CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
KHỐI 8
NĂM HỌC 2024 – 2025
Chuyên đề 1. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
Thời gian thực hiện: 9/2024
A. Kiến thức cần nhớ


(1)



(2)



(3)



(4)



(5)



(6)



(7)

B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức :

Giải
Tìm cách giải. Rút gọn biểu thức là biến đổi viết biểu thức ấy dưới dạng đơn giản hơn. Trong mỗi biểu thức
đều ẩn chứa hẳng đẳng thức, vì vậy chúng ta dùng hằng đẳng thức để khai triển và thu gọn các đơn thức
đồng dạng.
Trình bày lời giải
a) Ta có:

b) Ta có :

c) Ta có :

Ví dụ 2: Cho

và

. Tính
Giải

Tìm cách giải. Sử dụng hằng đẳng thức (1) và giả thiết ta có thể tính được tích xy. Mặt khác phân tích kết
luận bằng hằng đẳng thức (4), ta chỉ cần biết thêm tích xy là xong. Từ đó ta có lời giải sau.
Trình bày lời giải
Từ
Mà
Ta có :

Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức :
tại

tại
Giải

Tìm cách giải.Quan sát kỹ biểu thức, ta nhận thấy có bóng dáng của hằng đẳng thức. Do vậy chúng ta nên
vận dụng đưa về hằng đẳng thức. Sau đó thay số vào để tính, bài toán sẽ đơn giản hơn.
Trình bày lời giải
a) Ta có :

b) Ta có :

Với
Ví dụ 4: Tính nhanh:

Giải
Tìm cách giải. Quan sat kỹ đề bài, ta nhận thấy mỗi phân số đều ẩn chứa hằng đẳng thức. Do vậy, việc dùng
hằng đẳng thức để phân tích ra thừa số là suy luận tự nhiên.
Trình bày lời giải

Ví dụ 5: Cho

. Tính giá trị
Giải

Tìm cách giải. Dựa vào giả thiết và kết luận ta nghĩ tới hai hướng sau:
 Biến đổi biểu thức A nhằm xuất hiện
 Từ giả thiết, suy ra

để thay bằng số 2.

thay vào kết luận, ta được biểu thức chỉ chứa biến y. Sau đó rút gọn biểu

thức.
Trình bày lời giải
Cách 1. Ta có :

Cách 2. Từ giả thiết, suy ra

thay vào biểu thức A ta có :

Ví dụ 6: Tìm các số thực x, y thỏa mãn
Giải
Tìm cách giải. Để tìm số thực x, y thỏa mãn đa thức hai biến bậc hai bằng 0, chúng ta định hướng biến đổi
đưa đa thức đó thành tổng bình phương của hai biểu thức. Sau đó áp dụng
và

. Từ đó tìm được x, y.

Trình bày lời giải

khi và chỉ khi

Ta có :

Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Giải
Tìm cách giải. Để tìm giá trị nhỏ nhất của một đa thức bậc hai, chúng ta dùng hằng đẳng thức (1) và (2) để
biến đổi đa thức thành tổng các bình phương cộng với một số. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức đạt được khi và
chỉ khi tổng các bình phương bằng 0.
Trình bày lời giải
Ta có :

Vậy giá trị nhỏ nhất của

khi và chỉ khi

Ví dụ 8: Cho a, b, c thỏa mãn đồng thời

và

. Tính giá trị của biểu thức :

Giải
Tìm cách giải. Giả thiết cho hai hằng đẳng thức mà lại có ba biến a, b, c có vai trò như nhau. Do vậy chúng
ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi

và từ giả thiết suy ra

. Để tìm ra được kết quả này,

chúng ta vận dụng tổng các bình phương bằng 0. Do đó nên bắt đầu từ

và

biến đổi tương đương để ra giả thiết. Khi trình bày thì lại bắt đầu từ giả thiết.
Trình bày lời giải
Ta có :

Dấu bằng xảy ra khi

Ví dụ 9: Cho

. Chứng minh rằng:

Giải
Tìm cách giải . Quan sát đẳng thức cần chứng minh, chúng ta nhận thấy vế trái có chứa c, vế phải không
chứa c. Do vậy chúng ta cần biến đổi vế trái của đẳng thức, sau đó khử c bằng cách thay
thiết. Để thực hiện nhanh và chính xác, chúng ta nhận thấy vế trái có dạng hằng đẳng thức (3).
Trình bày lời giải
Biến đổi vế trái :

Vế trái bằng vế phải. Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 10: Phân tích số 27000001 ra thừa số nguyên tố.
Tính tổng các ước số nguyên tố của nó.
Giải
Tìm cách giải . Chúng ta có thể vận dụng hằng đẳng thức để phân tích một số ra thừa số nguyên tố.
Trình bày lời giải
Ta có:

từ giả

Tổng các ước số nguyên tố của nó là :
Ví dụ 11: Cho các số x, y thỏa mãn đẳng thức
hãy tính giá trị biểu thức
Giải
Ta có :

Kết hợp với giả thiết suy ra

và

Ta có :

C. Bài tập vận dụng
2.1. Tìm hệ số

của đa thức sau khi khai triển :

Hướng dẫn giải – đáp số

Vậy hệ số của

là 38.

