MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ CĂN THỨC BẬC HAI

1. Chứng minh
là số vô tỉ.
2. a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)
3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2.
4. a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy :
.
b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3.
6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.
7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng :

9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a
b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8
10. Chứng minh các bất đẳng thức :
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
11. Tìm các giá trị của x sao cho :
a) | 2x – 3 | = | 1 – x | b) x2 – 4x ≤ 5 c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.
12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)
13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.

15. Rút gọn biểu thức :
.
16. Chứng minh rằng, (n ( Z+ , ta luôn có :
.
17. Trục căn thức ở mẫu :
.
18. Tính :

19. Cho
. Chứng minh rằng a là số tự nhiên.
20. Cho
. b có phải là số tự nhiên không ?
21. Giải các phương trình sau :


22. Tính giá trị của biểu thức :

23. Rút gọn :
.
24. Cho biểu thức :

a) Rút gọn P. b) P có phải là số hữu tỉ không ?
25. Tính :
.
26. Chứng minh :
.
27. Chứng minh các đẳng thức sau :



28. Chứng minh các bất đẳng thức sau :










29. Chứng minh rằng :
. Từ đó suy ra:


30. Trục căn thức ở mẫu :
.
31. Cho
. Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2.
32. Chứng minh bất đẳng thức sau :
.
33. Tính giá trị của biểu thức :
với
.
34. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức
.
35. Tìm giá trị nhỏ nhất của
với 0 < x < 1.
36. Tìm GTLN của :
biết x + y = 4 ; b)

37. Cho
. So sánh a với b, số nào lớn hơn ?
38. Tìm GTNN, GTLN của :
.
39. Tìm giá trị lớn nhất của
.
40. Tìm giá trị lớn nhất của A = | x – y | biết x2 + 4y2 = 1.
41. Tìm GTNN, GTLN của A = x3 + y3 biết x, y ≥ 0 ; x2 + y2 = 1.
42. Tìm GTNN, GTLN của
biết
.
43. Giải phương trình :
.

44. Giải phương trình :
.
45. CMR, (n ( Z+ , ta có :
.
46. Cho
. Hãy so sánh A và 1,999.
47. Cho
. CMR : a, b là các số hữu tỉ.
48. Chứng minh :
. (a > 0 ; a ≠ 1)
49. Chứng minh