Chương II. HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT
I. LUỸ THỪA
Dạng 1: Tính giá trị và rút gọn biểu thức
Bài 1: Tính các biểu thức :
3

3

1
c) C   
 3

2

1
1
b) B        109
5
4

2
a) A  3  3 
81
4

10

9

36.212
1
d) A  51.25  32.18  5 11
.27   0, 2  .25  128  .  
3 .2
2


a 2
2 2  a 3

.
Bài 2 : Rút gọn biểu thức : A  
ĐS:
 a  0, a  1
 1  a 2 1 a 1  1  a 2


4

3

4

1

2

4

a 3 .b  ab 3
Bài 3 : Cho biểu thức : A  3
a3b

Tính A khi a = 5 ; b =

ĐS: 5 2

2

Dạng 2: Tập xác định và đạo hàm của hàm số lũy thừa
Phương pháp:
- Hàm số y  x có tập xác định dựa vào  . Cụ thể:
 Khi   N * thì hàm số xác định với mọi x
 Khi    N  thì hàm số xác định với mọi x  0
 Khi   Z thì hàm số xác định với mọi x  0
'
- Hàm số y  x có đạo hàm với mọi x > 0 và  x    .x 1
Ví dụ mẫu: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của hàm số a) y   x 2  2 x 

3

b) y  4 2x  6

Bài tập luyện tập: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của các hàm số
0
3
8
a) y   x  1
b) y   x2  3x  2
c) y   2 x  5 


d) y  x  2 x  1

e) y  2 x  7 x  5

g) y   x  1

h) y   4  x 2  5

5

3

4

2

 2x  6 
f) y  

 x 1 

2

3

i) y 

1
x4

II. LOGARIT
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức, chứng minh đẳng thức
Phương pháp: Sử dụng các công thức liên quan đến logarit
1) log a b  N  a  b
N

2) log a 1  0
3) log a a  1
4)a loga b  b

5) log a (b.c)  log a b  log a c
7) log a b N  N log a b
9) log a b 

log c b
log c a

b
6) log a    log a b  log a c
c
1
8) log a N b  log a b
N
10) log a b.logb c  log a c

Ví dụ mẫu: Tính giá trị của biểu thức
1

2

log 2 3

1

a) A   
b) B  log6 72  log6 3
c) C  log 1 343  log9 49  log 3
7
8
3
Ví dụ mẫu:
a) Cho log 2 5  a. Tính log 4 1250 theo a b) Cho log 2 20  b. Tính log 20 5 theo b

1

Bài tập luyện tập:
Bài 1: Tính các lôgarít sau:
a) log 3 27

b) log 1 3

c) log

9

 1 

 25 

1
3 2

3

1
81

d) 16log

2

log5 3

e) 

g) log a

4
2

h) log 1 a 2

a

i) ln

a3

5

1
e

Bài 2: Rút gọn biểu thức:
a) A  log8 12  log8 15  log8 20
1
b) B  log 7 36  log 7 14  3log 7 3 21
2
1 1
c)C  lg  lg 4  4 lg 2
8 2
d ) D  lg 72  log 2

e) E  log 2 4.log 1 2
4

f ) F  log 5

1
.log 27 9
25

g )G  4log2 3  9

log

3

2

h) H  27log9 2  4log8 27

Bài 3: Rút gọn biểu thức:
log3 2log

a) A  81

 1 
c) C   2 
a 

3

1
3log 27 4
16

log a 2  log 1
a

1
3log a 4  2
16

b) B  5

log5 4  2log

5

1
3log 2008 1
2

d) C  31log 4  42log 3  532log
9

2

54

Bài 4: Tính các biểu thức sau theo a và b :
1) Cho a  log 2 5 , b  log 2 3 . Tính log 2 45 theo a và b.
2) Cho a  log3 5 , b  log 2 3 . Tính log3 100 theo a và b.
3) Cho a  log 1 3 , b  log 2 5 . Tính log 2 0,3 theo a và b.
2

4) Cho log30 3  a; log30 5  b . Tính log30 8 theo a và b.
27
5) Cho log5 3 = a. Tính log 3
theo a và b.
5 25
Dạng 2: Tập xác định và đạo hàm của hàm số logarit
Phương pháp:
- Hàm số y  log a x với a  0, a  1 xác định khi x  0
-

Hàm số y  log a x với a  0, a  1 có đạo hàm với mọi x > 0 và  log a x  
'

Đặc biệt  ln x  
'

