc gầu gắn tại điểm
trên guồng đến
mặt nước là

trong đó

với

phút; ta quy ước rằng
khi gầu ở trên mặt nước và
a) Khi nào chiếc gầu ở vị trí cao nhất? Thấp nhất?
b) Chiếc gầu cách mặt nước 2 mét lần đầu tiên khi nào?

là thời gian quay của guồng

, tính bằng

khi gầu ở dưới mặt nước.

Câu 6: Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) được tổ chức vào mùa xuân thường có trò chơi đánh đu. Khi người chơi
đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động quanh vị trí cân bằng Hình 14. Nghiên cứu trò chơi này,
người ta thấy khoảng cách
(với
) bởi hệ thức
ở phía sau lưng người chơi đu và
là

từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu diễn qua thời gian
với
, trong đó ta quy ước
trong trường hợp ngược lại. Vào thời gian

?

4

khi vị trí cân bằng
nào thì khoảng cách

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 7: Mực nước cao nhất tại một cảng biển là
khi thủy triều lên cao và sau 12 giờ khi thủy triều
xuống thấp thì mực nước thấp nhất là
. Đồ thị ở Hình 15 mô tả sự thay đổi chiều cao của mực nước tại
cảng trong vòng 24 giờ tính từ lúc nửa đêm. Biết chiều cao của mực nước
được cho bởi công thức
a) Tìm

với

theo thời gian

là các số thực dương cho trước.

.

b) Tìm thời điềm trong ngày khi chiều cao của mực nước là

Câu 8: Một cây cầu có dạng cung OA của đồ thị hàm số
với đơn vị trục là mét như ở Hình 40.

.

và được mô tả trong hệ trục tọa độ

a) Giả sử chiều rộng của con sông là độ dài đoạn thẳng OA. Tìm chiều rộng đó (Làm tròn kết quả đến hàng
phần mười)
b) Một sà lan chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao 3,6m so với mực nước sông
sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều rộng của khối hàng hóa đó phải nhỏ hơn
13,1m.

5

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

c) Một sà lan khác cũng chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với chiều rộng của khối hàng
hóa đó là
sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều cao của khối hàng hóa đó
phải nhỏ hơn 4,3m
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1:
Nghiệm của phương trình
là:
A.
Câu 2:

.
B.
Nghiệm của phương trình

A.

.

.
là:

B.

.

Câu 3:

Nghiệm của phương trình

là:

A.
Câu 4:

.
B.
Nghiệm của phương trình

.

A.
Câu 5:
A.
Câu 6:

.

B.
Nghiệm của phương trình
.

A.
Câu 7:

.

A.
Câu 8:
A.
Câu 9:
A.
Câu 10:

.

.

B.

Nghiệm của phương trình

.

D.

.

C.

.

D.

.

C.

.

D.

.

.

C.

.

C.

.

C.

.

D.

.

.

D.

.

.

D.

.

là:
.

Nghiệm của phương trình
B.

C.

là:

B.

.

.

là:

Nghiệm của phương trình
.

D.

là:

B.

Nghiệm của phương trình

.

là:

B.

Nghiệm của phương trình

C.

C.

.

D.

C.

.

D.

.

là:
.
là:
6

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

A.
Câu 11:

.

B.

.

C.

.
là

.

B.

.

D.

.
có nghiệm là

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 14:

Giải phương trình

.

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 15:
A.
C.
Câu 16:

Phương trình

có tập nghiệm là
.

B.

.
Phương trình

D.

.
.
có một nghiệm là

A.
.
B.
.
Câu 17:
Biểu diễn họ nghiệm của phương trình
điểm?
A. .
B. .
Câu 18:
Phương trình
có nghiệm là

C.

A.

B.

C.

.

.

D.

Phương trình

D.

là

Nghiệm của phương trình

.

.

B.
.

A.
C.
Câu 13:

C.

Tập nghiệm của phương trình

A.

Câu 12:

.

C.

.
.

D.
7

.
D.
.
trên đường tròn đơn vị ta được bao nhiêu
.

D.

.
.
.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 19:

Phương trình

A.

có tập nghiệm là
.

C.
Câu 20:

B.

.

.
D.
Tập nghiệm của phương trình

A.

.
là

.

C.

B.
.

D.

Câu 21: Nghiệm của phương trình
là:


x   k
x   k 2
2
2
A.
.
B.
.
Câu 22:
A.

Với giá trị nào của
.

Câu 23:

Phương trình lượng giác

A.
Câu 24:

B.

