CHUYÊN ĐỀ
GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình.
PHÖÔNG PHAÙP:
Böôùc 1: Choïn heä truïc toaï ñoä Oxyz thích hôïp (chuù yù ñeán vò trí cuûa goác O)
Böôùc 2: Xaùc ñònh toaï ñoä caùc ñieåm coù lieân quan
(coù theå xaùc ñònh toaï ñoä taát caû caùc ñieåm hoaëc moät soá ñieåm caàn thieát)
Khi xaùc ñònh toïa ñoä caùc ñieåm ta coù theå döïa vaøo :
YÙ nghóa hình hoïc cuûa toïa ñoä ñieåm (khi caùc ñieåm naèm treân caùc truïc toïa ñoä, maët phaúng toïa ñoä).
Döïa vaøo caùc quan heä hình hoïc nhö baèng nhau, vuoâng goùc, song song ,cuøng phöông , thaúng haøng, ñieåm chia ñoïan thaúng ñeå tìm toïa ñoä
Xem ñieåm caàn tìm laø giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng, maët phaúng.
Döaï vaøo caùc quan heä veà goùc cuûa ñöôøng thaúng, maët phaúng.
Böôùc 3: Söû duïng caùc kieán thöùc veà toaï ñoä ñeå giaûi quyeát baøi toaùn
Caùc daïng toaùn thöôøng gaëp:
Ñoä daøi ñoïan thaúng
Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán maët phaúng
Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán ñöôøng thaúng
Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng
Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng
Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng
Goùc giöõa hai maët phaúng
Theå tích khoái ña dieän
Dieän tích thieát dieän
Chöùng minh caùc quan heä song song , vuoâng goùc
Baøi toaùn cöïc trò, quyõ tích
Boå sung kieán thöùc :
1) Neáu moät tam giaùc coù dieän tích S thì hình chieáu cuûa noù coù dieän tích S` baèng tích cuûa S vôùi cosin cuûa goùc
giöõa maët phaúng cuûa tam giaùc vaø maët phaúng chieáu


2) Cho khoái choùp S.ABC. Treân ba ñöôøng thaúng SA, SB, SC laáy ba ñieåm A`, B`, C` khaùc vôùi S
Ta luoân coù:


Ta thường gặp các dạng sau
1. Hình chóp tam giác
a. Dạng tam diện vuông
Ví dụ 1. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi một vuông góc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có:
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).
d[M, (OAB)] = 3
zM = 3.
Tương tự
M(1; 2; 3).
pt(ABC):


(1).

(2).



.
(2)
.




Ví dụ:
Cho töù dieän ABCD coù AD vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC) vaø tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AD = a, AC = b, AB = c.
Tính dieän tích S cuûa tam giaùc BCD theo a, b, c vaø chöùng minh raèng :

(Döï bò 2 – Ñaïi hoïc khoái D – 2003)
Giaûi
Choïn heä truïc toïa ñoä nhö hình veõ, ta coù toïa ñoä caùc ñieåm laø :A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a)


b. Dạng khác
Ví dụ 2. Tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy và
vuông tại C. Độ dài của các cạnh là SA = 4, AC = 3, BC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M.
Tính cosin góc phẳng nhị diện [H, SB, C]

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có:
A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) và H(1; 0; 0).
mp(P) qua H vuông góc với SB tại I cắt đường thẳng SC tại K, dễ thấy
[H, SB, C] =
(1).

,
suy ra:
ptts SB:
, SC:

và (P): x + 3y – 4z – 1 = 0.



= …



Chú ý: Nếu C và H đối xứng qua AB thì C thuộc (P), khi đó ta không cần phải tìm K.


Ví dụ 3 (trích đề thi Đại học khối A – 2002). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a. Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Tính theo a diện tích
AMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC).
Hướng dẫn giải

Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC), ta suy ra O là trọng tâm
. Gọi I là trung điểm của BC, ta có:




Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA. Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta được:
O(0; 0; 0), S(0; 0; h),


,
,

,

và
.