1
x.ln a

1
x

Ví dụ mẫu: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của hàm số
a) y  log 3  x 2  x 

b) y  ln

Bài tập luyện tập: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của các hàm số sau
a) y = log  x 2  3x  4 

b) y = log 1
3

d) y = log2(x2 + x – 6) + ln(x + 2)

x2
x 1

e)y = log 1  x 4  3 x 2  4  - logx
2

III. Hàm số mũ
Dạng : Tập xác định và đạo hàm của hàm số mũ
Phương pháp:

2

2x  4
1 x

c) y = log

x2  x  2
x4

f) y = ln  x 2  3x 

-

Hàm số y  a x với a  0, a  1 xác định với mọi x

-

Hàm số y  a x với a  0, a  1 có đạo hàm với mọi x và  a x   a x ln a . Đặc biệt  e x   e x
'

'

Ví dụ mẫu: Tính đạo hàm của hàm số a) y  2 x 3 x 1
Bài tập luyện tập: Tính đạo hàm của các hàm số sau
a) y = x.ex
b) y = x7.ex
c) y = (x – 3)2x

b) y  esinx

2

e) y = etanx

f) y = e x

2

3 x  2

d) y = 5x.sin3x

g) y = 3x + 5x

h) y = 5 x

2

1

IV. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
A. Phương trình mũ
Vấn đề 1: Đưa về cùng cơ số
Phương pháp:

a f ( x )  b  f ( x)  log a b,
a

f ( x)

a

g ( x)

 f ( x)  g ( x),

a  0, a  1, b  0
a  0, a  1

Ví dụ mẫu Giải các phương trình sau a) 2x1.3x1  5
b) 2x  x8  413x
Bài 1: Giải các phương trình sau
a) 254x = 53x – 1
b) 3x 3 x 4  9 x 1
c) 5x + 5x+1 + 5x+2 = 3x + 3x+3 + 3x+1
d) 2x + 2x - 1 + 2x - 2 = 3x – 3x - 1 + 3x – 2
Bài 2: Giải các phương trình sau
a) 3x.2x+1 = 72 b) 62x+4 = 3x.2x+8 c) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x
d) 4.3x+2 + 5.3x – 7.3x+1 = 60
Vấn đề 2 : Đặt ẩn phụ
Phương trình  .a 2 x   .a x    0 Đặt t  a x , t  0 ta được  .t 2   .t    0 .

Phương trình  .a x   .a  x    0 . Đặt t  a x , t  0 ta được  .t     0 .
2

2

t

x

 
Phương trình  .a 2 x   .  ab    .b 2 x  0 Đặt t    , t  0 ta được  .t 2   .t    0 .
b

Phương trình  .a x   .b x    0 với a.b  1 . Đặt t  a x , t  0 ta được  .t     0 .
a

x

t

Ví dụ mẫu: Giải các phương trình:
a) 9x  12.3x  27  0
b) 10x1  101 x  99
Bài 1 : Giải phương trình :
a) 49x + 4.7x – 5 = 0
b) 3x+2 + 9x+1 = 4

c) 5.49x  12.35x  7.25x  0
c) 22x + 1 +3. 2x = 2

d) 92x +2 - 4.32x + 1 + 3 = 0

e) 52x + 4 – 110.5x + 1 – 75 = 0

g) 3x  2.31 x  5  0

h) e6 x  3.e3 x  2  0

Bài 2 : Giải các phương trình :
a) 6.9x -13.6x + 6.4x = 0
c) 32x+4 + 45.6x – 9.22x+2 = 0
Bài 3 : Giải các phương trình :



 
x



3

2

x

b) 27 x  12 x  2.8x
d) 3.8x  4.12x  18x  2.27 x  0

x

a) 2  3  2  3  4

b)



6  35

 
x



Vấn đề 3 : Lôgarit hoá
Phương pháp: a f ( x )  b g ( x )  log a  a f ( x )   log a b g ( x )  f ( x)  g ( x) log a b,
Ví dụ mẫu: Giải phương trình 2 x 1  5x

x

f) 2    3    5  0
2
3

2

3 x  2

3

6  35

  12
x

a, b  0,

a, b  1

x 1

x

x

a) 3x.2 x  1
b) 5x.8 x1  100
c) 5x.8 x  500
d) 3x.8 x1  36
Vấn đề 4 : Dùng tính đơn điệu
Phương pháp:
- Phương trình f ( x)  a với f(x) tăng hoặc giảm trên tập D thì có không quá 1 nghiệm trên D.
- Nếu với f(x) tăng hoặc giảm trên tập D thì f(u) = f(v)  u = v với u, v  D
Ví dụ mẫu: Giải phương trình 2 x  11  x
Bài tập luyện tập Giải các phương trình :
2

x

a) 3x + 4x = 5x b)5x = 1 – 3x
B. Phương trình lôgarit :
Vấn đề 1 : Đưa về cùng cơ số

c) 2x  32  1

Phương pháp: với a > 0, a  1 ta luôn có

d)32-x = x + 2

log a f ( x)  b  f ( x)  a b
log a f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x)  0

