PHÒNG GD&ĐT HOA LƯ
TRƯỜNG THCS

ĐỀ THI THỬ LẦN 3 TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Năm học: 2023 - 2024
Bài thi môn: TOÁN - Ngày thi: /05/2024
Thời gian làm bài:120 phút (không kể thời gian phát đề)
Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang

ĐỀ THI THỬ

Câu 1 (2,0 điểm).
1) Thực hiện phép tính:
2) Hàm số:

là hàm số đồng biến hay nghịch biến trên

? Vì sao?

3) Giải hệ phương trình:

Câu 2 (2,5 điểm).

1) Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức

với
. b) Tính giá trị của

khi

.
.

2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P):
và đường thẳng d:
(k là tham số).
a) Khi
, tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và parabol (P).
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của k thì đường thẳng d luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. Gọi
y1, y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng d và parabol (P). Tìm k sao cho
.
Câu 3 (1,0 điểm). Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Bác Minh gửi tiết kiệm 100 triệu đồng vào ngân hàng A, kì hạn một năm. Cùng ngày, bác gửi tiết
kiệm 150 triệu đồng vào ngân hàng B, kì hạn một năm, với lãi suất cao hơn lãi suất của ngân hàng A là
1%/năm. Biết sau đúng 1 năm kể từ ngày gửi tiền, bác Minh nhận được tổng số tiền lãi là 16,5 triệu
đồng từ hai khoản tiền gửi tiết kiệm nêu trên. Hỏi lãi suất tiền gửi tiết kiệm kì hạn một năm của ngân
hàng A là bao nhiêu phần trăm?

Câu 4. (3,5 điểm).
1. Cho tam giác

có

nội tiếp trong đường tròn tâm

. Gọi

đường thẳng
cắt cung nhỏ
tại , cắt cung lớn
tại . Gọi
hạ từ xuống
,
là chân đường vuông góc hạ từ xuống
.
a) Chứng minh tứ giác
là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh
.
c) Đường thẳng

cắt

tại

. Đường thẳng

cắt

là trung điểm

,

là chân đường vuông góc

lần lượt tại

và

.

Chứng minh:
và
2. Một hộp đựng chè có dạng hình trụ với đường kính đáy bằng 8cm và chiều cao bằng 12cm. Tính
diện tích giấy carton cần dùng để làm một hộp chè đó, biết tỉ lệ giấy carton hao hụt khi làm một hộp
chè là 5% (lấy

).

Câu 5 (1,0 điểm).
1. Chứng minh rằng phương trình
có nghiệm hữu tỉ với mọi số nguyên n.
2. Cho

là các số thực dương sao cho

(x là ẩn, n là tham số) luôn
. Chứng minh rằng
.

-------Hết------Họ và tên thí sinh:………………………….. Số báo danh:………………..
Họ và tên, chữ ký:
Cán bộ coi thi thứ nhất:……………………………
Cán bộ coi thi thứ hai:……………………………..
HƯỚNG DẪN CHẤM
PHÒNG GD&ĐT HOA LƯ
ĐỀ THI THỬ LẦN 3 TUYỂN SINH
TRƯỜNG THCS
LỚP 10 THPT
Năm học: 2023 - 2024
Bài thi môn: TOÁN - Ngày thi: /05/2024
(Hướng dẫn chấm gồm 06 trang)
I. Hướng dẫn chung
II. Hướng dẫn chi tiết
Câu

Hướng dẫn chấm

Điểm
2,0

1) Thực hiện phép tính:
2) Hàm số:
1
sao?
(2,0đ)

là hàm số đồng biến hay nghịch biến trên

? Vì

3) Giải hệ phương trình:
1. Thực hiện phép tính:

0,5
2.Hàm số:

là hàm số đồng biến hay nghịch biến trên

Hàm số

có hệ số

Vậy hàm số

( vì

? Vì sao?

0,25

)

0,25

đồng biến trên R

3. Giải hệ phương trình:
0,5

Ta có:

0,5
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) = (3;-1)

Câu 2
2,5
điểm 1) Cho biểu thức:

với

a) Rút gọn biểu thức
b) Tính giá trị của
1a) Với

. Ta có:

.

2,5

.
khi

.

0,75

.
b) Ta có:
Thay vào biểu thức

.

ta được:

0,25
.

2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P):

và đường thẳng d:

(k là tham số).
a) Khi

, tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và parabol (P).

1,5

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của k thì đường thẳng d luôn cắt parabol (P) tại
hai điểm phân biệt. Gọi y1, y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng d và
parabol (P). Tìm k sao cho
a) Với k = 2 đường thẳng d có dạng

.
.

Khi đó phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và parabol (P) là

0,25

(1).
Do a + b + c = 1 + 3  4 = 0 nên pt (1) có 2 nghiệm:

= 1;

=  4.

Với x =
= 1 ta có y = 1; với x =
=  4 ta có y = 16.
Vậy khi k = 2 đường thẳng d cắt parabol (P) tại 2 điểm có toạ độ là (1;1) và
(4;16).
b)Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và parabol (P) là:
(2).
Ta có ac =  4 < 0 nên phương trình (2) luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá
trị của k. Suy ra với mọi k đường thẳng d luôn cắt parabol (P) tại 2 điểm phân
biệt.
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (2). Khi đó

.

