BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG
- Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

- Nếu phương trình
tương đương với phương trình
thì ta viết
Chú ý. Để giải phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình đó thành một phương trình tương
đương đơn giản hơn. Các phép biến đổi như vậy gọi là các phép biến đổi tưong đưong.
Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì
ta được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho:
a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc một biểu thức:
b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0:
2. PHƯƠNG TRÌNH
- Phương trình
- Khi

có nghiệm khi và chỉ khi

, sẽ tồn tại duy nhất

.

thoả mãn

.

Khi đó
Chú ý.a) Nếu số đo của góc
được cho bằng đơn vị độ thì
b) Một số trường hợp đặc biệt:

3. PHƯƠNG TRÌNH
- Phương trình
- Khi

.

.

có nghiệm khi và chỉ khi

, sẽ tồn tại duy nhất

.

.

thoả mãn

.

Khi đó
Chú ý.a) Nếu số đo của góc
được cho bằng đơn vị độ thì
b) Một số trường hợp đặc biệt:

4. PHƯƠNG TRÌNH
- Phương trình
- Với mọi

.
có nghiệm với mọi

, tồn tại duy nhất

.

.

.
thoả mân tan

Khi đó

.

.

Chú ý. Nếu số đo của góc
được cho bằng đơn vị độ thì
5. PHƯƠNG TRÌNH
- Phương trình
có nghiệm với mọi .
- Với mọi

, tồn tại duy nhất

thoả mãn

Khi đó
Chú ý. Nếu số đo góc
6. SỬ DỤNG MTCT

.
.

được cho bằng đơn vị độ thì
1

Giáo viên hướng dẫn trực tiếp ở lớp
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1.20. Giải các phương trình sau:
a)

;

b)

;

c)

;

d)

.

Lời giải.
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là

và

.

b)
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là

và

c)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

.

d)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là
Bài 1.21. Giải các phương trình sau: a)

; b)

.
.

Lời giải.a)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là

và

.

.
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là

và

Bài 1.22. Một quả đạn pháo được bắn khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu
hợp với phương
ngang một góc . Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được
bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình
là gia tốc trọng trường.
2

, ở đó

a) Tính theo góc bắn
tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm quả đạn chạm
đất).
b) Tìm góc bắn
để quả đạn trúng mục tiêu cách vị tri đặt khẩu pháo
.
c) Tìm góc bắn
đề quả đạn đạt độ cao lớn nhất.
Lời giải.Vì

nên ta có phương trình quỹ đạo của quả đạn là
hay

a) Quả đạn chạm đất khi

.

, khi đó

Loại
(đạn pháo chưa được bắn).Vậy tầm xa mà quả đạn đạt tới là
b) Để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo
thì

.
.

Khi đó
Gọi

là góc thỏa mãn

. Khi đó ta có:

.
c) Hàm số

là một hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol có tọa độ đỉnh

là

Do đó, độ cao lớn nhất của quả đạn là

.

Bài 1.23. Giả sử một vật dao động điều hoà xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình
Ở đây, thời gian tính bằng giây và quãng đường tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời
gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?
Lời giải.Vị trí cân bằng của vật dao động điều hòa là vị trí vật đứng yên, khi đó x = 0, ta có

Trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, tức là

hay

Vì
nên
.
Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 9 lần.
C. CÁC VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG
Ví dụ 1. Giải các phương trình
3

a)

; b)

d)

e)

;

; c)

;

f)

;

Lời giải.a)
b)
c)
d)
e)
f)
Ví dụ 2. Giải phương trình

a)

;

b)

c)

Giải.a) Ta có:
Vậy nghiệm của phương trình (1) là

b) Ta có:
Vậy nghiệm của phương trình (*) là:
c)
Vậy nghiệm của phương trình (*) là
d) Ta có:
Vậy nghiệm của phương trình là:
Lời bình: Những phương trình ch trên là nhưng phương trình lượng giác cơ bản. Sử dụng MTCT ta có thể
tìm được các giá trị đặc biệt của hàm số lượng giác
Ở câu a)

. Dùng MTCT (ở chế độ rad ) ta ấn
4

ta được kết quả là

.

