Đổi Biến Để Chứng Minh Bất ĐẳngThức
VD1:(BĐT Nesbitt): Cho a,b,c là các số thực dương . CMR:


Ta đặt
nên BĐT


(đúng)
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra

VD2: (Prance Pre –MO 2005) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn:
. CMR:


Đặt
với
từ giả thiết


Và BĐT cần CM
CM BĐT

mặt khác ta có BĐT sau:

Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra

VD3: Cho x, y, z >0 thoả
. CMR

Từ giả thiết ta có thể đặt:
với a,b,c >0
Nên BĐT
CM



(đúng)
Dấu “=” xảy ra

VD4: Cho x, y, z là các số thực dương. CMR

Ta đặt
với
nên BĐT
CM BĐT

mặt khác ta có

Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra

VD5: ( IMO 2000) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 .
CMR:

Do
nên ta có thể đặt
với

Nên BĐT có thể viết lại




(đã CM ở VD4)
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra

VD6:( IMO-1995) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 .
CMR :

Ta đặt
với
và do
nên

Nên BĐT

mặt khác theo BĐT Cauchy- Schwarz ta có:



Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra

VD7: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn:
.
CMR:


Từ

Ta đặt
với


Nên BĐT cần CM
CM BĐT

Mặt khác ta có:





Nên

Vậy BĐT luôn đúng
Dấu “=” xảy ra

Sau đây là một số bài tập để luyện tập:
Bài 1: Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác:
1,

2,

Bài 2: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn
. CMR:
1,

2,

Gợi ý: từ giả thiết ta có thể đặt

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn
.
CMR:

Bài 4: Cho
thoả mãn
. CMR:

Bài 5: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác. CMR:
1,
với S là diện tich tam giác
2,

Gợi ý: Đặt


TỪ MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN

“Tìm được lời giải cho một bài toán là một phát minh” (Polya). Sẽ thông minh hơn nếu ta biết vận dụng nó để sáng tạo và tìm lời giải cho các bài toán mới. Bài viết này đề cập đến một bất đẳng thức quen thuộc, đơn giản và một số bài toán áp dụng bất đẳng thức này.
Bài toán: Với hai số dương x và y ta có:

(1)
Đẳng thức xảy ra khi x =y.
Bất đẳng thức (1) có nhiều cách chứng minh ở đây đưa ra hai cách chứng minh phổ biến nhất.
Cách 1. Với hai số dương x và y ta có:

2
(x + y)2

Rõ ràng, đẳng thức xảy ra khi x = y.
Cách 2. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có




Từ đó:
(

Và đẳng thức xảy ra khi x =y.
Cho các số dương a, b, c, áp dụng bất đẳng thức (1) ta có


Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được:
Bài toán 1. Cho ba số dương a, b, c, ta có:

(2)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
* Áp dụng (2) cho 3 số a+b, b+c, c+a ta được:

(3)
* Kết hợp (2) và (3) ta có
Bài toán 2. Với a, b, c là các số dương:


(4)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Chú ý: Nếu thêm giả thiết
thì bài toán 2 là nội dung câu V, Đề thi Đại