BÀI TẬP TỰ LUẬN ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM HSG VẬT LÝ
Câu 1:

Cho hệ vật như hình vẽ, khối lượng các vật tương ứng là m 0, m1 và,m2.
Ròng rọc có khối lượng không đáng kể, sợi dây nối giữa các vật không
dãn, hệ số ma sát giữa m1, m2 với mặt bàn là . Tính gia tốc của mỗi
vật và lực căng dây nối giữa vật m1 và m2.
Lời giải
Các lực tác dụng lên vật như hình vẽ.
Áp dụng định luật II Niu tơn cho mỗi vật, ta được:
Đối với vật m0:

(1)

Đối với vật m1:

(2)

Đối với vật m2:
Giải hệ (1), (2) và (3) ta được:

(3)

Gia tốc:

Câu 2:

Lực căng dây nối hai vật m1 và m2:
Cho hệ vật gồm hai vật m1 và m2, được bố trí như hình vẽ. Cho biết
mặt phẳng nghiêng góc , ròng rọc có khối lượng không đáng kể, sợi
dây không dãn và hệ số ma sát giữa m 1 và mặt phẳng nghiêng là .
Hỏi tỉ số giữa
a) đi xuống.
b) đi lên.
c) đứng yên.

bằng bao nhiêu để vật m2:

Lời giải
a) Giả sử vật m1 đi lên; các lực tác dụng lên vật như hình vẽ.
Theo định luật II Niu tơn:

Khi đó:
b) Tương tự, khi m2 đi lên:

Khi đó:

Câu 3:

c) Để hệ vật đứng yên khi:
Một vật có khối lượng m2 đặt trên một tấm ván dài có khối lượng m 1, cả hệ đặt trên mặt phẳng nằm
ngang không ma sát, hệ số ma sát giữa vật m 2 và m1 là
ngang, với t là thời gian và

. Tác dụng vào m2 một lực

là một hằng số dương. Tính gia tốc
Lời giải
Áp dụng định luật II Niu tơn cho mỗi vật.

của ván và

của vật.

nằm

Đối với vật m2:
Đối với vật m1:
Trong giai đoạn đầu
tốc:

Khi

Câu 4:

vật m2 không trượt so với m1, tức là hai vật chuyển động cùng gia

lúc đó

tức là:

Khi đó:
và
Một vật A chuyển động từ đỉnh mặt phẳng nghiêng góc
so với phương nằm
ngang, hình chiếu chuyển động của vật trên mặt phẳng ngang có chiều dài l như
hình vẽ. Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là . Hỏi góc
nhận
giá trị bằng bao nhiêu để thời gian chuyển động của vật là nhỏ nhất. Tính thời
gian đó.
Lời giải
Các lực tác dụng lên vật như hình vẽ. Theo định luật II Niu tơn ta có:

Thời gian chuyển động của vật là:
Thời gian đạt giá trị nhỏ nhất khi:

đạt giá trị lớn nhất.

Tức là:

Câu 5:

Thời gian chuyển động nhỏ nhất:
Một vật được kéo trượt trên mặt phẳng ngiêng một góc
phẳng ngang bởi lực

tạo với mặt phẳng nghiêng một góc

so với mặt
như hình

vẽ. Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là . Hỏi
bằng bao
nhiêu thì lực kéo đạt giá trị nhỏ nhất để kéo được vật m lên mặt phẳng
nghiêng. Tính lực kéo
khi đó.
Lời giải
Các lực tác dụng lên vật như hình vẽ.
Theo định luật II Niu tơn.

Suy ra:
Để lực kéo
Tức là:

nhỏ nhất khi

đạt giá trị lớn nhất.

Câu 6:

Giá trị lực kéo :
Một vật có khối lượng m đặt trên mặt phẳng ngang, hệ số ma sát giữa m và mặt
phẳng ngang là . Tác dụng lên vật một lực
tạo với phương ngang một
góc , với k là một hằng số dương, t thời gian. Hãy tính:
a) Vận tốc của vật khi nó bắt đầu rời mặt phẳng ngang.
b) Quãng đường vật đi được trên mặt phẳng ngang.
Lời giải
Áp dụng định luật II Niu tơn cho vật.
Theo Oy:
Theo Ox:

(1)

(2)
Thời gian từ lúc bắt đầu chịu tác dụng của lực đến khi vật bắt đầu chuyển
động t0.