Do đó:
Hoàn toàn tương tự cho câu b)

. Ta ấn:

ta được kết quả là

. Do đó:

Trên MTCT không có hàm cot, tuy nhiên ta thừa biết

. Do đó, đối với câu d)

ta ấn máy như sau:
ta được kết quả là
Ví dụ 3. Giải phương trình

a)

. Do đó:

;b)

Giải.a) Ta có:
Vậy nghiệm của phương trình (*) là

b) Điều kiện:

Vậy nghiệm của phương trình là:
c) Ta có

Vậy nghiệm của phương trình (*) là
d) Ta có

Vậy nghiệm của (*) là
Nhận xét: Phương trình
dạng sau:

được chuyển thành
.
5

, ta cũng có thể chuyển thành

Ví dụ 4. Tìm m để phương trình

có nghiệm

Giải.Ta có:
Phương trình đã cho có nghiệm
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)

Giải.a)
b)
c) Vì

nên

Ghi nhớ.Mỗi phương trình
Giải các phương trình trên làm tìm tất cả các nghiệm của chúng.
Ví dụ 6. Giải phương trình
a)

có vô số nghiệm.

b)

Giải.a) Ta có
Vậy nghiệm của phương trình là
Lưu ý: Một số học sinh mắc sai lầm nghiệm trọng (lỗi rất cơ bản) là rút gọn phương trình ban đầu cho
, dẫn đến thiếu nghiệm
b) Định hướng: Cả hai vế phương trình đều cho dưới dạng tích của hai hàm lượng giác. Thông thường ta
sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.

Ta nhắc lại:

Ta có
Vậy nghiệm của phương trình (*) là
MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ
Câu 1:Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố

ở vĩ độ

Bắc trong ngày thứ

không nhuận được cho bởi hàm số
với
và
(Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020)
a) Thành phố
có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?
b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố
có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời?
c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời?
6

của một năm

Lời giải
a) Để thành phố

có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời thì:

Do

Với
thì t
Với
thì
Vậy thành phố
b) Để thành phố

và

nên ta có:

;
.
có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và ngày thứ 262 trong năm.
có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời thì:

Với
thì
.
Vậy thành phố
có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 353 trong năm.
c) Để thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời thì:

Với
thì
.
Vậy thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 171 trong năm.
Câu 2:Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) được tổ chức vào mùa xuân thường có trò
chơi đánh đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao
động quanh vị trí cân bằng (Hình 39). Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy
khoảng cách

từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu diễn

qua thời gian
(với
) bởi hệ thức
với
,
trong đó ta quy ước
khi vị trí cân bằng ở phía sau lưng người chơi đu
và
trong trường hợp ngược lại (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng
cao, NXBGD Việt Nam, 2020). Vào thời gian
Lời giải.Để khoảng cách

nào thì khoảng cách

là

?

từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng là 3 m thì:

7

Do

nên

Khi đó

Vậy

.

(giây) thì khoảng cách

Để khoảng cách

là

.

từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng là 0 m thì:

Vậy
thì khoảng cách h là 0m
Câu 3:Trong Hình 9, khi được kéo ra khơi vị trí cân bằng ờ điểm
khiến vật

gắn ở đầu của lò xo dao động quanh

độ
của
trên trục
vào thời điểm
sau khi buông tay được xác định bởi công thức

và buông tay, lực đàn hồi của lò xo

. Toạ
(giây)

.
Vào các thời điểm nào thì
?
(Theo https://www.britannica.com/science/simple-harmonic-motion)
Lời giải.Xét phương trình:

Vậy vào các thời điểm

và̀

thì

.

Câu 4: Một quả đạn pháo được bắn khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu
hợp với phương
ngang một góc . Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được
bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình

, ở đó

là gia tốc trọng trường.
a) Tính theo góc bắn
tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm quả đạn chạm
đất).
b) Tìm góc bắn
để quả đạn trúng mục tiêu cách vị tri đặt khẩu pháo
.
c) Tìm góc bắn
đề quả đạn đạt độ cao lớn nhất.
Lời giải.Vì

nên ta có phương trình quỹ đạo của quả đạn là
8

hay
a) Quả đạn chạm đất khi

Loại

.