.

.

A.
Câu 26:

.
Phương trình

A.
Câu 27:

.

A.
Câu 28:

B.
Giá trị đặc biệt nào sau đây là đúng

Câu 29:
A.
Câu 30:

.
vô nghiệm khi

.

D. Vô nghiệm.

.

C.
là:

.

B.

.

C.

D.

.

D.

.

D.

.

.

là.
C.

D.

.

D.

Phương trình lượng giác:
.

.

C.

B.
.

D.

có nghiệm là:

B.
Nghiệm của phương trình

C.

C.

.

Phương trình lượng giác

.


 k 2
2
.

có nghiệm là:

Câu 25:

A.

có nghiệm là:
.

C.

B.

B.

D.

x 

có nghiệm là:

Phương trình lượng giác

A.

.



x   k.
4
2.
C.

thì phương trình
B.
.

.

.

.
có nghiệm là:
.

Giải phương trình lượng giác:

C.
có nghiệm là:

8

.

D.

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

A.
Câu 31:

.
B.
Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai

A.

.

C.
Câu 32:

.

B.

C.

.

.

D.

Phương trình lượng giác:

.

có nghiệm là:

.
B.
.
C.
Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm?

A.
Câu 34:

B.
Tập nghiệm của phương trình

D.

.

D.

.

B.

.

C.

.
.
Phương trình

có nghiệm là

A.
.
B.
.
Câu 36: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
A.
.
B.
.
Câu 37: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
A.

.

B.

C.
Câu 38:

.
Nghiệm của phương trình

A.

,

.

B.

C.
.
để phương trình
C.
để phương trình

.

.

là
,

.

C.

,
trên

C.

.

(*). Khi đó:

a) Phương trình (*) tương đương
phương trình có 3 nghiệm

c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng
d) Trong khoảng

.

D.

Cho phương trình lượng giác

b) Trong khoảng

D.
có nghiệm.
D.
.
vô nghiệm.

.

Câu 39:
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình
A. .
B. .
E. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

Câu 2:

.

C.
là

A.

Câu 1:

.

.

A.
Câu 33:

D.
Câu 35:

D.

bằng

phương trình có nghiệm lớn nhất bằng

Cho phương trình lượng giác

(*). Khi đó:

a) Phương trình (*) có nghiệm
9

. D.
bằng:
D.

,
.

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

b) Trong khoảng

thì hương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng

c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng
d) Trong khoảng
Câu 3:

bằng

phương trình có nghiệm lớn nhất bằng

Cho phương trình lượng giác

(*). Khi đó

a) Phương trình (*) tương đương
b) Phương trình (*) có nghiệm
c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng
d) Trong khoảng
Câu 4:

bằng

phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng

Cho phương trình lượng giác

, khi đó:

a) Phương trình có nghiệm
b) Trong đoạn

phương trình có 4 nghiệm

c) Tổng các nghiệm của phương trình trong đoạn
d) Trong đoạn
Câu 5:

bằng

phương trình có nghiệm lớn nhất bằng

Cho phương trình

(*), vậy:

a) Phương trình có nghiệm
b) Trong khoảng

phương trình có 2 nghiệm

c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng
d) Trong khoảng
Câu 6:

bằng

phương trình có nghiệm lớn nhất bằng

Cho phương trình lượng giác

a) Phương trình có nghiệm
b) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng
c) Trên khoảng

phương trình đã cho có 3 nghiệm
10

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

d) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng
Câu 7:

bằng

Cho phương trình lượng giác

, khi đó:

a) Phương trình có nghiệm

.

b) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng
c) Khi

thì phương trình có ba nghiệm

d) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng
Câu 8:

Cho phương trình lượng giác

bằng

, khi đó:

a) Phương trình tương đương
b) Phương trình có nghiệm là:

.

c) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng
d) Số nghiệm của phương trình trong khoảng
Câu 9:

Cho phương trình lượng giác

là ba nghiệm
, khi đó:

a) Phương trình tương đương
b) Phương trình có nghiệm là:

.

c) Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất bằng
d) Số nghiệm của phương trình trong khoảng

là hai nghiệm

Câu 10: Cho phương trình lượng giác

, khi đó:

a) Phương trình tương đương
b) Phương trình có nghiệm là:

.

c) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng
d) Số nghiệm của phương trình trong khoảng

là hai nghiệm

Câu 11: Cho phương trình lượng giác

, vậy:

a) Phương trình tương đương với
b) Đồ thị hàm số

cắt trục hoành tại điểm gốc tọa độ
11

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

c) Phương trình có nghiệm là:
d) Trên khoảng

.

phương trình đã cho có một nghiệm

Câu 12: Cho hai đồ thị hàm số

và

, khi đó:

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:
b) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là
c) Khi

thì hai đồ thị hàm số cắt nhau tại ba điểm

d) Khi

thì toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:

.