Ví dụ mẫu: Giải các phương trình
a) log 2 x  log 4 x  log8 x  11

b) log 5 x  log 25 x  log

5

3

Bài tập luyện tập: Giải các phương trình :
33
6
c) log 2 ( x  3)  log 2 ( x  1)  log 2 5

b) log 4  log 2 x   log 2  log 4 x   2

a) log 2 x  log 4 x  log8 x 

d) log 2 ( x 2  3)  log 1 5  2log 1 ( x  1)  log 2 ( x  1)
2

4

e) log 3 ( x  2)  log 3 x  4 x  4  9
f) log 2 ( x  1)  log 2 x  2 x  1  6
Vấn đề 2 : Đặt ẩn phụ
1) Giải các phương trình :
a) log32 x  4log3 x  3  0
b) log52 x  4log25 x  3  0
c) log5 x  log x 5  2
2

2

2

7
6

d) log x 2  log 4 x   0

e) log 22 (4 x)  log 2

2

3

x2
8
8

f) log 3 x    log 32 x  1
x

Vấn đề 3 : Mũ hoá
Giải các phương trình : a) log5x (x + 4) = 1
b) 2  x  3log5 2  log5 (3x  52 x )
IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
Vấn đề 1: Bất phương trình mũ
Phương pháp: Sử dụng tính chất hàm số mũ y = ax tăng khi a > 1 và giảm khi 0 < a < 1. Hơn nữa,
hàm số mũ luôn nhận giá trị dương với mọi x.
Bài 1: Giải các bất phương trình (Đưa về cùng cơ số)
a) 16x – 4 ≥ 8
d) 4

x2  x  6

1

1

2 x 5

b)  
3
1
e) 2  
2

6

9

c) 9x  3 x2

4 x 2 15 x  4

 23 x  4

f) 52x + 2 > 3. 5x

Bài 2: Giải các bất phương trình (Đặt ẩn phụ)
1

1

1

2

a) 22x + 6 + 2x + 7 > 17
b) 52x – 3 – 2.5x -2 ≤ 3
c) 4 x  2 x  3
d) 5.4x +2.25x ≤ 7.10x
e) 2. 16x – 24x – 42x – 2 ≤ 15
f) 4x +1 -16x ≥ 2log48
g) 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x
Vấn đề 2: Bất phương trình logarit
Phương pháp: Sử dụng tính chất hàm số logarit y = loga x với x > 0 tăng khi a > 1 và giảm khi 0 < a < 1.

4

Bài 1: Giải các bất phương trình (Đưa về cùng cơ số)
a) log4(x + 7) > log4(1 – x)
b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – 4
2
c) log2( x – 4x – 5) < 4
d) log1/2(log3x) ≥ 0
2
e) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) > 2/3 f) log2x(x -5x + 6) < 1
Bài 2: Giải các bất phương trình (Đặt ẩn phụ)
a) log22 + log2x ≤ 0
b) log1/3x > logx3 – 5/2
1
1

1
1  log x log x
3x  1 3
x
f) log 4 (3  1).log 1 (
)
4
16
4

c) log2 x + log2x 8 ≤ 4
e) log x 2.log x 16 2 

d)

1
log 2 x  6

BÀI TẬP TỔNG HỢP_NÂNG CAO
Bài 1: Giải các phương trình sau
1) 5x  10.5x1  18  3.5x1
2) 2x1  2x2  2x3  3x1  3x2
1
4)  
8

x 1

 16.

 4
3

x

5) 9

7) 32 x 8  4.3x5  27  0
10) 8x  2.4 x  2 x  2  0
13) 4.9 x  12 x  3.16 x
16) 72 x  x 1  72 x  x  8  0
2

 5  21    5  21   5.2
x

x
2

21) 7  4 3  32  3  2  0
x

1
 
3

5 x 7

6)

8) e4 x  2  3e2 x
11) 3.8x  4.12x  18x  2.27 x  0
14) 25x  15.10 x  50.4 x  0
17) 5 x  51 x  4  0

2

x

19)

x 2  4 x 1

x



20) 3  5
22) 4

x 2  2 x 8



x

5





3) 2. 3x+1 – 6. 3x-1 – 3x = 9



10  3



5 x  3 x3



 19  6 10



2 x2 1

9) 4 3 x 2 x 1  2  9.2
12) 27x  12x  2.8x

15) 15.25x  34.15x  15.9x  0
18) 3x 3 x  2  33 x  x  10  0
2

2

2

2

2

x

 16 3  5  2x3

x2

x 1

23) 3 .8

x 1
x

1

26) 5x  2 x  7  0

28) 9 x  2( x  2).3 x  2 x  5  0

1
3
29) 8  x.2 x  23 x  x  0

31) 2x1  3x  6x  2

32) 10x  15  3.5x  5.2x

33) 213x  4x  25x  4  2x 3x 3  1

24) 2 x.39 x  8

25) 2 x  x  9

2

3 x 2 2 x

2

30) 3.9x  4 x.3x  4 x  3  0
2

2

2

x
x
x
2
x
x
2
x
x
x
x
1 x
34) 2  2  2 cos  2x  x 
35) 2  3  5  6  4
36) 2  3  4  2  2x  x
Bài 2: Giải các phương trình sau
1) log7  x  2   log7  x  2   1  log7  2x  7  2) log 4 2 log 3 1  log 2 (1  3log 2 x)   1
3) 6lg x  xlg 6  12
2