, khi đó

(đạn pháo chưa được bắn).

Vậy tầm xa mà quả đạn đạt tới là
b) Để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo

.
thì

.

Khi đó
Gọi

là góc thỏa mãn

. Khi đó ta có:

.
c) Hàm số

là một hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol có tọa độ đỉnh

là

Do đó, độ cao lớn nhất của quả đạn là
.
Câu 5:Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5 m; trục của nó đặt
cách mặt nước
(hình bên). Khi guồng quay đều, khoảng cách (mét) tính từ
một chiếc gầu gắn tại điểm
với

trên guồng đến mặt nước là
là thời gian quay của guồng

trong đó
, tính bằng phút;

ta quy ước rằng
khi gầu ở trên mặt nước và
khi gầu ở dưới mặt nước.
a) Khi nào chiếc gầu ở vị trí cao nhất? Thấp nhất?
b) Chiếc gầu cách mặt nước 2 mét lần đầu tiên khi nào?
Lời giải.a)

nên

và do đó ta có

9

Suy ra, gầu ở vị tri cao nhất khi
Vậy gầu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm

phút.

Tương tự, gầu ở vị trí thấp nhất khi
Vậy gầu ở vị trí thấp nhất tại các thời điểm
b) Gầu cách mặt nước
khi

phút.

Vậy chiếc gầu cách mặt nước
lần đầu tiên tại thời điểm
phút.
Câu 6:Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) được tổ chức vào mùa xuân thường có trò chơi
đánh đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động
quanh vị trí cân bằng Hình 14. Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng
cách
gian
quy ước

từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu diễn qua thời
(với

) bởi hệ thức
với
, trong đó ta
khi vị trí cân bằng ở phía sau lưng người chơi đu và
trong

trường hợp ngược lại. Vào thời gian
Lời giải.Do
Vậy

nào thì khoảng cách
nên

khi

là

?
hay

. Do đó,

hay

với

khi
hay
Câu 7:Mực nước cao nhất tại một cảng biển là
khi thủy triều lên cao
và sau 12 giờ khi thủy triều xuống thấp thì mực nước thấp nhất là
. Đồ
thị ở Hình 15 mô tả sự thay đổi chiều cao của mực nước tại cảng trong vòng
24 giờ tính từ lúc nửa đêm. Biết chiều cao của mực nước
gian
được cho bởi công thức
là các số thực dương cho trước.
a) Tìm

.

.

với

.

theo thời
với

b) Tìm thời điềm trong ngày khi chiều cao của mực nước là

Lời giải.a) Chiều cao của mực nước cao nhất là

khi

. Theo giả thiết, ta có:

10

và thấp nhất bằng

.
khi

b) Từ câu a ta có công thức:

. Do chiều cao của mực nước là 11,5 m nên

Ứng với hai thời điểm trong ngày ta có

và

(h).

Câu 8:Một cây cầu có dạng cung OA của đồ thị hàm số
với đơn vị trục là mét như ở Hình 40.

và được mô tả trong hệ trục tọa độ

a) Giả sử chiều rộng của con sông là độ dài đoạn thẳng OA. Tìm chiều rộng đó (Làm tròn kết quả đến hàng
phần mười)
b) Một sà lan chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao 3,6m so với mực nước sông
sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều rộng của khối hàng hóa đó phải nhỏ hơn
13,1m.

c) Một sà lan khác cũng chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với chiều rộng của khối hàng
hóa đó là
sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều cao của khối hàng hóa đó
phải nhỏ hơn 4,3m
Lời giải.a) Giải phương trình
Do đó đồ thị cắt trục

tại các điểm có hoành độ

Vì thế

Chiều rộng của con sông là
b) Xét đường thẳng
hàm số

.Ta có

, nên đường thẳng

cắt một phần đồ thị của

tại hai điểm

Giải phương trình
nên tồn tại một số

là hai nghiệm dương nhỏ nhất của
sao cho

11

Ta có
Do

nên

Nên

Vậy chiều rộng của khối hàng hoá bé hơn

c) Cho

đường thẳng

cắt

tại hai điểm

là hai nghiệm

dương nhỏ nhất của phương trình
vì
Khi đó

nên

sao cho

trở thành

Hai nghiệm dương nhỏ nhất của
Ta có

là
Do vậy

hay

Vậy chiều cao của mỗi khối hàng hoá bé hơn
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Nghiệm của phương trình
là:
A.