Thời điểm vật rời mặt phẳng ngang, ứng với
Vận tốc của vật khi vật rời mặt phẳng ngang:

Tích phân 2 vế:
Quãng đường vật đi được trên mặt phẳng ngang:

Tích phân 2 vế:

Câu 7:

Một vật nằm trên mặt phẳng nằm ngang, hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng
ngang là . Tác dụng vào vật một lực
có độ lớn không đổi và vật bắt đầu
chuyển động, đồng thời hướng của lực
tạo với phương ngang một góc
như hình vẽ, với k là một hằng số và s là quãng đường vật đi được. Tìm
vận tốc của vật như một hàm của s.
Lời giải
Theo định luật II Niu tơn.
Theo Oy:
Theo trục Ox:

Tích phân 2 vế:

Câu 8:

Ta được:
Một động cơ điện gắn với đế được đặt trên mặt phẳng
nằm ngang có tổng khối lượng m. Dùng động cơ này
kéo vật có khối lượng 2m bằng một sợi dây không dãn
và không có khối lượng chiều dài l. Trong quá trình kéo
cả động cơ và vật đều trượt trên mặt phẳng nằm ngang,
hệ số ma sát giữa động cơ, vật và mặt phẳng ngang là . Hỏi sau bao lâu hai vật va chạm với nhau.
Biết gia tốc của vật 2m là

.
Lời giải

Gọi
lần lượt là gia tốc của động cơ
và vật 2m; t là thời gian từ lúc hai vật bặt
đầu chuyển động đến khi va chạm với
nhau. Theo định luật II Niu tơn
Đối với động cơ:
(1)
Trong thời gian t động cơ chuyển động được quãng đường là:
Đối với vật 2m:
(2)
Trong thời gian t động cơ chuyển động được quãng đường là:
Khi động cơ và vật chạm vào nhau:

Câu 9:

(3)

Giải hệ (1), (2) và (3) ta được:
.
Tính gia tốc chuyển động của vật 2, được bố trí như hình vẽ. Trong đó
là góc tạo bởi giữa mặt phăng nghiêng và mặt phẳng nằm ngang; và
tỉ số
. Bỏ qua mọi ma sát, sợi dây không dãn và ròng rọc có khối
lượng không đáng kể.
Lời giải
Các lực tác dụng lên mỗi vật như hình vẽ.
Áp dụng định luật II Niu tơn cho mỗi vật.
Đối với vật m1:

(1)

Đối với vật m2:
(2)
Do ròng ròng có khối lượng không đáng kể:
(3)
Vì ròng rọc động:
(4)
Giải hệ phương trình (1), (2), (3) và (4) ta được:

Nếu
thì:
Câu 10: Một cơ hệ được bố trí như hình vẽ bên. Trong đó thanh có chiều dài l, khối lượng M; quả
cầu m < M được kẹp vào sợi dây không dãn và có thể trượt trên sợi dây. Ban đầu quả cầu
m ở ngang với đầu dưới của thanh và bắt đầu buông nhẹ, cho hệ chuyển động với gia tốc
không đổi. Sau thời gian t0 quả cầu ở ngang đầu trên của thanh. Tính lực ma sát giữa sợi
dây và quả cầu.
Lời giải
Các lực tác dụng lên mỗi vật như hình vẽ.
Gọi
lần lượt là gia tốc của vật M và m.
Áp dụng định luật II Niu tơn cho mỗi vật.
Đối với thanh:
(1)
Đối với quả cầu:
(2)
Chọn hệ quy chiếu gắn với quả cầu:
(3)
Theo đề bài:
(4)
Giải hệ phương trình (1), (2), (3) và (4) ta được:

Câu 11: Một cơ hệ gồm vật nhỏ 1 có khối lượng m và thanh 2 có chiều dài l, khối lượng M được
bố trí như hình vẽ. Ban đầu vật m được giữ ở ngang bằng với đầu dưới của thanh M,
sau đó buông nhẹ. Hỏi sau bao lâu vật nhỏ m ở ngang với đầu trên của thanh M. Bỏ qua
mọi ma sát, khối lượng ròng rọc và sợi dây không dãn. Cho biết khối lượng m lớn gấp
lần khối lượng M

.

Lời giải
Các lực tác dụng lên mỗi vật như hình vẽ.
Gọi
lần lượt là gia tốc của thanh và gia tốc của vật nhỏ.
Theo định luật II Niu tơn.
Vật M:

(1)

Vật m:
(2)
Do bỏ qua khối lượng ròng rọc:

(3)

Do ròng rọc động:
(4)
Giải hệ phương trình: (1), (2), (3) và (4) ta được kết quả:

Và

Chọn hệ quy chiếu gắn với m, gia tốc của M so với m:

Thời gian để m đi từ đầu dưới đến đầu trên của thanh là:

Câu 12: Cho cơ hệ như hình vẽ. Trong đó vật 1 có khối lượng m 1 gắn với ròng rọc động, vật 2
có khối lượng m2. Biết rằng khối lượng vật 1 gấp lần khối lượng vật 2. Bỏ qua mọi
ma sát, khối lượng ròng rọc và sợi dây không dãn. Ban đầu vật 2 ở sát mặt đất, vật 1
cách mặt đất một khoảng h. Thả cho hệ chuyển động. Tìm độ cao lớn nhất mà vật m 2
đạt tới so với mặt đất.
Lời giải
Gọi
lần lượt là gia tốc của vật 1 và vật 2.
Theo định luật II Niu tơn.
Vật m1:

(1)

Vật m:

(2)

Do bỏ qua khối lượng ròng rọc:

(3)

Do ròng rọc động:
(4)
Giải hệ phương trình: (1), (2), (3) và (4) ta được kết quả:

Và:
Khi vật m1 chạm đất vận tốc của vật m2:

Ngay sau đó vật m2 chuyển động ném thẳng đứng lên cao, và độ cao đạt thêm được là:

Độ cao lớn nhất vật đạt được là:
Câu 13: Cho cơ hệ nhe hình vẽ. Nêm có khối lượng M, góc
đặt trên mặt phẳng
ngang; khối này mang vật có khối lượng m. Bỏ qua mọi ma sát, dây nối
không dãn. Tính gia tốc của nêm.
Lời giải
Các lực tác dụng lên vật và nêm như hình vẽ.
Áp dụng định luật II Niu tơn đối với nêm:
Đối với vật m. Gọi
thức công gia tốc:

(1)
là gia tốc m đối với nêm M; Theo công
.

Theo Ox nằm ngang:
Theo trục Oy thẳng đứng hướng lên:
Áp dụng định luật II Niu tơn đối với m:

(2)
(3)

Theo Ox:

(4)

Theo Oy:

(5)

Do sợi dây không dãn:
(6)
Giải hệ phương trinh (1), (2), (3), (4), (5) và (6) ta được:

Câu 14: Một con lắc gồm một sợi dây dài l không dãn, một đầu cố định, một đầu treo vật nặng có khối lượng
m, gia tốc rơi tự do g. Kéo con lắc lệch với phương thẳng đứng một góc 900 buông nhẹ. Hãy tính:
a) Gia tốc toàn phần của vật theo góc lệch so với phương thẳng đứng.
b) Tính lực căng của sợi dây khi vận tốc của vật theo phương thẳng đứng đạt giá trị cực đại.
c) Góc tạo bởi giữa sợi dây và phương thẳng đứng bằng bao nhiêu khi gia tốc của vật theo
phương thẳng đứng bằng không.
Lời giải
a) Theo định luật II Niu tơn ta có:

Tích phân 2 vế:
Theo phương tiếp tuyến với quỹ đạo chuyển động của vật:

(1)

(2)
Từ (1) và (2) suy ra gia tốc toàn phần của vật:
b) Vận tốc của vật theo phương thẳng đứng:
đạt cực đại khi:
Lực căng dây:
c) Gia tốc toàn phần của vật:

Câu 15: Một người đi xe đạp trên đường đua, quỹ đạo là đường tròn nằm trên mặt phẳng nằm ngang với bán
kính đường đua lớn nhất là R. Hỏi phải đi trên đường đua có bán kính r bằng bao nhiêu thì người này
đạt được vận tốc lớn nhất. Tính vận tốc lớn nhất này? Cho biết hệ số ma sát giữa bánh xe và đường
đua phụ thuộc vào bán kính đường đua theo công thức:
Lời giải
Theo định luật II Niu tơn:

Để vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi:

, với

là một hằng số dương.

Câu 16: Cho cơ hệ như hình vẽ.
sát giữa vật m1 và m2 là
trượt lên nhau.

, bàn nhẵn, hệ số ma
. Tính tỉ số

để chúng không

Lời giải
Do m1 không trượt trên m2 nên:
Lực căng dây:
(1)
- Giả sử m1 có xu hướng trượt ra trước m2:
Ta có:

(2)

Do m1 có xu hướng trượt lên trước m2 nên:

(3)

Từ (1); (2), (3) ta được:
(*)
- Giả sử m2 có xu hướng trượt ra trước m1:
Ta có:

(4)

Do m2 có xu hướng trượt lên trước m1 nên:
Từ (1); (4), (5) ta được:

(5)

(**)

Vậy để chứng không trượt lên nhau khi:
Câu 17: Cho hệ cơ học như hình vẽ. Hai vật m2 và m3 được đặt trên mặt bàn nằm
ngang. Buông tay khỏi m1 thì hệ ba vật m1, m2 và m3 chuyển động, làm
cho phương của dây treo bị lệch một góc 300 so với phương thẳng đứng.
Cho biết m3 = 2m2 = 0,4kg và bỏ qua ma sát, lấy g = 10m/s 2. Hãy tính
khối lượng của m1 và gia tốc của các vật.
Lời giải
Tính khối lượng m1: m1 tham gia hai chuyển động: theo phương ngang
với gia tốc a2 (gia tốc vật m2); theo phương sợi dây a3.
Theo công thức cộng gia tốc:

.

Đối với m1:

(1)

Đối với vật m2:

(2)

Đối với vật m3:

(3)

Từ (2) và (3) suy ra:
Theo đề bài

.

tạo với phương thẳng đứng một góc 300 nên:

Thay vào (1) và (2), ta được:

.

