Các bài toán tổng hợp hình học không gian

1)[ĐH_B04]
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
(0o <
< 90o). Tính tg của các góc giữa hai mp(SAB) và (ABCD) theo
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo
.
2)[ĐH_A03]
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính số đo của góc phẳng nhị diện [B, A’C, D]
3)[ĐH_B03]
Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc
BAD = 60o. Gọi M là trung điểm AA’, N là trung điểm CC’. CMR bốn điểm B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông.
4)[ĐH_D03]
Cho hai mp(P) và (Q) vuông góc với nhau có giao tuyến là đường thẳng
. Trên
lấy hai điểm A, B với AB = a. Trong mp(P) lấy điểm C, trong mp(Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với
và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) theo a.
5)[ĐH_A02]
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mp(AMN) vuông góc với mp(SBC).
6)[ĐH_D02]
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp(ABD); AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A tới mp(BCD).
7)[CĐSP Quảng Ninh_B05]
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy a, chiều cao SO =
. Mp(
) qua A vuông gócvới SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. tính thể tích hình chóp S.ABCD và diện tích tứ giác AB’C’D’.
8)[CĐSP_A04]
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA = SB = SD = a. Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp.
9)[CĐSP Bình Phước_04]
Cho tứ diện ABCD với các mặt (ABC), (ACD), (ADB) là tam giac vuông tại A. Gọi h là đường cao xuất phát từ A của tứ diện ABCD. CMR

.
10)[CĐSP Hà Nam_A04]
Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a; AC = BD = b; AD = BC = c.
Tìm tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện.
CMR bốn mặt của tứ diện là các tam giác có ba góc nhọn
11)[CĐGT_04]
Hình vuông ABCD có cạnh bằng một đơn vị độ dài. Hai điểm M, N lần lượt di động trên cạnh AD và CD sao cho AM = x, CN = y và góc
MBN = 45o. Tìm x, y đẻ diện tích tam giác MBN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
12)[CĐ Y Tế Nghệ An_04]
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có cạnh BC = a. Trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) tại A, lấy điểm S sao cho góc giữa hai mp(SBC) và (ABC) bằng 60o. Hãy tính độ dài đoạn thẳng SA theo a.
13)[ĐH Tham Khảo 1_A03]
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân với AB = AC = a, góc
BAC = 120o, cạnh bên BB’ = a. Gọi I là trung điểm của CC’. CMR tam giác AB’I vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mp(ABC) và (AB’I).
14)[ĐH Tham khảo 2_A03]
Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b. Hai mp(BCD) và (ABC) vuông góc với nhau và góc
BDC = 90o. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b.
15)[ĐH Tham Khảo 1_B03]
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tìm điểm M thuộc cạnh AA’ sao cho mp(BD’M) cắt hình lập phương theo một thiết diện có diện tích nhỏ nhất.
16)[ĐH Tham Khảo 2_B03]
Cho hình chóp đều S.ABC , đáy ABC cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc
(0o <
< 90o). Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC).
17)[ĐH Tham Khảo 1_D03]
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. CMR tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a.
18)[ĐH Tham Khảo 2_D03]
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mp(ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c. Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và CMR


19)[ĐH Tham Khảo 1_02]
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên vuông góc với mp đáy (ABC). Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(SBC) theo a biết rằng SA =
.
20)[ĐH Tham Khảo 3_02]
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mp(ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ S đến đường thẳng BE.
21)[ĐH Tham Khảo 4_02]
Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a. Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABC) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mp(ABC) và (SBC) bằng 60o. Tính độ dài đoạn thẳng SA theo a.
22)[ĐH Tham Khảo 5_02]
Tính thể tích khối tứ diện ABCD< biết AB = a, AC = b, AD = c và các góc BAC, CAD, DAB đều bằng 60o.
23)[ĐH Tham Khảo 6_02]
Cho hình tứ diện đều ABCD, cạnh a =
cm. Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC.
24)[CĐ_A02]
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều.
Tìm tâmvà bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Qua A dựng mp(
) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mp(
) và hình chóp .
25)[CĐSP Lai Châu_B05]
Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và AOB = AOC = 60o; BOC = 90o.
Tính độ dài các cạnh còn lại của tứ diện và CMR tam giác ABC vuông.
CM OA
CB.
26)[CĐ Kinh Tế Kĩ Thuật Công Nghệp I_A04]
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA vuông góc với đáy,
SA = a. Kẻ AH
SB, AK
SD.
CMR SC vuông góc với mp(AHK).
Hãy xác định thiết diện của hình chóp với mp(AHK). Tính diện tích của thiết diện đó.
27)[ CĐ Khí Tượng Thuỷ Văn_A03]
Cho tứ giác ABCD có độ dài cạnh AB = x (x > 0), tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng 1. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai cạnh AB và CD. Tìm điều kiên đối với x để bài toán có nghĩa.
28)[CĐSP Nha Trang_02]
Cho các tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc, lần lượt lấy các điểm khác O là M, N và S với OM = m, ON = n, OS = a. Cho a không đổi, m và n thay đổi sao cho m + n = a.
Tính thể tích của hình chóp S.OMN. Xác định vị trí của M và N để thể tích trên đạt giá trị lớn nhất.
CM các góc OSM = MSN = NSO = 90o.
29)[ĐHVH HN_98]
` Cho tứ diện ABCD có cạnh CD = 2a, các cạnh còn lại đều bằng a

