BÀI GIẢNG CƠ HỌC
CHƯƠNG II
ĐỘNG HỌC VẬT RẮN

§ 1. Các đặc trưng động học của vật rắn.

1. Xác định vị trí vật rắn.

1.1.

Hình 2.1


(1.1a)

(1.1b)

(1.1.c)

1.2. Ma trận cosin chỉ phương
1.2.1. Chín thành phần nói trên của các vectơ đơn vị lập thành một ma trận vuông cấp ba:


(1.2)
Hay là


(1.3)
trong đó
là tích vô hướng của các vectơ
và
.
Ký hiệu ma trận cột của vectơ:
e1 =
, e2 =
, e3 =

thì ma trận
cũng còn viết dưới dạng

[e1 e2 e3]

1.2.2. Các hệ thức của các cô sin chỉ phương.

(1.4.a)

(1.4.b)

(1.4.c)

(1.4.d)

(1.4.e)

(1.4.f)

1.2.3.Tính chất của Ma trận cô sin chỉ phương

Tính chất 1. Định thức của A bằng đơn vị:

(1.5)
Chứng minh.Tích hỗn hợp của ba vectơ
và
:
,
do đó,

.
Do
, nên ta suy ra tính đúng đắn của công thức (1.5).

Tính chất 2. Ma trận cô sin chỉ phương là ma trận trực giao.
Chứng minh. Theo định nghĩa, ma trận trực giao là ma trận


do đó bằng cách áp dụng các công thức (1.4) kiểm tra trực tiếp tích
và
ta có ngay
, trong đó I là ma trận đơn vị.

Tính chất 3. Ma trận cô sin chỉ phương có ít nhất một giá trị riêng bằng đơn vị.
Chứng minh.
Dễ dàng thấy rằng, tất cả các giá trị riêng có mô đun bằng đơn vị. Thật vậy, theo định nghĩa:

Ae =
e
do đó,
(Ae).(Ae) = (Ae)T(Ae) = eTATAe = eT e = e 2 .
Mặt khác
(Ae).(Ae) = (
e) (
e) =
(e.e) =
e 2
nên
, hay là
.
Ta còn phải chứng minh có ít nhất một giá trị riêng bằng 1. Theo tính chất của giá trị riêng của các ma trận thực thì


phải có ít nhất một giá trị riêng thực, nên giá trị riêng này, chẳng hạn
, phải bằng hoặc là
hoặc là
. Nếu
thì định lý được chứng minh, còn nếu
thì
.
Từ đây ta lại thấy các giá trị riêng
không thể nhận giá trị phức vì nếu thế chúng phải là các số phức liên hợp và tích của chúng sẽ dương. Do vậy, ta suy ra một trong hai giá trị riêng
phải bằng 1. Tính chất 3 được chứng minh.

Ví dụ về các ma trận cô sin chỉ phương
Xét hai hệ toạ độ
và R. Nếu hai hệ có hai trục nào đó trùng nhau (chẳng hạn
trùng với
) các trục kia sẽ lệch nhau tương ứng một góc
(
),
). Ta nói hệ R đã thực hiện một phép quay cơ bản trong hệ
đi góc
.
a) Phép quay cơ bản quanh trục
một góc
. Trong trường hợp này ma trận cô sin chỉ phương có dạng

.
b) Phép quay cơ bản quanh trục
một góc
. Trong trường hợp này ma trận cô sin chỉ phương có dạng











Hình 2.2 Các phép quay cơ bản


.
c) Phép quay cơ bản quanh trục
một góc
. Trong trường hợp này ma trận cô sin chỉ phương có dạng

.

2. Vận tốc góc của vật rắn.

2.1 Các hệ thức đạo hàm vectơ đơn vị:

,
,
, (1.6.a)

,