Chuyên đề 1
===================
VECTƠ Và CáC PHéP TOáN TRÊN VECTƠ



I. TóM TắT KIếN THứC


Vectơ

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là đã chỉ rõ điểm mút nào là điểm đầu (gốc), điểm mút nào là điểm cuối (ngọn), được đặc trưng bởi các yếu tố:
(*) Phương
(**) Hướng (chiều)
(***) Độ lớn (độ dài)
A B

Hướng từ điểm đầu tới điểm cuối của vectơ được gọi là hướng của vectơ.
Kí hiệu: Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B được kí hiệu là

* Ngoài ra, vectơ còn được kí hiệu bởi các chữ in thường như
đối với các vectơ tự do.
Độ dài của vectơ
là

Vectơ-không là vectơ có điểm đầu trùng với điểm cuối. Do đó độ dài của vectơ-không bằng 0 và vectơ-không có hướng tùy ý.
Vectơ-không được kí hiệu là
chứ không phải 0.
Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó, ví dụ giá của vectơ
là đường thẳng AB.
Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Ví dụ hai vectơ
và
là hai vectơ cùng phương (vì AB // CD) và được kí hiệu là

A B

D C

Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng, có thể ngược hướng.


* Vectơ-không cùng hướng với mọi vectơ.
Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài:


Các phép toán trên vectơ

Phép cộng hai vectơ

Cho hai vectơ
và
. Tổng của hai vectơ này được xác định như sau:
(1) Lấy một điểm A bất kì.
Dựng các vectơ
,
.
Vectơ
được gọi là tổng của hai vectơ
và
:


Từ đó, ta có các quy tắc sau đây:
Quy tắc ba điểm (Quy tắc chèn điểm)
Với ba điểm M, N, P bất kì, ta có:

Mở rộng ra, ta có quy tắc n điểm:

Quy tắc hình bình hành:
Với hình bình hành MNPQ bất kì, ta có:

Các tính chất của phép cộng vectơ:

Tính giao hoán:

Tính kết hợp:

Cộng với vectơ-không:


Ta cũng có một bất đẳng thức khá quan trọng sau đây:

(Dấu “=” xảy ra (
)

Phép trừ hai vectơ:

Vectơ đối: Vectơ
được gọi là vectơ đối của vectơ
khi
và
là hai vectơ ngược hướng và có cùng độ dài:

Hiệu của hai vectơ
và
là tổng của vectơ
với vectơ đối của vectơ
:


Các quy tắc:
Quy tắc ba điểm:
Với ba điểm M, N, P bất kì, ta có:

Quy tắc chuyển vế:
Với ba vectơ
và
ta có:


Phép nhân một vect ơ với một số thực

Tích của số thực k với vectơ
là một vectơ, kí hiệu là
, được xác định như sau:
Nếu
hoặc
thì

Nếu
và
thì
và

Nếu
và
thì
và


Từ đó ta có các hệ quả sau đây:






Các tính chất của phép nhân một vectơ với một số thực:

;








Điều kiện để ba điểm thẳng hàng:
Ba điểm A, B, C thẳng hàng



Hệ thức trung điểm - trọng tâm

Hệ thức trung điểm:

Cho đoạn thẳng AB, M là trung điểm của đoạn AB và O là một điểm bất kì.
Ta có: M là trung điểm của AB
( AM = MB và

(

(

(
(1)
(
(theo quy tắc ba điểm)
(
(theo quy tắc chuyển vế)
(
(2)
Từ các hệ thức (1) và (2) ta suy ra:
Điều kiện cần và đủ để M là trung điểm của AB là

Điều kiện cần và đủ để M là trung điểm của AB là tồn tại một điểm I sao cho

* Chú ý: Khi cho điểm I ( M, ta có hệ thức (2) ( hệ thức (1)

Hệ thức trọng tâm:

Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác, ta có:
G là trọng tâm tam giác ABC (
(3)
(Chứng minh: Bạn đọc có thể sử dụng quy tắc hình bình hành hoặc hệ thức