.

B.

.

Lời giải.Chọn D.
Câu 2:
Nghiệm của phương trình

.
là:

A.

.

B.

.

Lời giải.Chọn B.

.

.

B.

.

.

Lời giải.Chọn C.

.

C.

.

D.

.

C.

.

D.

.

.
là:

B.

Lời giải.Chọn C.
Câu 5:
Nghiệm của phương trình
A.

D.

là:

Lời giải.Chọn D.
Câu 4:
Nghiệm của phương trình
A.

.

.

Câu 3:Nghiệm của phương trình
A.

C.

.
.

C.

.

D.

.

là:

B.

.
.
12

C.

.

D.

.

Câu 6: Nghiệm của phương trình
A.

.

là:
B.

.

C.

.

Lời giải.Chọn A.
Câu 7:

.

là:

B.

.

C.

.

Lời giải.Chọn C.
Câu 8:
A.

A.

Nghiệm của phương trình

A.

.

B.

.

C.

.

B.

.

C.

D.

.

D.

.

.

B.

là:
.

.

C.

là

B.
.

.

.

.

D.

.

Lời giải.Chọn B.Ta có

A.

.

.

là:

.
Lời giải.Chọn B
Câu 11:
Tập nghiệm của phương trình

Câu 12:

D.

.

Nghiệm của phương trình

C.

.
.

Nghiệm của phương trình

A.

.

là:

Lời giải.Chọn C.
Câu 10:

D.

.

Lời giải.Chọn C.
Câu 9:

.

.

Nghiệm của phương trình

A.

D.

.

Nghiệm của phương trình

là

.

B.
13

.

C.
Lời giải.Chọn A

Ta có:
Câu 13:

.

D.

.

.
Phương trình

A.

có nghiệm là

.B.

.C.

.D.

Lời giải.Chọn A.
Câu 14:

.

Giải phương trình

A.

.

.

. B.

.

C.

.

D.

Lời giải.Chọn C.
Câu 15:

.

Phương trình

A.

có tập nghiệm là
.B.

.C.

Lời giải.Chọn B.Ta có
Câu 16: Phương trình
A.

.

.

.D.
.

có một nghiệm là
B.

.

C.

Lời giải.Chọn C.Phương trình

.

D.

,

.
trên đường tròn đơn vị ta được bao nhiêu điểm?
C. .
D. .

Lời giải.Chọn D.Ta có:
Do đó khi biểu diễn họ nghiệm của phương trình
Câu 18:
Phương trình
có nghiệm là

trên đường tròn đơn vị ta được

A.

B.

Câu 19:

.

Phương trình

.

.

Vậy các nghiệm của phương trình là
Câu 17: Biểu diễn họ nghiệm của phương trình
A. .
B. .

C.
Lời giải.Chọn C

.

.

D.

có tập nghiệm là
14

điểm.
.
.

A.

.B.

.C.

.D.

Lời giải.Chọn C.

.

.

Vậy tập nghiệm của phương trình là
Câu 20:
Tập nghiệm của phương trình
A.

.
là

.

C.
Lời giải.Chọn A.Ta có:

B.
.

.

D.

.

.
Vậy tập nghiệm của phương trình là

.

Câu 21: Nghiệm của phương trình
là:


x   k
x   k 2
2
2
A.
.
B.
.

Lời giải.Chọn A
Câu 22:
A.

.

A.

D.

x 


 k 2
2
.

.

Với giá trị nào của
.

thì phương trình
B.
.

Lời giải.Chọn D.Ta có
Vì
Câu 23:



x   k.
4
2.
C.

D.

.

.Vậy để phương trình bài ra có nghiệm thì

Phương trình lượng giác
.