Tính gia tốc: Thay m1 vào (1) suy ra:
m/s
Câu 18: Một vật A có khối lượng m 1 = 1kg đặt trên mặt vật B, khối lượng m 2 = 2kg; vật B đặt trên mặt phẳng
ngang. Hệ số ma sát giữa A và B là
; giữa B và mặt phẳng ngang
không đáng kể.
a) Phải tác dụng lên vật A một lực theo phương ngang tối thiểu
F0 bằng bao nhiêu để nó có thể bắt đầu trượt trên B
b) Vận tốc cảu A bằng bao nhiêu vào lúc nó rời khỏi B nếu bây
giờ lực kéo là 2F0, vật B có chiều dài l = 1m.
Lời giải
Đối với vật A:

(1)

Đối với vật B:

(2)

Để vật A bắt đầu trượt trên vật B:
Hay: F0 = 1,5N.
Nếu F = 2F0. Chọn hệ quy chiếu gắn với vật B; gia tốc của vật A so với vật B:

Vận tốc của vật A khi rời B:
m/s.
Câu 19: Cho hệ cơ học gồm vật m đặt chồng lên vật M và cả hệ thống được đặt trên mặt phẳng ngang. Hệ số
ma sát giữa m và M là , giữa M và mặt phẳng ngang là
a) Đặt lên m để m trượt trên M
b) Đặt lên M để M trượt khỏi m.
Lời giải
a) Trường hợp F đặt lên m:
Đối với vật m:

(1)

Đối với vật M:
Chiếu (1) và (2) lên các trục tọa độ, ta được:
Vật m:

(2)

;

Vật M:
Để

vật

m

trượt

trên

M:

Nhận xét: Các khả năng xảy ra: a1 > 0; a2 > 0; F > 0…
b) Trường hợp F đặt lên M:

. Tìm độ lớn của lực F nằm ngang:

Đối với vật m:

(3)

Đối với vật M:
Chiếu (1) và (2) lên các trục tọa độ, ta được:
Vật m:

(4)

;

Vật M:
Để vật M trượt trên m:
Nhận xét: Các khả năng xảy ra.
Câu 20: Cho hệ cơ học gồm vật m đặt chồng lên vật M và cả hệ thống được đặt trên mặt phẳng ngang. Hệ số
ma sát giữa m và M là
giữa M và mặt phẳng ngang là
. Tác dụng vào M một lực F hợp với
phương ngang một góc
chếch lên. Khi
thay đổi, xác định giá trị nhỏ nhất của F để M có thể
trượt khỏi m, tính
lúc này.
Lời giải
Đối với vật m:

(1)

Đối với vật M:
Suy ra:
Để M trượt trên m:
F đạt cực tiểu khi

cực tiểu; hay:

Cuối cùng ta được:
Câu 21: Một chiếc nêm có khối lượng M, có góc nghiêng , và có thể chuyển
động không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang.
a) Phải kéo dây theo phương ngang một lực F bằng bao nhiêu để
vật m chuyển động lên trên theo mặt nêm? Khi ấy m và nêm M chuyển
động với gia tốc nào? Bỏ qua ma sát, khối lượng của dây và ròng rọc.
b) Xét trường hợp m đứng yên trên nêm M.
Lời giải
Chọn Oxy; Ox nằm ngang cùng chiều F; Oy thẳng đứng hướng lên.
Gọi

là gia tốc nêm;

gia tốc m;

Ta có:

là gia tốc của m so với nêm.
(1)

Đối với m:
Đối với M:
Giải hệ (1), (2) và (3), ta được:

(2)
(3)

Và:

Muốn cho vật m dịch chuyển lên trên thì phải có hai điều kiện sau:

Cuối cùng, ta được:
Nếu:
vật m đứng yên so với nêm và cả hai vật cùng chuyển động.
Câu 22: Trong cách bố trí ở hình bên, cho biết nêm khối lượng M của hình nêm
và khối lượng m của vật m; hệ số ma sát giữa m và M và giữa M và
mặt phăng ngang là . Bỏ qua khối lượng ròng rọc và dây. Hãy xác
định gia tốc vật m đối với mặt phẳng ngang, trên đó có hình nêm
chuyển động.
Lời giải
Gọi là gia tốc m đối với đất;
là gia tốc nêm.
Chọn Oxy; Ox nằm ngang cùng chiều F; Oy thẳng đứng hướng lên.
Đối với m:

(1)

Đôi với M:
Ta có:

(2)
(3)

Giải hệ (1), (2) và (3) ta được:
Câu 23: Cho hệ như hình vẽ. Tính gia tốc của vật m đối với nêm M và nêm M
đối với đất trong các trường hợp sau:
a) Hệ số ma sát giữa M và mặt phẳng ngang là , m trượt
không ma sát trên M.
b) Hệ số ma sát giữa m và M là , mặt phẳng ngang nhẵn.
c) Bỏ qua mọi ma sát. Tính vận tốc của nêm ở thời điểm vật tới
chân nêm, biết độ cao của nêm là h.
Lời giải
Gọi

là gia tốc m;

là gia tốc của M so với nêm;

Ta có:
a) Hệ số ma sát giữa M và mặt phẳng ngang là
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

là gia tốc của m so với M.

