Phương pháp hàm số

Phương trình và hệ phương trình bất phương trình
Bài 1 (KD_2006)
CMR với mọi a>0 Hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất


HD
ĐK x,y>-1
Từ (2) thay và (1) chỉ ra f’(x)>0 khi a>0 và x>-1
F(x) đồng biến và liên tục (-1;+∞)


Kết luận phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 2 (KD_2004)
CMR phương trình sau có đúng một nghiệm


Bài 3 (Đề DB _2004)
CMR phương trình sau có đúng một nghiệm duy nhất


Bài 4 (Đề DB _2004)
Cho hàm số
Tìm GTNN của hàm số và CMR phương trình f(x)=3 có đúng 2 nghiệm
Bài 5 Giải phương trình

HD: Đặt cosx=y , -1≤y≤1 theo bài ra ta có phương trình
hay f(y)=0 với
Tính f’(y)=0 là phương trình bậc 2 theo 4y có không quá 2 nghiệm . Vởy theo định lý Rolle thì phương trình f(y)=0 có không quá 3 nghiệm mặt khác ta có y=0; y=1/2; y=1 là 3 nghiệm của phương trình f(y)=0 : suy ra phương trình đã cho có nghiệm là . . . .
Bài 6 (Đề DHQG _2000) Cho

Tìm m để

HD: x=1 bất phương trình thoả mãn không phụ thuộc vào m chỉ cần tìm m sao cho bất phương trình thoả mãn với mọi x thuộc [0;1)
Chú ý
là hàm số đồng biến và h(1)=0 thì h(x)<0 với mọi x thuộc miền đang xét . Do đó chỉ ccần tìm m sao cho f(x)≤ 0 với mọi x
Đặt t=6x sử dụng BBT trên [1;6] dáp số m≤1/2
Bài 7 Cho phương trình

Giải phương trình khi m=2
Tìm m để phương trình có nghiệm
HD

Bài 8 Cho phương trình

Giải phương trình khi m=1
Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc

HD Đặt t=tgx
Đưa phương trình về dạng

Chỉ ra f’(t)<0 với t thuộc miền trên ĐS

Bài 9 Cho phương trình


Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
HD:



Lập BBT:
KL:
m<-1/2 vô nghiệm

có 1 nghiệm duy nhất

có 2 nghiệm

Chứng minh bất dẳng thức

Bài 1 Chứng minh rằng
trong đó n là số nghuyên lớn hơn 1 và

HD: Xét hàm số

Lấy đạo hàm
Dễ thấy y=cost nghịch biến trên [0;() và cost=0 khi t=0 từ đó
Suy ra hàm số f(x) tăng thực sự trên
nên f(x)>0
Bài toán cực trị
Bài 1 (Đề DB _2004)
Gọi (x;y) là nghiệm của hệ phương trình

Tìm GTLN của biểu thức
khi m thay đổi
Bài 2 (KB_2006)
Cho x,y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau


HD
Xét M(1-x;y) và N(1+x;y) ta có OM+ON≥MN
Suy ra
xày ra khi x=0

Lập Bảng biến thiên khi y>2 và y<2
Qua BBT suy ra

Bài 3 (Đề DB _2004)
Cho hàm số
Tìm GTNN của hàm số và CMR phương trình f(x)=3 có đúng 2 nghiệm
Bài 4: Tìm GTNN của hàm số

HD
ĐS ẳ
Bài 5 Tìm GTNN, GTLN của hàm số

HD
với t thuộc [-1;1]

Tìm GTLN,GTNN của f(t) theo tham số a
Vì f’(t) có nghiệm t=a/3 so sánh với (1 ĐS



Dùng đạo hàm để tính giới hạn của hàm số
Chú ý
Nêu định nghĩa của đạo hàm
Bài 1 Tính giới hạn
(ĐHTCKT 2001)
HD :



Suy ra

Bài 2 Tính giới hạn
(ĐHQGHN 2000)
HD :


vì


Suy ra

Bài 3 Tính giới hạn
(ĐH GTVT 1998)
HD :



Suy ra

Bài 4 Tính giới hạn
(ĐH Hàng Hải 1999)
HD :

Suy ra

Bài 5 Tính giới hạn

(ĐH Hàng Hải 1999)
HD :


Suy ra

Bài 6 Tính giới hạn

(ĐH Hàng Hải 1999)
HD :



Bài 7 Tính các giới hạn sau







(ĐHSP2 2000)



(ĐH Thuỷ Lợi)