0,25
0,25

0,25

0,25

Theo định lí Vi-ét ta có:

.

y1 + y2 = y1 y 2

(x1 + x2)2  2x1x2 = (x1 x2)2.

(k  1)2 + 8 = 16

(k  1)2 = 8

hoặc

.

Vậy
hoặc
là các giá trị cần tìm.
Bác Minh gửi tiết kiệm 100 triệu đồng vào ngân hàng A, kì hạn một năm. Cùng
ngày, bác gửi tiết kiệm 150 triệu đồng vào ngân hàng B, kì hạn một năm, với lãi
suất cao hơn lãi suất của ngân hàng A là 1%/năm. Biết sau đúng 1 năm kể từ
ngày gửi tiền, bác Minh nhận được tổng số tiền lãi là 16,5 triệu đồng từ hai
khoản tiền gửi tiết kiệm nêu trên. Hỏi lãi suất tiền gửi tiết kiệm kì hạn một năm
của ngân hàng A là bao nhiêu phần trăm?

Câu 3 Gọi lãi suất tiền gửi tiết kiệm kì hạn 1 năm của ngân hàng A là
.
(1,0 Khi đó lãi suất tiền gửi tiết kiệm 1 năm của ngân hàng B là
.
điểm) Số tiền lãi bác Mình có được sau 1 năm từ hai khoản tiền gửi tiết kiệm là:
(triệu đồng).
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy lãi suất tiền gửi tiết kiệm kì hạn 1 năm của ngân hàng A là
là trung điểm

có

cắt cung nhỏ

tại

tại . Gọi
là chân đường vuông góc hạ từ xuống
Câu 4
.
(3,5 đường vuông góc hạ từ xuống
a) Chứng minh tứ giác
là tứ giác nội tiếp.
điểm)
b) Chứng minh

lần lượt tại

và

0,25
0,25

0,25

.

nội tiếp trong đường tròn tâm

, đường thẳng

c) Đường thẳng

1,0

0,25

Theo bài ra ta có phương trình

1. Cho tam giác

0,25

. Gọi

, cắt cung lớn
,

là chân

2,5

.

cắt

tại

. Chứng minh:

. Đường thẳng

cắt

và

0,25

a) Ta có:
Suy ra: tứ giác
nội tiếp đường tròn đường kính
.(bài toán quỹ tích
cung chứa góc)
b) Vì
là trung điểm của
(quan hệ giữa đường kính và dây

0,75
0,75

cung)

Xét tứ giác
tứ giác

có:
nội tiếp đường tròn đường kính

5 điểm
Ta có:

.

cùng thuộc đường tròn đường kính

+

(góc nội tiếp cùng chắn cung

+ Tam giác

có:

)

.
(1)

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm
(2 góc phụ nhau)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra:
Tương tự ta có:
+

(3)

(góc nội tiếp cùng chắn cung

+ Tam giác

)

vuông tại

(4)
(2 góc phụ nhau)

Từ (4) và (5) suy ra:
Lại có:

(5)
(6)

(góc nội tiếp cùng chắn cung

Từ (3), (6) và (7) suy ra:
Mặt khác ta có:
c) Ta có:
+ Tam giác

)

(7)

(so le trong)
đpcm

(gt)

có

+ Lại có:

)

0,75

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

(theo chứng minh trên)

Suy ra:
+ Mặt khác:

(Vì

là điểm chính giữa của cung

).

cân tại
Gọi
là giao điểm của
minh trên).

Xét

Xét

và

và

và

(do

theo chứng

có:

có:
(2 góc tương ứng)

Mà
Xét tam giác
Mặt khác, tam giác

đpcm.
có

là tia phân giác ngoài tại đỉnh
có

là tia phân giác góc

(9).
(10).

Từ (9) và (10) suy ra
. Do đó
.
2. Một hộp đựng chè có dạng hình trụ với đường kính đáy bằng 8cm và chiều
cao bằng 12cm. Tính diện tích giấy carton cần dùng để làm một hộp chè đó,
biết tỉ lệ giấy carton hao hụt khi làm một hộp chè là 5% (lấy

1,0

).

Bán kính đáy hộp chè hình trụ là:

0,5

Diện tích toàn phần của hộp chè là:

0,25
.
Vậy diện tích giấy carton cần dùng để làm một hộp chè là:

0,25

.

Câu 5
(1,0 1. Chứng minh rằng phương trình
điểm) ẩn, n là tham số) luôn có nghiệm hữu tỉ với mọi số nguyên n.

(x là

Với n = -1: Phương trình đã cho trở thành
Với
:

.

0,25

Ta có
,
là số chính phương, các hệ số của phương trình là số
nguyên nên suy ra phương trình đã cho luôn có nghiệm hữu tỉ với mọi số
nguyên n.
2. Cho

là các số thực dương sao cho

rằng:
Đặt

0,5

. Chứng minh

0,25

0,5

.
. Khi đó

;
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

;

.

.

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có

.
Suy ra:
.
Lại áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có

0,25
.

Suy ra:
Chứng minh tương tự:

.

0,25
;

.

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên, ta đi đến
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

hay

.