, m trượt không ma sát trên M.

Đối với vật m:
Chiếu lên các trục tọa độ:
Với:
Đối với vật M:

(1)

(2)

(3)
Từ (1), (2) và (3), ta được:

(*)

Thế vào (2) tính được
.
b) Hệ số ma sát giữa m và M là

, mặt phẳng ngang nhẵn.

Đối với vật m:
Chiếu lên các trục tọa độ:
Với:

(4)

(5)

Đối với vật M:

(6)

Từ (4), (5) và (6), ta được:
(**)
c) Tính vận tốc của nêm ở thời điểm vật tới chân nêm, biết độ cao của nêm là h.
Từ (*) và (**) ta dễ dàng suy ra gia tốc
cho

và

bằng cách

.
; (7)
(8)

Thời gian để vật đi hết chiều dài của nêm:

Vận tốc nêm khi đó:

(9)

Từ (7), (8) và (9) ta được:
Câu 24: Cho hệ như hình vẽ, biết hệ số ma sát giữa m và M là
a) Tính gia tốc
khoảng thời gian t.

.

của nêm để m đi hết chiều dài l của nêm trong

b) Xác định gia tốc

để vật m đi lên.
Lời giải

a) Tính gia tốc
của nêm để m đi hết chiều dài l của nêm trong
khoảng thời gian t.
Trường hợp 1:
hướng sang trái:
Chọn hệ quy chiếu gắn với nêm.

Suy ra:

Ta có:
Với tùy ý.
Trường hợp 2:

hướng sang phải:

Suy ra:

Cuối cùng:
Với

nêm chưa chuyển động thì vật đã trượt xuống dưới.

b) Xác định gia tốc

để vật m đi lên.

Để vật trượt lên thì

phải có hướng sang trái

Suy ra:
Với điều kiện:
Câu 25: Cho hai miếng gỗ có khối lượng m1 và m2 đặt chồng lên nhau trượt trên
mặt phẳng nghiêng. Hệ số ma sát giữa chúng là , giữa m1 và mặt phẳng
nghiêng là . Trong quá trình trượt, một miếng gỗ có thể chuyển động
nhanh hơn miếng kia hay không? Tìm điều điện để hai vật cùng chuyển
động như một.
Lời giải
Chọn chiều dương là chiều xuống dưới. Gọi các gia tốc
chuyển động nhanh hơn).
Vật m1 chịu tác dụng của các lực:

và

. Giả thiết a1 > a2 (miếng gỗ dưới

; lực ma sát:
.

Hai lực

đều hướng lên trên. Ta có phương trình:

.

Suy ra:

(1)

Vật m2 chịu tác dụng của các lực:

; lực ma sát:

(hướng xuống, vì m1

chuyển động nhanh hơn nên lực ma sát kéo vật m2 đi). Ta có phương trình:
Suy ra:
, mâu thuẫn với giả thiết. Vậy miếng gỗ dưới không thể chuyển động
nhanh hơn miếng gỗ trên.
Nếu giả thiết a2 > a1 thì có các phương trình:

nếu

hay

+
, vật m2 có thể chuyển động nhanh hơn vật m 1 nếu ma sát giữa hai miếng gỗ nhỏ hơn ma sát
giữa vật m1 và mặt phẳng nghiêng.
+
thì
thì hai vật cùng trượt như một.
Câu 26: Treo vào hai đầu một sợi dây không dãn không có khối lượng hai vật nặng m 1 và m2, sợi dây được
vắt qua một ròng rọc cố định. Giữa sợi dây và ròng rọc có ma sát. Khi tỉ số
đầu trượt. Hãy tính:
a) Hệ số ma sát giữa sợi dây và ròng rọc.
b) Tính gia tốc của mỗi vật khi

.
Lời giải
a) Gọi dl là chiều dài phần dây tiếp xúc với ròng rọc, góc ở tâm là dθ
Phần dây chịu tác dụng của lực căng
lực

và phản

của ròng rọc tác dụng lên phần dây đó. Do ròng rọc cân bằng:
Theo phương tiếp tuyến với ròng rọc:
(1)
Theo phương phản lực

:
(2)

(Do

rất nhỏ và

)

Thay (2) vào (1):
vì

thì sợi dây bắt

b) Khi

. Phương trình định luật II viết cho mỗi vật.
và

(3)

