/
















CHUYÊN ĐỀ CHIA HẾT

LÝ THUYẾT.
Định nghĩa:
Tính chất:

- Nếu a chia hết cho cả m và n, trong đó m, n là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m.n
- Nếu tích a.b chia hết cho c, trong đó (b; c) = 1 thì a chia hết cho c
- Với p là số nguyên tố. Nếu a.b chia hết cho p thì hoặc a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p
- Khi chia n + 1 số nguyên dương liên tiếp cho n
luôn nhận được hai số dư bằng nhau
- Trong n
số nguyên liên tiếp, luôn có duy nhất 1 số chia hết cho n
- Nếu
thì tồn tại hai số nguyên x, y sao cho:

- Ta có:

- Ta có:
với n là số tự nhiên lẻ

LUYỆN TẬP

Dạng 1: SỬ DỤNG TÍCH CÁC SỐ LIÊN TIẾP
Phương pháp :

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương
ta đều có:
.
HD:
Ta có:
, như vậy ta cần chứng minh
.
Do
là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 3
Bài 2: Chứng minh rằng :

HD :
Ta có:

Vì
là ba số nguyên liên tiếp
và

Bài 3: Chứng minh rằng:

HD:
Ta có:

Bài 4: Chứng minh rằng:
lẻ
HD:
Vì m là số lẻ, Đặt

Khi đó ta có :

Thay
vào A ta được :

Vì
là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên
6 Vậy

Bài 5: Chứng minh rằng:
chẵn
HD:
Vì n chẵn, Đặt
, Khi đó ta có:

, Thay
vào A ta được:

, Vì
là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp
Nên chia hết cho cả 3 và 8
Bài 6: Chứng minh rằng:

HD:
Ta có:

Bài 7: Cho n là số nguyên, Chứng minh

HD:
Ta cần chứng minh
và
, ta có :





, Vì A là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp =>

Ngoài ra trong 4 số nguyên liên tiếp sẽ có hai số chẵn liên tiếp, một số
2 và 1 số
4
Vậy A
8
Bài 8: Chứng minh rằng:

HD:
Ta có:

là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên

Và A cũng là tích của 4 số nguyên liên tiếp, nên có 2 số chẵn, một số chia hết cho 2 và 1 số chia
hết cho 4, Nên

Bài 2: CMR:
chia hết cho 24 với mọi n

HD :
Ta có:

là tích 4 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4 nên chia hết cho 8 và chia hết cho 3
Bài 9: Chứng minh rằng:
là một số nguyên với mọi a nguyên
HD:
Ta có:
. Vì
là tích của 3 số nguyên liên tiếp =>
6
Bài 10: Chứng minh rằng:

HD:
Ta có:
, là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho cả 2
và 3
Mặt khác:


Thấy
là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên

Bài 11: Chứng minh rằng:
chẵn
HD:
Vì n là số chẵn, Đặt
Khi đó ta có :

Vì
là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3
Bài 12: Chứng minh rằng:
lẻ
HD:
Vì n lẻ, Đặt
, Khi đó ta có:
,
Thay
vào ta được:
, Vì



Bài 13: Chứng minh rằng:
lẻ
HD:
Vì n lẻ, Đặt:
, Khi đó:
,
Thay
vào ta được:

Bài 14: Chứng minh rằng:
lẻ.
HD:
Ta có:
, Vì n là số lẻ, Đặt

Bài 15: Chứng minh rằng: tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9
HD:
Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lượt là:

Gọi

Thấy:
Vậy

Bài 16: Cho a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng :
khi và chỉ khi

HD :