C.

có nghiệm là:
.

B.

có nghiệm là:
.

C.

.

D. Vô nghiệm.

Lời giải.Chọn B.Ta có
Câu 24:

Phương trình lượng giác

A.

.

có nghiệm là:

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải.Chọn B.Ta có
Câu 25:
A.

Phương trình lượng giác
.

B.

có nghiệm là:
.
15

C.

.

D.

.

Lời giải.Chọn A.Ta có
Câu 26: Phương trình

vô nghiệm khi

là:

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải.Chọn A.Ta có
Để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
Vậy
và
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 27:
Nghiệm của phương trình
là.
A.

B.

C.

D.

Lời giải.Chọn B.Ta có:
Câu 28: Giá trị đặc biệt nào sau đây là đúng
A.

.

C.

B.
.

.

D.

Lời giải.Chọn B.
Câu 29:

.

.
.

Phương trình lượng giác:

A.

.

có nghiệm là:

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải.Chọn B.

.

Câu 30:Giải phương trình lượng giác:
A.

.

có nghiệm là:

B.

.

C.

.

D.

Lời giải.Chọn D.
Câu 31: Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai
A.
Lời giải.Chọn C.
Câu 32:
A.

.B.

.

.C.
.

Phương trình lượng giác:
.

.D.

.

có nghiệm là:

B.

.

C.

.

D.

Lời giải.Chọn D.
Câu 33:
Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm?
A.

B.

C.

Lời giải.Chọn B*
*

.

,
,

.
16

D.
.

*

.

.

*
Câu 34:

,

.

Tập nghiệm của phương trình

là

A.

.

C.

B.

.

Lời giải.Chọn D.Ta có
Câu 35:
Phương trình

.

D.

.
.

có nghiệm là

A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải.Chọn A.Phương trình
,
.
Câu 36: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để phương trình
A.
.
B.
.
C.
Lời giải.Chọn C.Với mọi
, ta luôn có
.
Do đó, phương trình
có nghiệm khi và chỉ khi
.
Câu 37: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để phương trình
A.
.
B.
.
C.
Lời giải.Chọn A.Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình
 Phương trình có nghiệm khi

.

 Phương trình vô nghiệm khi
Phương trình

.

,

.

.

có nghiệm.
D.
.

.

vô nghiệm.
.

D.

.

.

.

Do đó, phương trình
vô nghiệm
Câu 38:Nghiệm của phương trình
là
A.

D.

B.

.

,

.

Lời giải.Chọn D.Ta có

,

C.

,

. D.

,

.

.

Câu 39:Tổng tất cả các nghiệm của phương trình
A. .
B. .

trên
.

C.

bằng:
D.

.

Lời giải.Chọn B.Ta có
Khi đó:

với

.

Phương trình trở thành

.

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình
E. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

trên

Câu 1:Cho phương trình lượng giác
a) Phương trình (*) tương đương

.

(*). Khi đó:
;

b) Trong khoảng

c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng
d) Trong khoảng
Lời giải

bằng

bằng

phương trình có nghiệm lớn nhất bằng
17

phương trình có 3 nghiệm

a) Sai

b) Sai

a)

c) Đúng

d) Đúng

nên a sai

b)

nên b sai
c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng
d) Trong khoảng

nên c đúng

phương trình có nghiệm lớn nhất bằng

Câu 2:Cho phương trình lượng giác

nên d đúng

(*). Khi đó:

a) Phương trình (*) có nghiệm
b) Trong khoảng

thì hương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng

c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng
d) Trong khoảng
Lời giải
a) Đúng

bằng

phương trình có nghiệm lớn nhất bằng
b) Sai

c) Sai

d) Sai

a)

b) Ta có
c)

Nên b sai
nên c sai

d) Trong khoảng

phương trình có nghiệm lớn nhất bằng

Câu 3:Cho phương trình lượng giác

nên d sai

(*). Khi đó

a) Phương trình (*) tương đương
b) Phương trình (*) có nghiệm
c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng
d) Trong khoảng
Lời giải
a) Sai
a)

bằng

phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng
b) Sai

c) Đúng
.