Câu 13: Một vật dao động xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình
thời gian được tính bằng giây và quãng đường
ngang của chất điểm đối với vị trí cân bằng. Khi đó:

; trong đó

là

được tính bằng mét là khoảng cách theo phương

a) Vật ở xa vị trí cân bằng nhất nghĩa là
.
b) Trong 10 giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở xa vị trí cân bằng nhất
c) Khi vật ở vị trí cân bằng thì
d) Trong khoảng từ 0 đến 20 giây thì vật đi qua vị trí cân bằng 4 lần?.
F. TRẢ LỜI NGẮN
Câu 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình
, ( tính bằng cm, t tính bằng
giây). Xác định thời điểm vật qua vị trí
theo chiều dương lần thứ 2 kể từ thời điểm ban đầu.
Câu 2: Hàng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sau
(m) của mực nước
trong kênh tính theo thời gian
. Có bao nhiêu giá trị

(giờ) trong một ngày

để độ sâu của mực nước là

cho bởi công thức
.

12

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 3:
vật

Vật nặng khi được kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm

gắn ở đầu của lò xo dao động quanh

. Toạ độ

sau khi buông tay được xác định bởi công thức
vật

đi qua vị trí

Câu 4:

và buông tay, lực đàn hồi của lò xo khiến
của

trên trục

vào thời điểm

(giây)

. Trong 2 giây đầu tiên, có bao nhiêu lần

?

Giả sử một vật dao động điều hoà xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình

Ở đây, thời gian tính bằng giây và quãng đường
tính bằng centimét. Hãy cho biết
trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần ?
Câu 5:

Hàng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu

trong kênh tính theo thời gian

Câu 6:

(giờ) trong một ngày

của mực nước
cho bởi công thức

. Hỏi vào thời điểm nào trong ngày, mực nước của con kênh đạt độ cao lớn nhất?
Số giờ có ánh sáng mặt trời của Thủ đô Hà Nội năm 2023 được cho bởi công thức

với
là số thứ tự của ngày trong năm. Ngày nào sau đây của năm
2023 thì số giờ có ánh sáng mặt trời của Hà Nội lớn nhất?

13

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 7: Khi một tia sáng truyền từ không khí vào mặt nước thì một phần tia sáng bị phản xạ trên bề mặt,
phần còn lại bị khúc xạ như trong Hình 1.26. Góc tới liên hệ với góc khúc xạ bởi định luật khúc xạ ánh
sáng

.

Ở đây,

và

tương ứng là chiết suất của môi trường 1 (không khí) và môi trường 2 (nước). Cho biết góc

tới

, hãy tính góc khúc xạ, biết rằng chiết suất của không khí bằng 1 còn chiết suất của nước là

Câu 8: Một vật được bắn lên trên tạo với phương ngang một góc
(xem hình minh họa). Nếu bỏ qua sức cản của không khí, tầm xa
. Tìm góc

Câu 9:
chất điểm

để

và với vận tốc ban đầu
của vật đó được cho bởi hàm số

đạt giá trị lớn nhất.

Một cái guồng nước có vành kim loại ngoài cùng là một đường tròn tâm
thuộc đường tròn đó và góc

. Xét

và guồng nước quay theo chiều dương

Biết rằng guồng nước quay hết một vòng sau 40 giây
giây khi điểm
(trong 1 vòng quay đầu tiên) thì điểm
ở vị trí cao nhất so với mặt nước?

Câu 10: Số giờ có ánh sáng của thành phố

, bán kính là

.

Giả sử mực nước lúc đang xét là tiếp xúc với đường tròn
(ngược chiều kim đồng hồ).

được cho bởi hàm số

.

ở vĩ độ
với
14

trùng

). Hỏi thời điểm nào

bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận
và

. Bạn An muốn đi tham quan

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

thành phố
thành phố

nhưng lại không thích ánh sáng mặt trời, vậy bạn An nên chọn đi vào ngày nào trong năm để
có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất?

Câu 11: Giả sử một vật dao động điều hoà xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình
Ở đây, thời gian tính bằng giây và quãng đường tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời
gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?

15