CMR các góc
CAD và
CBD bằng 1 vuông
Tính diện tích toàn phần của tứ diện ABCD
CMR hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) vuông góc với nhau
30)[ĐHQG HN_B97]
Cho tam giác ABC, AB = AC. Một điểm M thay đổi trên đường thẳng vuông góc với mp (ABC) tại A (M không trùng với điểm A).
a. Tìm quỹ tích trọng tâm G và trực tâm H của tam giác MBC
` b. Gọi O là trực tâm tam giác ABC, hãy xác định vị trí của M để thể tích tứ diện OHBC đạt giá trị lớn nhất.
31)[HVQHQT_A98]
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với cạnh bằng a
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BD’.
CMR đường chéo BD’ vuông góc với mp(DA’C’).
32)[ĐH Cần Thơ_99]
Trong mp(
) cho đường tròn (T) đường kính AB = 2R. Gọi C là một điểm di động trên (T). Trên đường thẳng d qua A và vuông góc với mp(
) lấy điểm S sao cho SA = R. Hạ AH
SB, AK
SC
Chứng minh AK
(SBC), SB
(AHK)
Tìm quỹ tích điểm K khi C thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHK
33)[ĐHSP Quy Nhơn_97]
Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = AD = DB = a
và CD = 2a.
CMR AB
CD. Hãy xác định đường vuông góc chung của AB và CD.
Tính thể tích tứ diện ABCD.
Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên mp(ABC). CM H là trực tâm tam giác
ABC.
34)[HVCTQG TPHCM_99]
Cho tứ diện SABC có các cạnh bên SA = SB = SC = d và
ASB = 120o,
BSC = 60o,
ASC = 90o .
CM tam giác ABC vuông.
Tính thể tích tứ diện SABC.
Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện SABC.
35)[ĐHKT_97]
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh bằng
. Điểm M, N là trung điểm các cạnh AC, AB. Tính thể tích hình chóp SAMN và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp đó.
36)[ĐHAN_99]
Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, các cạnh còn lại đều bằng 1.
Tính thể tích hình chóp theo x, y.
Với giá trị nào của x, y thì hình chóp có thể tích lớn nhất.
37)[ĐH Đà Nẵng_D97]
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.
Tính thể tích hình chóp S.ABCD.
Tính khoảng cách từ tâm mặt dáy ABCD đến các mặt bên của hình chóp.
38)[ĐHQG TPHCM Đợt 1_D99]
Cho tam giác ABC có AB = AC = a và góc
BAC = 2
. Trên đường thẳng d qua A và vuông góc với mp(ABC) lấy điểm S sao cho SA = 2a. Gọi I là trung điểm của BC. Hạ AH
SI.
Chứng minh AH
(SBC). Tính dộ dài AH theo a,
.
b. Gọi K là một điểm thay đổi trên đoạn AI, đặt AK/AI = x. Mặt phẳng (R) qua K và vuông góc với AI cắt các cạnh AB, AC, SC, SB lần lượt tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? Tính diện tích tứ giác này.
39*)[ĐHSP Vinh_97]
Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mp(ABC), lấy một điểm S khác A.
CMR tứ diện SABC chỉ có một cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.
Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC. Tính bán kính mặt cầu này trong
trường hợp mp(SBC) tạo với mp(ABC) một góc 30o.
Tìm quỹ tích tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC khi S chạy trên d (S
A).
d. Lấy S’ đối xứng với S qua A, gọi M là trung điểm của SC. Xác định thiết diện tạo
bởi mp đi qua S’, M và song song với BC cắt tứ diện S