CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI HSG TOÁN 8

Câu 1 : Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC
(M khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD tại N . Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
Chứng minh : ∆OEM vuông cân.
Chứng minh : ME // BN.
Từ C kẻ CH
BN ( H
BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.
Câu 4( 6 điểm)









Hình vẽ












a
3
đ
Xét ∆OEB và ∆OMC



Vì ABCD là hình vuông nên ta có OB = OC



 Và




 BE = CM ( gt )



Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c .g.c)




OE = OM và




Lại có

vì tứ giác ABCD là hình vuông





kết hợp với OE = OM
∆OEM vuông cân tại O




b
2đ


Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông
AB = CD và AB // CD



+ AB // CD
AB // CN

( Theo ĐL Ta- lét) (*)



Mà BE = CM (gt) và AB = CD
AE = BM thay vào (*)




Ta có :

ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lét)







c
1đ
Gọi H’ là giao điểm của OM và BN
Từ ME // BN
( cặp góc so le trong)
Mà
vì ∆OEM vuông cân tại O



∆OMC
∆BMH’ (g.g)




,kết hợp
( hai góc đối đỉnh)




∆OMB
∆CMH’ (c.g.c)




Vậy


Mà CH
BN ( H
BN)
H
H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng ( đpcm)

Câu 2: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.
Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?
Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.




A



Ta có : BE
AC (gt); DF
AC (gt) => BE // DF


Chứng minh :



=> BE = DF


Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành.

B



Ta có:



Chứng minh :






B,



Chứng minh :







Chứng minh :







Mà : CD = AB



Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm).

Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME
AB, MF
AD.
a. Chứng minh:

b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.





Câu 3
(6 điểm)

HV + GT + KL














a. Chứng minh:




đpcm


b. DE, BF, CM là ba đường cao của
đpcm


c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi

không đổi

lớn nhất

(AEMF là hình vuông)

là trung điểm của BD.

Bài 4: Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.
a, Chứng minh rằng OM = ON.
b, Chứng minh rằng
.
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích). Tính SABCD.
Bài 6 (5 điểm)
a, (1,5 điểm)
Lập luận để có
,