Tìm kiếm Đề thi, Kiểm tra
Bài hình (bài 2 IMO 2025) giải bằng THCS
- 0 / 0
-
(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn:
Người gửi: Giang Tien Hai
Ngày gửi: 15h:49' 24-08-2025
Dung lượng: 17.4 KB
Số lượt tải: 4
Nguồn:
Người gửi: Giang Tien Hai
Ngày gửi: 15h:49' 24-08-2025
Dung lượng: 17.4 KB
Số lượt tải: 4
Số lượt thích:
0 người
Một cách tiếp cận bài số 2 IMO 2025 bằng kiến thức THCS:
Đề bài: Cho hai đường tròn (M) và (N) cắt nhau tại A và B. MN cắt hai đường
tròn trên lần lượt tại C và D sao cho CMtiếp tam giác ACD. AP cắt hai đường tròn tại E và F. Gọi H là trực tâm tam giác
PMN. Chứng minh rằng đường thẳng kẻ qua H song song với AP là tiếp tuyến
của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF.
Lời giải:
A
Q
D
N
M
H
C
F
Y
B
T
X
E
P
S
Kẻ các đường kính AX, AY của các đường tròn. CX giao DY tại S. Gọi T là trung
điểm XY, ta có các kết quả sau:
1. X, B, Y thẳng hàng và MN//XY.
2. Các góc ACX, ADY vuông nên tứ giác ÁCSD nội tiếp và P là trung điểm AS.
3. Góc XAP = CAP – CAM = CDS – CAM = ADS – ADN – ACM = 90 0 – AND –
ACM. Tương tự góc YAP = 900 – AND – ACM. Suy ra góc XAP = YAP.
4. Góc AEM = MAE = YAE, suy ta ME//AY, mà MT//AY nên M, T, E thẳng
hàng. Tương tự N, T, F cũng thẳng hàng. AMTN là hình bình hành.
5. Trên tia PA lấy Q sao cho MQ//AC. Ta có các tam giác ACS và QMP ; CDS
và MNP đồng dạng nên PQ/AS = MP/CS = NP/DS suy ra tam giác ADS và
QNP đồng dạng suy ra PQ//AD. Kết hợp AC//NH; AD//MH neenMHNQ là
hình bình hành. Do đó trung điểm O của MN cũng là trung điểm của AT
và HQ, suy ra AHTQ là hình bình hành nên HT//AP.
Kết hợp vài điều trên ta có:
Góc FBT = FAY = FET suy ra BETF nội tiếp.
HTF = TFE = XAP = YAP = TEF suy ra TH là tiếp tuyến của đường tròn BETF.
Xong.
Đề bài: Cho hai đường tròn (M) và (N) cắt nhau tại A và B. MN cắt hai đường
tròn trên lần lượt tại C và D sao cho CM
PMN. Chứng minh rằng đường thẳng kẻ qua H song song với AP là tiếp tuyến
của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF.
Lời giải:
A
Q
D
N
M
H
C
F
Y
B
T
X
E
P
S
Kẻ các đường kính AX, AY của các đường tròn. CX giao DY tại S. Gọi T là trung
điểm XY, ta có các kết quả sau:
1. X, B, Y thẳng hàng và MN//XY.
2. Các góc ACX, ADY vuông nên tứ giác ÁCSD nội tiếp và P là trung điểm AS.
3. Góc XAP = CAP – CAM = CDS – CAM = ADS – ADN – ACM = 90 0 – AND –
ACM. Tương tự góc YAP = 900 – AND – ACM. Suy ra góc XAP = YAP.
4. Góc AEM = MAE = YAE, suy ta ME//AY, mà MT//AY nên M, T, E thẳng
hàng. Tương tự N, T, F cũng thẳng hàng. AMTN là hình bình hành.
5. Trên tia PA lấy Q sao cho MQ//AC. Ta có các tam giác ACS và QMP ; CDS
và MNP đồng dạng nên PQ/AS = MP/CS = NP/DS suy ra tam giác ADS và
QNP đồng dạng suy ra PQ//AD. Kết hợp AC//NH; AD//MH neenMHNQ là
hình bình hành. Do đó trung điểm O của MN cũng là trung điểm của AT
và HQ, suy ra AHTQ là hình bình hành nên HT//AP.
Kết hợp vài điều trên ta có:
Góc FBT = FAY = FET suy ra BETF nội tiếp.
HTF = TFE = XAP = YAP = TEF suy ra TH là tiếp tuyến của đường tròn BETF.
Xong.
Các ý kiến mới nhất