b)
18

d) Đúng

c)
d) Trong khoảng

phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng

Câu 4:Cho phương trình lượng giác

, khi đó:

a) Phương trình có nghiệm

;

b) Trong đoạn

c) Tổng các nghiệm của phương trình trong đoạn
d) Trong đoạn
Lời giải
a) Sai

đúng

phương trình có 4 nghiệm

bằng

phương trình có nghiệm lớn nhất bằng
b) Sai

c) Đúng

a) Ta có:

d) Đúng

.

b) Vì

nên

.Vậy nghiệm

c)

;

d) Trong đoạn

.

phương trình có nghiệm lớn nhất bằng

Câu 5:Cho phương trình

(*), vậy:

a) Phương trình có nghiệm

b) Trong khoảng

c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng
d) Trong khoảng
Lời giải
a) Đúng

thoả mãn đề bài là:

phương trình có 2 nghiệm

bằng

phương trình có nghiệm lớn nhất bằng
b) Đúng

c) Sai

a) Ta có:

d) Đúng

.
Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng

là

.

b)
c)
Câu 6:

nên c sai; d) Trong khoảng

phương trình có nghiệm lớn nhất bằng

Cho phương trình lượng giác
19

nên d đúng

a) Phương trình có nghiệm
c) Trên khoảng

; b) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng

phương trình đã cho có 3 nghiệm

d) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng
Lời giải
a) Sai
b) Đúng

bằng
c) Sai

d) Đúng

b) Ta có:

.
c) Vì

nên

d)

.

Câu 7:

.Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc khoảng

Cho phương trình lượng giác

a) Phương trình có nghiệm
c) Khi

, khi đó:
. b) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng

thì phương trình có ba nghiệm

d) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng
Lời giải
a) Sai
b) Sai

bằng
c) Sai

a) Phương trình tương đương với:
nên b sai

c) Vì

d)

d) Đúng
.

b) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng

Với

.

.Do
thì

, với

thì

.Vậy

và

nên d đúng

Câu 8:Cho phương trình lượng giác

, khi đó:

a) Phương trình tương đương
20

nên

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

.

b) Phương trình có nghiệm là:

.

c) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng
d) Số nghiệm của phương trình trong khoảng
Lời giải
a) Sai
b) Đúng

là ba nghiệm
c) Sai

d) Sai

a) Ta có:

b)
Vậy phương trình có nghiệm là:
c) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng
Câu 9:Cho phương trình lượng giác

.
;

d) Khi

phương trình có hai nghiệm

, khi đó:

a) Phương trình tương đương
b) Phương trình có nghiệm là:

.

c) Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất bằng
d) Số nghiệm của phương trình trong khoảng
Lời giải
a) Đúng
b) Sai

là hai nghiệm
c) Đúng

d) Sai

a) Ta có:

b)
Vậy phương trình có nghiệm là:

.

b) Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất bằng
d) Số nghiệm của phương trình trong khoảng

là một nghiệm

Câu 10: Cho phương trình lượng giác

, khi đó:
21

a) Phương trình tương đương
b) Phương trình có nghiệm là:

.

c) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng
d) Số nghiệm của phương trình trong khoảng
Lời giải
a) Sai
b) Sai

là hai nghiệm
c) Đúng

d) Đúng

a) Ta có:

b)
Vậy phương trình có nghiệm là:

.

c) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng
d) Số nghiệm của phương trình trong khoảng

là hai nghiệm

Câu 11:Cho phương trình lượng giác

, vậy:

a) Phương trình tương đương với
b) Đồ thị hàm số

cắt trục hoành tại điểm gốc tọa độ

c) Phương trình có nghiệm là:
d) Trên khoảng
Lời giải
a) Đúng

.

phương trình đã cho có một nghiệm
b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) Ta có:

b) c)
Vậy phương trình có nghiệm là:
d) Trên khoảng

.

phương trình đã cho có hai nghiệm

Câu 12: Cho hai đồ thị hàm số

và

, khi đó:

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:
22

b) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là
c) Khi

thì hai đồ thị hàm số cắt nhau tại ba điểm

d) Khi
Lời giải
a) Đúng

thì toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:
b) Đúng

.

c) Sai

d) Sai

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:

b)
c) Vì

.Với

với

d) Vậy toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:

.
.