Giải hệ phương trình (3) kết hợp với điều kiện
, ta được:
Câu 27: Một chiếc xuồng máy đi chuyển dọc theo một hồ nước với vận tốc v0, thì tắt máy chuyển động chậm
dần và dừng lại. Biết lực cản tác dụng lên thuyền máy
, k = const. Hãy tìm:
a) Thời gian kể từ lúc tắt máy đến khi xuồng dừng hẳn.
b) Quãng đường xuồng đi được kể từ khi tắt máy đến khi dừng hẳn.
c) Tốc độ trung bình của xuồng máy kể từ khi tắt máy đến khi vận tốc giảm lần.
Lời giải
a) Thời gian kể từ lúc tắt máy đến khi xuồng dừng hẳn. Theo định luật II Niu tơn:

Khi xuồng dừng lại
.
b) Quãng đường từ lúc xuồng bắt đầu tắt máy đến khi dừng hẳn là:
Từ công thức:
c) Tốc độ trung bình của xuồng máy kể từ khi tắt máy đến khi vận tốc giảm
Thời gian xuồng đi đượclà:

lần là:

Từ
Quãng đường xuồng đi được là:

Tốc độ trung bình:
Câu 28: Sau khi xuyên qua tâm ván có bề dày h, tốcđộ của viên đạn thay đổi từ v0 đến v. Tìm thời gian
chuyển động của viên đạn qua tấm ván, giả sử lực cản của tấm ván tác dụng lên viên đạn tỉ lệ với
bình phương vận tốc.
Lời giải
Theo định luật II Niu tơn:

Ta cũng có thể viết:

Cuối cùng ta được:
Câu 29: Một vật trượt trên một mặt phẳng nghiêng dài hợp với phương ngang một góc α. Hệ số ma sát giữa
vật và mặt phẳng nghiêng phụ thuộc và quãng đường đi được của vật
. Tìm thời gian từ lúc
bắt đầu trượt đến khi dừng hẳn và tốc độ lớn nhất mà vật đạt được trong quá trình chuyển động.
Lời giải
Phương trình định luật II Niu tơn:
Theo phương Oy vuông góc với mặt phẳng nghiêng:
Theo phương Ox:

(1)

(2)

Thay (1) và (2):

(3)

Tích phân 2 vế (3):
Khi vật dừng lại:
Vận tốc của vật đạt cực đại:
Tốc độ cực đại của vật là:
Câu 30: Một vật có khối lượng m được ném thẳng đứng lên cao với tốc độ ban đầu v0, lực cản của không khí
tỉ lệ với bình phương vận tốc
. Hãy tính:
a) Độ cao lớn nhất mà vật đạt được.
b) Tốc độ của vật khi vật quay về vị trí ném vật ban đầu.
Lời giải
Ta có:

Khi vật rơi xuống:
Câu 31: Một vật m đang đứng yên trên một mặt phẳng nằm ngang thì chịu tác dụng của một lực có độ lớn
không đổi và có hướng nằm trong mặt phẳng đó và quay với tốc độ góc
không đổi. Hãy tính:
a) Tốc độ của vật theo thời gian.
b) Quãng đương vật đi được giữa hai điểm mà tốc độ của vật bằng không và tốc độ trung bình
của vật trong thời gian đó.
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, Ox trùng với hướng của
bất kì, véctơ lực

hợp với Ox một góc

Theo định luật II Niu tơn:
Theo Ox:

.

tại thời điểm t = 0. Tại thời điểm t

Theo Oy:

Tốc độ của vật ở thời điểm t:
Thời gian nhỏ nhất giữa hai lần tốc độ của vật bằng 0:
Quãng đương vật đi được giữa hai điểm mà tốc độ của vật bằng không:

Tốc độ trung bình của vật:
Câu 32: Một vật nhỏ được đặt trên mặt phăng nghiêng góc α so với mặt phẳng nằm
ngang. Truyền cho vật một vận tốc độ ban đầu v0 có phương ban đầu tạo
với Ox góc
. Tốc độ của vật phụ thuộc vào góc ( là góc tạo bởi
hướng của véc tơ vận tốc với Ox như hình vẽ) như thế nào nếu hệ số ma sát
giữa vật và mặt phăng nghiêng

.
Lời giải

Hình chiếu của trọng lực theo Ox, Oy:
Lực ma sát tác dụng lên vật:
Hình chiếu của phương trình định luật II Niu tơn theo phương tiếp
tuyến với quỹ đạo:
và theo phương Ox:
Tức là theo Ox và phương tiếp tuyến:
, tức là vận tốc của vật theo phương tiếp tuyến
với với quỹ đạo v và phương Ox là vx sai khác một hằng số C, tức là:
Đồng thời:
Tại
Khi
.
Câu 33: Một vật nhỏ được đặt trên đỉnh một quả cầu bán kính R. Truyền cho quả cầu một gia tốc không đổi
theo phương ngang, vật nhỏ bắt đầu trượt xuống. Hãy tính:
a) Vận tốc của vật so với quả cầu khi vật bắt đầu rời quả cầu và vị trí quả vật rời quả cầu.
b) Thời gian từ lúc vật bắt đầu trượt đến khi rời quả cầu.

