BẤT ĐẲNG THỨC & BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương
Chú ý các tính chất sau:

;
;
; Tích các số không âm là số không âm ; Các hằng đẳng thức đáng nhớ ! Kĩ thuật nhóm, tách các hạng tử để đưa về dạng hằng đẳng thức .
1. Chứng minh các Bất đẳng thức sau: 1.
2.
3.

4.
5.
6.

2.Chứng minh các BĐT sau: 1.
2.

3.
4.

Phương pháp 2 : Dùng bất đẳng thức Cauchy
4. Chứng minh các bất đẳng thức:
1.
2.
3.

3.
5.

6.
7.

8.
9.
10.

11. (p+2)(q+2)(p+q)
16pq (p,q
0) 12. a2 + b2 + c2

a(b + c).
13 . a + b + c

(a, b, c
0). 14. 2a2 + b2 + c2
2a(b + c).
15. a + b + 2a2+ 2b2
2ab + 2b
+ 2a
(a, b
0) 16. (a+b)(b+c)(c+a)
8abc
17 .
18.

20.
20
22.
23.
25.

24.
25. Nếu a+b=1, a>0,b>0 thì

26. (1+a1)(1+a2)...(1+an)
2n nếu a1,a2,...,an>0 và a1a2...an=1
5. Chứng minh rằng
1.
2.

3. a6+b6+1
3a2b2 4.

5.
6.
7.

6. Chứng minh rằng:
1.
2.

3.
4. Nếu a+b=1.Cm: (2a+1)(2+b)
49/8
5.
6

7. (Kỹ thuật thêm bớt trong BĐT Côsi )
Cho a,b,c>0. CMR
(Thêm (a+b)/4..hoặc COSI ngược )
Cho a,b,c>0 .CMR
(Thêm a,b,c) 3. Cho a,b,c>0. CMR
(Thêm b+c..)
Cho a,b,c>0 và abc=1. CMR :
(Thêm(1+b)/8+(1+c)/8…)
Cho a,b,c,d>0 thoả mãn a+b+c+d=4. CMR:
(Thêm (b+c+d)/9..)
Cho a,b,c>0 CMR1.
(Thêm a,b,c) 2.

Cho a,b,c>0 CMR
(Thêm
)
Cho a,b,c>0 CMR

8.(Kỹ thuật cosi ngược dấu).
Cho a,b,c
0 thoả mãn a+b+c=3. CMR
1.

2.

3.

Cho a,b,c,d>0. CMR

Cho a,b,c,d>0 thoả mãn a+b+c+d=4. CMR

III.BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACỐPSKI
Với các số thực a,b,x,y ta có : Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi ay = bx
TQ:Cho hai bộ số
và
ta có :

Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi
với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng
1. Cho a,b,c > 0. CMR:
a.
b.
c.

2. Cho a,b,c (
thoả mãn a+b+c = 1. CMR:

3. CMR : a.
với x,y ( 1 b.
với 0 < c
a,b
4. Cho a,b,c > 0. CMR: a.( a + b )4
8(a4 + b4) b.

c.
với 2a+3b(7 d.
với ab+bc+ca = abc
IV: BÀI TOÁN CỰC TRỊ
1. Cho
, tìm GTNN của P=
.
2. Cho
. Tìm GTLN của
.
3. Cho
. Chứng minh rằng:
.
4