Câu 13:Một vật dao động xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình

; trong đó

là thời

gian được tính bằng giây và quãng đường
được tính bằng mét là khoảng cách
theo phương ngang của chất điểm đối với vị trí cân bằng. Khi đó:
a) Vật ở xa vị trí cân bằng nhất nghĩa là
.
b) Trong 10 giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở xa vị trí cân bằng nhất
c) Khi vật ở vị trí cân bằng thì
d) Trong khoảng từ 0 đến 20 giây thì vật đi qua vị trí cân bằng 4 lần?
Lời giải
a) Đúng
b) Sai
c) Đúng d) Sai
Ta có

.

a) Vật ở xa vị trí cân bằng nhất nghĩa là

.

Khi đó

.

b) Vậy trong 10 giây đầu tiên thì vật ở xa vị trí cân bằng nhất tại các thời điểm
c) Khi vật ở vị trí cân bằng thì
d) Vậy trong khoảng từ 0 đến 20 giây thì vật ở vị trí cân bằng tại các thời điểm
(giây); tức là có 5 lần vật qua vị trí cân bằng.

23

(giây).

F. TRẢ LỜI NGẮN
Câu 1:Một vật dao động điều hòa với phương trình
, ( tính bằng cm, t tính bằng giây).
Xác định thời điểm vật qua vị trí
theo chiều dương lần thứ 2 kể từ thời điểm ban đầu.
Lời giải.Trả lời:
Ta có:
Vật qua vị trí x = 2 cm theo chiều dương
M0 (vị trí ban đầu)

⇒
⇒ 6πt =
k.2π ⇒
Vậy vật đi qua lần thứ 2, ứng với

với

+4

π/3
-4

s

O

+2
M (vị trí + 2cm theo chiều dương)

Câu 2:Hàng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sau
trong kênh tính theo thời gian

(giờ) trong một ngày

(m) của mực nước

cho bởi công thức

Có bao nhiêu giá trị

để độ sâu của mực nước là

.

Lời giải.Trả lời:

.Độ sâu của mực nước là

thì

.

Khi đó:
.

.

Mà
.
Câu 3:Vật nặng khi được kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm
và
buông tay, lực đàn hồi của lò xo khiến vật
gắn ở đầu của lò xo
dao động quanh . Toạ độ
của
trên trục
vào thời
điểm (giây) sau khi buông tay được xác định bởi công thức
. Trong 2 giây đầu tiên, có bao nhiêu lần vật

24

đi qua vị trí

?

Lời giải.Trả lời:

Với

.Ta có:

thì ta có

Vậy có 15 lần vật A qua vị trí

.

Câu 4:Giả sử một vật dao động điều hoà xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình
Ở
đây, thời gian tính bằng giây và quãng đường tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời gian
từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần ?
Lời giải.Trả lời: .Tại vị trí cân bằng thì
.
Ta có
Do
nên
Vậy có 9 giá trị k, tương ứng ta có 9 lần vật qua vị trí cân bằng.

.

Câu 5:Hàng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu
trong kênh tính theo thời gian

(giờ) trong một ngày

của mực nước

cho bởi công thức

. Hỏi vào thời điểm nào trong ngày, mực nước của con kênh đạt độ cao lớn nhất?
Lời giải.Trả lời:

.Ta có

.Mà
nên

.

Vậy vào thời điểm
trong ngày, mực nước của con kênh đạt độ cao lớn nhất là
.
Câu 6:Số giờ có ánh sáng mặt trời của Thủ đô Hà Nội năm 2023 được cho bởi công thức
với
là số thứ tự của ngày trong năm. Ngày nào sau đây của năm
2023 thì số giờ có ánh sáng mặt trời của Hà Nội lớn nhất?

25

Lời giải.Trả lời:

.Để số giờ có ánh sáng mặt trời lớn nhất thì hàm số

trị lớn nhất. Khi đó

. Vì

đạt gi