Lời giải
Chọn hệ quy chiếu gắn với quả cầu. Theo định luật II Niu tơn ta có:
Chiếu theo phương bán kính nối tâm quả cầu và vật:

Khi vật bắt đầu rời quả cầu
Khi đó ta được:
(1)
Chiếu theo phương tiếp tuyến với quả cầu:
(2)
Tích phấn hai vế của phương trình (2):
(3)

Giải hệ (1) và (3) ta đươc:
, với
.
Chú ý: Để có công thức (3) ta có thể dùng định luật bảo toàn cơ năng trong hệ quy chiếu gắn với quả
cầu:

Thời gian trượt của vật trên quả cầu:
Từ:

Vận tốc của quả cầu tại thời điểm t0:
Vận tốc của quả cầu so với đất là:
Câu 34: Một đứa trẻ quay đều trên đầu một hon đá, khối lượng m nhờ sợi dây dài l.
Nắm tay chuyển động trên đường tròn bán kính l, hình vẽ. Hãy xác định
bán kính của đường tròn chuyển động của hòn đá, nếu lực cản của không
khí tỉ lệ với bình phương vận tốc

. Bỏ qua trọng lượng của hòn đá.
Lời giải

Từ hình vẽ, ta có:

(1)
(2)

(3)
Từ (1) và (2) suy ra:

(4)

Từ (3) và (4), suy ra:

Giải phương trình ta được:
Câu 35: Một hạt xâu qua một vành cứng, cố định, bán kính R. Mặt phẳng của vành nằm ngang. Tại một thời
điểm nào đó, người ta truyền cho hạt vận tốc
theo phương tiếp tuyến. Hãy xác định lực do vành
tác dụng lên hạt tại hai thời điểm: ngay sau khi bắt đầu chuyển động và ngay trước khi dừng lại. Biết
hệ số ma sát giữa vành và hạt là .
Lời giải
Trong quá trình chuyển động, phản lực N của vành lên hạt có hai thành phần: một thành phần cân
bằng với trọng lực và một thành phần hướng vào tâm vành. Khi hạt có vận tốc , phản lực N bằng:

Lực mà vành tác dụng lên hạt:
Khi bắt đầu chuyển động
Ngay trước khi dừng lại:
.
Xét khi vật có vận tốc v, theo định luật II Niu tơn:

Đặt

rồi lấy tích phân 2 vế ta thu được kết quả:

Câu 36: Ba vật 1, 2, 3 khối lượng lần lượt là m 1, m2, m3 xếp chồng lên nhau thành
một khối như hình vẽ. Mặt ngang A là mặt tiếp xúc giữa 1 và 2 có hệ số ma
sát nghỉ là

. Mạt phẳng B nghiêng góc

là mặt tiếp xúc giữa 2 và 3 có

hệ số ma sát nghỉ
.
a) Vật A được kéo sáng phải sao cho gia tốc của nó tăng dần. Trên
mặt nào sẽ xảy ra chuyển động tương đối giữa các vật trước.
b) Giải lại câu a trong trường hợp kéo vật 3 sang trái.
c) Nếu
thì trị số góc bằng bao nhiêu để xảy ra trượt trên mặt B trước
khi kéo vật 3 sang trái và để xảy ra trượt trên trên mặt A trước khi kéo vật 3 sang trái?
Lời giải
a) Xét 3 vật đứng yên twong đối với nhau, có cùng gia tốc a hướng sang
phải. Đầu tiên có thể tính được lực ma sát tĩnh trên A:
.
Đối với vật 2: phân tích lực như hình vẽ. Từ định luật II Niu tơn:
Theo phương vuông góc:
Từ đó ta được:

Do đó:

b) Đối với vật 1, gia tốc tối đa là

do đó:

Cho nên:
Vì khi

trên mặt A phát sinh chuyển động tương đối.

Đối với vật 2,

thay vào công thức trên ta được:

Do đóvới

thì trên mặt B có sự chuyển động tương đối.

Nếu

tức là

Nếu

tức thì

c) Thay góc
d) Nếu

.

bằng góc

thì chuyển động trên mặt A trước.
thì mặt B chuyển động trước.
thì

thì trêm mặt A có sự chuyển động trước.

thì khi thay vaaof các bất đẳng thức trên, có:

Do đó tính được trị số tối thiểu của
Trong trường hợp sau ta có điều kiện

. Với goc nghiêng này không lớn hơn góc ma sát.
ứng với trị số

.