,


.
2. Hình chóp tứ giác
a) Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và đáy là hình vuông (hoặc hình chữ nhật). Ta chọn hệ trục tọa độ như dạng tam diện vuông.
b) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vuông góc với đáy. Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt là Ox, Oy, Oz. Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h).

c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD và AB = b.
đều cạnh a và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm AD, trong (ABCD) ta vẽ tia Hy vuông góc với AD. Chọn hệ trục tọa độ Hxyz ta có:
H(0; 0; 0),



3. Hình lăng trụ đứng
Tùy theo hình dạng của đáy ta chọn hệ trục như các dạng trên.
Ví dụ: Cho h×nh lËp phư¬ng ABCD A`B`C`D`. CMR AC` vu«ng gãc mp’ (A`BD)





Lêi gi¶i: Chän hÖ trôc täa ®é Oxyz
sao cho O ( A; B ( Ox; D ( Oy
vµ A` ( Oz Gi¶ sö h×nh lËp ph¬ng
ABCD A`B`C`D` cã c¹nh lµ a ®¬n vÞ
( A(0;0;0), B (a;0;0), D(0;a;0), A` (0;0;a) C`(1;1;1)( Phư¬ng tr×nh ®o¹n ch¾n cña mÆt ph¼ng (A`BD):
x + y + z = a hay x + y + z –a = 0
( Ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng (A`BC): n (A`BC) = (1;1;1) mµ AC` = (1;1;1)
VËy AC` vu«ng gãc (A`BC)
2. Tø diÖn ABCD: AB, AC, AD ®«i mét vu«ng gãc víi nhau; AB = 3; AC = AD= 4
TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A tíi mÆt ph¼ng (BCD)




Lêi gi¶i:
+ Chän hÖ trôc Oxyz sao cho A ( O
D (Ox; C ( Oy vµ B ( Oz
( A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0)
( Phư¬ng tr×nh ®o¹n ch¾n cña (BCD) lµ:

( 3x + 3y + 4z – 12 = 0
Kho¶ng c¸ch tõ A tíi mÆt ph¼ng (BCD) lµ:
Nhấn mạnh cho học sinh:
II. Ph­¬ng ph¸p gi¶i:
§Ó gi¶i mét bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian b»ng ph­¬ng ph¸p sö dông täa ®é §Ò c¸c trong kh«ng gian ta lµm nh­ sau:
* B­íc 1: ThiÕt lËp hÖ täa ®é thÝch hîp, tõ ®ã suy ra täa ®é c¸c ®iÓm cÇn thiÕt.
* B­íc 2: ChuyÓn h¼n bµi to¸n sang h×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian. B»ng c¸ch:
+ ThiÕt lËp biÓu thøc cho gi¸ trÞ cÇn x¸c ®Þnh.
+ ThiÕt lËp biÓu thøc cho ®iÒu kiÖn ®Ó suy ra kÕt qu¶ cÇn
chøng minh.
+ ThiÕt lËp biÓu thøc cho ®èi t­îng cÇn t×m cùc trÞ.
+ ThiÕt lËp biÓu thøc cho ®èi t­îng cÇn t×m quü tÝch
v.v…
III. LuyÖn tËp.
Bµi 1: Cho h×nh chãp SABC, c¸c c¹nh ®Òu cã ®é dµi b»ng 1, O lµ t©m cña (ABC. I lµ trung ®iÓm cña SO.

MÆt ph¼ng (BIC) c¾t SA t¹i M. T×m tØ lÖ thÓ tÝch cña tø diÖn SBCM vµ tø diÖn SABC.
2. H lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ I xuèng c¹nh SB. CMR: IH ®i qua träng t©m G cña (SAC.