Vậy hệ số của

là -31.

2.2. Tính giá trị biểu thức
tại

.

tại

.
tại
Hướng dẫn giải – đáp số

a ) Ta có :

Với
b) Ta có:

Với

thì

c) Ta có :

Với

.

2.3. Tính hợp lý :

Hướng dẫn giải – đáp số

2.4. Tính giá trị biểu thức :

Hướng dẫn giải – đáp số

2.5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có :

Vậy giá trị nhỏ nhất của

tại

b) Ta có :

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 2015 tại

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là
2.6. Tìm x, biết :

khi

.

Hướng dẫn giải – đáp số

2.7. Biết

và

. Hãy tính giá trị :
Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có:

Mà
2.8. Cho

. Tính giá trị biểu thức :

Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có :

2.9. Chứng minh rằng với mọi x ta có :

Hướng dẫn giải – đáp số

(luôn đúng )

(luôn đúng)

(luôn đúng )
2.10. Tìm x, y biết :

Hướng dẫn giải – đáp số

(vì

và

)

(vì

)

và

(vì

)

2.11. Chứng minh không tồn tại x; y thỏa mãn:

Hướng dẫn giải – đáp số

Mà
Suy ra không có x, y thỏa mãn đề bài.

Mà
Suy ra không có x, y thỏa mãn đề bài.

Mà
Suy ra không có x, y thỏa mãn đề bài.
2.12. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Ta có :
Vậy giá trị lớn nhất của A là 31 khi
b) Ta có
Vậy giá trị lớn nhất của B là 6 khi
c) Ta có :
Vậy giá trị lớn nhất của C là 10 khi
2.13. Cho các số thực x; y thỏa mãn điều kiện

. Tính giá trị biểu thức

Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có:

2.14. Cho

và

Chứng minh rằng :
Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có hằng đẳng thức :

(1)
(2)

Kết hợp với (1) và (2) suy ra

(3)

Mặt khác, từ (1) suy ra
Kết hợp với (3) suy ra :
2.15. Cho

. Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có:

Vế trái bằng vế phải. Điều phải chứng minh
b) Ta có :

.

Vế trái bằng vế phải. Điều phải chứng minh
2.16. Cho

.Hãy so sánh tổng các chữ số của

với tổng các chữ số của A.

Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có :
nên

Tổng các chữ số của

là :

Tổng các chữ số của A là :
Vậy tổng các chữ số của

và tổng các chữ số của A bằng nhau.

2.17. Chứng minh rằng:
Nếu
thì

.
Hướng dẫn giải – đáp số

Từ giả thiết ta có :

Áp dụng hằng đẳng thức :

Kết hợp với (*) ta có :

ta có :

2.18. Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng

là hợp số

(Thi học sinh giỏi toán 9, tỉnh Quảng Bình, năm học 2012-2013)
Hướng dẫn giải – đáp số
- Với n là số chẵn

thì

nên

- Với n là số lẻ. Đặt

là hợp số

thì ta có:

Ta có:

mà
Vậy

suy ra

là hợp số

là hợp số với n là số tự nhiên lớn hơn 1.

2.19.
a) Cho

.Tìm giá trị nhỏ nhất của

b) Cho

.Tìm giá trị lớn nhất của
Hướng dẫn giải – đáp số

a) Ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi
b) Từ

suy ra

Vậy giá trị lớn nhất của B là 8 khi
2.20. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biết
(Tuyển sinh vào lớp 10, THPT chuyên Bình Dương, năm học 2014-2015)
Hướng dẫn giải – đáp số

Từ giả thiết, ta có

Ta có :

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 24 khi
2.21. Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn:

.Tính giá trị của biểu thức

Hướng dẫn giải – đáp số
Đặt
Ta có :
. Do x, y, z là số nguyên có tổng bằng 0 và
nên
2.22. Chứng minh không tồn tại hai số nguyên x, y thỏa mãn
Hướng dẫn giải – đáp số
Từ

suy ra x; y cùng chẵn hoặc cùng lẻ

TH1: Nếu x; y cùng chẵn. Đặt
Vế trái chẵn, còn vế phải lẻ. Vô lí
TH2: Xét x; y cùng lẻ. Đặt
Ta có :
Vế trái chia hết cho 4, vế phải không chia hết cho 4, vô lí
Vậy không tồn tại số nguyên x; y thỏa mãn

.