4) 2log32 x  5log3 9x  3  0

2

2

2

2

2

5) lg4(x – 1)2 + lg2(x – 1)3 = 25

2

2

6) 2log5 x  log x 125  1  0




x  x3
2
2
7) log 2 ( x  4)  x  3  log 2 ( x  2) 8) log2 (1 3 x )  log7 x 9) log3  2
  x  3x  2 4)
 2x  4x  5 
2

10) log22 x  ( x  1) log2 x  2x  6  0
Bài 3: Giải các bất phương trình sau

11) log25 ( x  1)  ( x  5) log5 ( x  1)  16  0

1) 3x  9.3 x  10  0

2) 5.4x  2.25x  7.10x  0









4) log1 x 2  6x  8  2log5  x  4  0 5) log1  log4 x 2  5   0


5

Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) log3 (2 x  1)  log3 ( x  2)

3)

1
3

1
 1 1  3x






6) log8 x 2  4x  3  1

3

2) log( x  1)  log(2 x  11)  log 2

5

x 1

3) log 2 ( x  5)  log 2 ( x  2)  3
x2
5) log 4 ( x  2)( x  3)  log 4
2
x3
7) log1/2 ( x  1)  log1/2 ( x  1)  1  log1/
9)

4) log x  log x 2  log(9 x)
6) log 3 ( x  1)  2 log 9 ( x  1)
2

(7  x)

1
log 2 ( x  1) 2  log 1 ( x  4)  log 2 (3  x)
2
2

8) 1 log
2

 x  3  14 log  x  1

8

2

4

 log2  4x 

10) log25 (4 x  5)2  log5 x  log3 27
x  1  log 1 (3  x)  log8 ( x  1)3  0

11) log 2 ( x  2)  log 2 x  4  log 2 3

12) log

13) log2 ( x  3)  log 2 (6 x 10)  1  0

14) log 2 ( x  3)  log 1 5  2 log 1 ( x  1)  log 2 ( x  1)

2

2

2

2

2

Bài 2: Giải các phương trình sau
1
1) (log 2 x  1) log 4 x  log 1  0
2 4

2) log 22 ( x  1)  6 log 2 x  1  2  0

1
2

1
4  lg x 2  lg x
x
6) 2 log 22 x  3log 2    11  0
4

3) log 32 x  log 32 x  1  5  0

4)

5) 4log 24 x  2log 4 x2  1  0
7)

2lg x
2
  lg x 
lg x  1
lg x  1

9) log21 4x  log2
2

4

8) log32  x  1   x  5 log3  x  1  2 x  6  0

x2
8
8

10) log25 x  4log25 5x  5  0

11) log22 (2  x)  8log1/4 (2  x)  5

12) log2 x  3log2 x  log1/2 x  2

13) 3 log3 x  log3 3x  1  0

14)

2

Bài 3: Giải các phương trình sau
1) log 2 (25x3 1)  2  log 2 (5x3  1)

2) log2 (4.3x  6)  log 2 (9x  6)  1

3) log 2 (4 x  4)  x  log 1 (2 x 1  3)

4) log 2 (2x  1).log 2 (2 x1  2)  2

2

5) log3 (3 1).log3 (3
x

x1

6) log 2 (4 x  4)  x  log 1 (2 x 1  3)

 3)  6

2

Bài 4: Giải các phương trình sau
2
1) 2  log9 x   log3 x.log3 2 x  1  1

2)  x  3 log32  x  2   4  x  2  log3  x  2   16

3) log2 x  2.log7 x  2  log2 x.log7 x

4) log2 x.log3 x  3  3.log3 x  log2 x



5) 2  log9 x   log3 x.log3
2






2x  1  1

Bài 5: Tìm m để các phương trình sau:

1) log 2  4 x  m   x  1 có 2 nghiệm phân biệt.
2) log32 x  (m  2).log3 x  3m  1  0 có 2 nghiệm x1, x 2 thỏa x1.x2 = 27.
3) 2log4 (2 x2  x  2m  4m2 )  log 2 ( x2  mx  2m2 ) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa x12  x22  1
4) log32 x  log32 x  1  2m  1  0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc 1;3 3  .



5) 4 log2 x



2

 log2 x  m  0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1)

6