Lêi gi¶i:
Chän hÖ trôc Oxyz sao cho O lµ gèc täa ®é
A(Ox, S (Oz, BC//Oy
Täa ®é c¸c ®iÓm:
;
;
;
;


Ta có:
;
;

( Phư¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (IBC) lµ:


Hay:
mà ta lại có:

Phư¬ng tr×nh ®ưêng th¼ng SA:

.
+ Täa ®é ®iÓm M lµ nghiÖm cña hÖ:
Thay (1) (2) (3) vµo (4) cã:

;

( M n»m trªn ®o¹n SA vµ

.
2. Do G lµ träng t©m cña (ASC
( SG ®i qua trung ®iÓm N cña AC
( GI ( (SNB) ( GI vµ SB ®ång ph¼ng (1)
Ta l¹i cã täa ®é G





Tõ (1) vµ (2)





Bµi 2: Cho h×nh l¨ng trô ABCD A1B1C1 cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a. AA1 = 2a vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC). Gäi D lµ trung ®iÓm cña BB1; M di ®éng trªn c¹nh AA1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña diÖn tÝch (MC1D.
Lêi gi¶i:
+ Chän hÖ trôc täa ®é Oxyz sao cho A ( O; B ( Oy; A1 ( Oz. Khi ®ã.A(0;0;0), B(0;a;0); A1 (0;0;2a)

vµ D(0;a;a)
Do M di ®éng trªn AA1, täa ®é M (0;0;t)víi t ( [0;2a]
Ta cã :

Ta có:




















Gi¸ trÞ lín nhÊt hay nhá nhÊt cña
tïy thuéc vµo gi¸ trÞ hµm sè
XÐt f(t) = 4t2 – 12at + 15a2
f(t) = 4t2 – 12at + 15a2 (t ([0;2a])
f`(t) = 8t – 12a


Lập BBT gi¸ trÞ lín nhÊt cña
khi t =0 hay M( A
Chú ý
+ Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau, nhưng không nhất thiết phải bằng đáy. Chân đường cao là trọng tâm của đáy.
+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng đáy.
+ Hình hộp có đáy là hình bình hành nhưng không nhất thiết phải là hình chữ nhật.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

1. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TAM GIÁC

Bài 1 (trích đề thi Đại học khối D – 2002). Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD).
Bài 2. Cho
vuông tại A có đường cao AD và AB = 2, AC = 4. Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA = 6. Gọi E, F là trung điểm của SB, SC và H là hình chiếu của A trên EF.
1. Chứng minh H là trung điểm của SD.
2. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACE).
3. Tính thể tích hình chóp A.BCFE.
Bài 3. Cho hình chóp O.ABC có các cạnh OA = OB = OC = 3cm và vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi H là hình chiếu của điểm O lên (ABC) và các điểm A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của H lên (OBC), (OCA), (OAB).
1. Tính thể tích tứ diện HA’B’C’.
2. Gọi S là điểm đối xứng của H qua O. Chứng tỏ S.ABC là tứ diện đều.
Bài 4. Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi
lần lượt là góc nhị diện cạnh AB, BC, CA. Gọi H là hình chiếu của đỉnh O trên (ABC).
1. Chứng minh H là trực tâm của
.
2. Chứng minh

3. Chứng minh

4. Chứng minh

Bài 5. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB.
1. Tính góc
giữa (OMN) và (OAB).
2. Tìm điều kiện a, b, c để hình chiếu của O trên (ABC) là trọng tâm
.
3. Chứng minh rằng góc phẳng nhị diện [N, OM, P] vuông khi và chỉ khi

Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có
vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy. Biết AB = 2,
.
1. Tính độ dài SA.
2. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC).
3. Tính góc phẳng nhị diện [A, SB, C].
Bài 7. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng đôi một.
1. Tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp.
2. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 8 (trích đề thi Đại học khối D – 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, giao tuyến là đường thẳng (d). Trên (d) lấy hai điểm A và B với AB = a. Trong (P) lấy điểm C, trong (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với (d) và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC.
1. Tính diện tích
theo a.
2. Tính khoảng cách giữa MB và AC theo a.
3. Tính góc phẳng nhị diện [A, SC, B].
Bài 10. Cho tứ diện S.ABC có
v