Do đó:
.
Câu 37: Trong một thí nghiệm điển hình về quán tính, thầy giáo đặt một chiếc cốc thủy tinh ở ngay méo bàn,
trên tờ giấy, sau đó giật mạnh tờ giấy theo phương ngang. Cả lớp lo sợ chiếc cốc sẽ rơi xuống và vỡ
tan ra. Nhưng không! Tờ giấy nằm yên ở vị trí cũ. Trong bài toán này, ta sẽ tính toán xem thầy giáo
phải thực hiện thí nghiệm như thế nào và mọi việc đã diễn biến ra sao. Giả thiết rằng khối lượng của
cốc là 50g, hệ số ma sát trượt giữa giấy và thủy tinh là 0,4, giữa giấy và bàn gỗ là 0,2. Ta sẽ bỏ qua
khối lượng rất nhỏ của tờ giấy và lấy g = 10m/s2.
a) Tờ giấy chuyển động từ trạng thái nghỉ nên rõ ràng là nó chuyển động có gia tốc. Giả sử
gia tốc đó không đổi. Em hãy tìm gia tốc tối thiểu của tờ giấy để cái cốc “trượt trên tờ giấy”. Khi đó
lực do thầy giáo tác dụng lên tờ giấy là bao nhiêu?
b) Giả thiết rằng quãng đường di chuyển của tờ giấy là 5cm (bằng đường kính của cái cốc
thông thường). Em hãy tính cem thầy giáo phải kéo tờ giấy một lực bào nhiêu để cái cốc dịch chuyển
không quá 2mm trên mặt bàn. Thời gian chuyển động của cái cốc khi đó là bao nhiêu?
c) Để tăng thêm phần hấp dẫn cho thí nghiệm, thầy giáo đổ thêm nước vào cốc. Khi đó thì các
kết quả trên thay đổi thế nào?
Lời giải
Mô hình cốc (2) trên tờ giấy (1) như
hình vẽ.
Trong hệ qua chiếu chuyển động có gia
tốc với mốc là tờ giấy, các lực tác dụng

lên cốc (2) gồm: trọng lực ; phản lực
dụng định luật II Niu tơn ta có:

; lực ma sát với tờ giấy

và lực quán tính

. Áp

Theo phương thẳng đứng:
Theo phương ngang:

Trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm, các lực tác dụng lên tờ giấy (1) gồm: áp lực của cốc lê tờ giấy
; phản lực của mặt bàn lên tờ giấy
; và trognj lực của tờ giấy

; lực kéo

; lực ma sát với cốc

; lực ma sát với bàn

.

Áp dụng định luật II Niu tơn ta có:
Theo phương thẳng đứng:
Theo phương ngang:
Bỏ qua khối lượng của tờ giấy, ta được:
a) Cái cốc “trượt trên tờ giấy” do tác dụng của lực quán tính trong hệ quy chiếu có gia tốc. Để điều
này xảy ra thì:
m/s2
Lực kéo của tờ giấy:
b) Tờ giấy dịch chuyển 50mm còn cái cốc dịch chuyển 2mm, suy ra trong hệ quy chiếu phi quán tính
có mốc là tờ giấy, cái cốc dịch chuyển 48mm. Thời gian di chuyển của 2 vật là như nhau nên:
m/s2.
Thời gian chuyển động của các vật:
Lực kéo của tờ giấy

.

không phụ thuộc vào gia tốc của tờ giấy. Trong thực tế, một tờ giấy

A4 thông thường có khối lượng 5g. Nếu thay giá trị này vào biểu thức của
ở trên (trước khi bỏ
qua khối lượng của tờ giấy) thì ta thu được lực kéo trong hai trường hợp trên kha khác biệt:
. Tuy nhiên, nếu so sánh hai lực này vơi lực thường ngày mà tay người
thực hiện thìh đều quá nhỏ. Vì thế, trong thí nghiệm này, lực kéo tác dụng lên tờ giấy đóng vai trò
không quan trọng, vấn đề ở chỗ nó được kéo “nhanh” (có gia tốc lớn) đến mức nào. Ta nên để ý thêm
rằng gia tốc của tờ giấy cũng chính là gia tốc của tay người kéo, tức là người kéo không chỉ tờ giấy
mà “kéo cả tay minh” nữa nên lực thực sự mà cơ bắp phải sinh ra lớn hơn tính toán trên rất nhiều và
khi làm thí nghiệm thật, người làm thường cố hết sức kéo tờ giấy nhanh nhất (thực ra là kéo chính tay
của mình mạnh nhất) có thể. Mô hình đặt ra trong bài toán này còn thô nên các kết quả ở trên chỉ
giúp ta có những hình dung nhất định về thí nghiệm. Việc giải bài toán này còn giúp ta làm sáng tỏ
nhiều vấn đề như: điều kiện chuyển động trượt của một vật, xét chuyển động tương đối của các vật
trong hệ quy chiếu không quán tính…
c) Việc đổ nước vào cốc tương đương với việc khối lượng cốc tăng. Điều này không ảnh hưởng đến
các gia tốc và thời gian tính ở trên. Lực kéo tờ giấy với giả sử bỏ qua khối lượng tờ giấy cũng không
đổi (và lực kéo thực sự mà tay người cần sinh ra cũng thế). Nếu bạn thực hiện thí nghiệm này, bạn sẽ
không nhận ra sự khác biệt giữa hai trường hợp: cốc có nước và không có nước.