Violet
Dethi

Tin tức thư viện

Khắc phục hiện tượng không xuất hiện menu Bộ công cụ Violet trên PowerPoint và Word

12099162 Kính chào các thầy, cô. Khi cài đặt phần mềm , trên PowerPoint và Word sẽ mặc định xuất hiện menu Bộ công cụ Violet để thầy, cô có thể sử dụng các tính năng đặc biệt của phần mềm ngay trên PowerPoint và Word. Tuy nhiên sau khi cài đặt phần mềm , với nhiều máy tính sẽ...
Xem tiếp

Quảng cáo

Hỗ trợ kĩ thuật

Liên hệ quảng cáo

  • (024) 66 745 632
  • 096 181 2005
  • contact@bachkim.vn

Tìm kiếm Đề thi, Kiểm tra

Đại số 9 - Chương 4 - Chủ đề 2 - Phương trình bậc 2 một ẩn - Hệ thức Vi et - Tự luận có lời giải 2022

Wait
  • Begin_button
  • Prev_button
  • Play_button
  • Stop_button
  • Next_button
  • End_button
  • 0 / 0
  • Loading_status
Nhấn vào đây để tải về
Báo tài liệu có sai sót
Nhắn tin cho tác giả
(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn:
Người gửi: Trần minh nhàn
Ngày gửi: 22h:17' 25-08-2022
Dung lượng: 4.3 MB
Số lượt tải: 69
Số lượt thích: 0 người
CHỦ ĐỀ 2
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
HỆ THỨC VI - ET

1. Định nghĩa
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng , trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và .
2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Đối với phương trình bậc hai và biệt thức :
 Nếu  > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt .
 Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép .
 Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Chú ý:
 Nếu phương trình có a và c trái dấu thì  > 0. Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
 Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm:
+ Nếu nhẩm được: thì phương trình có nghiệm .
+ Nếu thì phương trình có nghiệm .
+ Nếu thì phương trình có nghiệm .
3. Công thức nghiệm thu gọn
Đối với phương trình bậc hai và , :
 Nếu  > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt .
Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép .
 Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm.
4. Hệ thức Viet
 Định lí Viet: Nếu là các nghiệm của phương trình thì:
 Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình:
(Điều kiện để có hai số đó là: ).
5. Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai
Cho phương trình bậc hai:
 có nghiệm .
 có hai nghiệm phân biệt .
 có hai nghiệm trái dấu 
 có hai nghiệm cùng dấu 
 có hai nghiệm dương phân biệt 
 có hai nghiệm âm phân biệt 
Chú ý: Khi so sánh của phương trình bậc 2 với giá trị ta cần chú ý đến các điều kiện ràng buộc sau:
 Nếu: .
 Nếu
 Nếu













DẠNG 1
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Bài 1. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TIỀN GIANG năm 2021)
Giải phương trình sau:
Lời giải
Cách 1: Dùng công thức nghiệm bậc 2

Ta có: ; ; và nên phương trình có hai nghiệm phân biệt và .
Vậy phương trình có tập ngiệm là .
Cách 2: đưa về phương trình tích





Vậy phương trình có tập ngiệm là .
Bài 2. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BÌNH THUẬN năm 2021)
Giải phương trình sau:
Lời giải
Cách 1:


Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

Vậy phương trình có tập ngiệm là .
Cách 2:


Nên phương trình đã cho có hai nghiệm
Vậy phương trình có tập ngiệm là .
Bài 3. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Phú Yên năm 2021)
Giải các phương trình sau:
Lời giải
Giải phương trình: (; ; )
Ta có: nên phương trình luôn có hai nghiệm và
Vậy phương trình có tập nghiệm
Bài 4. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh VĨNH LONG năm 2021)
Giải các phương trình sau: a) b)
Lời giải:
a) Ta có:

Vậy tập nghiệm của phương trình là:
b) Ta có:
Vậy tập nghiệm của phương trình là:
Bài 5. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TRÀ VINH năm 2021)
Giải phương trình: .
Lời giải
Giải phương trình: .
Xét phương trình:
, phương trình có hai nghiệm phân biệt
.
Vậy phương trình có tập ngiệm là .
Bài 6. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HẬU GIANG năm 2021)
Giải phương trình .
Lời giải
.
Ta có nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

Vậy phương trình có tập ngiệm là .
Bài 7. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐỒNG NAI năm 2021)
Giải phương trình
Lời giải
Giải phương trình

phương trình có hai nghiệm phân biệt
;
Vậy phương trình có tập ngiệm là .
Bài 8. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BẾN TRE năm 2021)
Giải phương trình
Lời giải

Ta có nên phương trình có nghiệm phân biệt
Vậy phương trình có tập ngiệm là .
Bài 9. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh LAI CHÂU năm 2021)
Giải phương trình:
Lời giải

Ta có :
Vậy phương trình có tập ngiệm là .
Bài 10. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TUYÊN QUANG năm 2021)
Giải phương trình
Lời giải

Ta có:
Suy ra phương trinh có 2 nghiệm phân biệt:;
Vậy phương trình có nghiệm là: ; .
Bài 11. Giải phương trình
Lời giải
Ta có:
.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: ,
Vậy phương trình có tập ngiệm là .

Bài 12. Giải phương trình
Lời giải
.
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
Vậy phương trình có tập ngiệm là .
Các bạn muốn tải đầy đủ các chuyên đề toán 9 file word (hơn 1000 trang) thì liên hệ https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 13. Giải các phương trình sau:
a) b) c)
d) e) f)
Bài 14. Giải các phương trình sau:
a) b)
c) d)
Bài 15. Giải các hệ phương trình sau:
a) b) c)

Các bạn muốn tải đầy đủ các chuyên đề toán 9 file word (hơn 1000 trang) thì liên hệ https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
DẠNG 2
TÌM GIÁ TRỊ BIỂU THỨC KHÔNG CHỨA THAM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN VI-ET

 Định lí Viet: Nếu là các nghiệm của phương trình thì:
 Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình:
(Điều kiện để có hai số đó là: ).
 Phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử:
Nếu phương trình có hai nghiệm thì .
 Một số biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm thường gặp:
;
;
;


Bài 1. Không giải phương trình, cho biết dấu các nghiệm của các phương trình sau:
a) b) c)
Lời giải
a)
Ta có:
Vì nên hai nghiệm cùng dấu và nên hai nghiệm cùng dấu dương.
b)
Ta có: nên hai nghiệm trái dấu.
c)
Ta có:
Vì nên hai nghiệm cùng dấu và nên hai nghiệm cùng dấu âm.
Bài 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) b)
c) d) .
Lời giải
a)
Phương trình có hai nghiệm hoặc
Suy ra .
b)
Phương trình hoặc .
Suy ra .
c)
Ta coi phương trình là phương trình bậc hai ẩn .
Ta có .
Suy ra phương trình có nghiệm là hoặc .
Do đó
d) .
Ta có
Ta coi đây là phương trình bậc hai ẩn và có:

Suy ra phương trình có nghiệm là hoặc .
Do đó
Bài 3. Phân tích đa thức thành tích của hai tam thức bậc hai ẩn .
Lời giải
Ta có
Ta coi đây là phương trình bậc hai ẩn và có:

Suy ra hoặc .
Do đó .
Bài 4. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐỒNG THÁP năm 2021)
Biết rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt . Tính giá trị của biểu thức .
Lời giải
Phương trình có nên phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu .
Khi đó áp dụng định li Vi-ét ta có: .
Ta có: .
Vậy .
Bài 5. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐỒNG NAI năm 2021)
Cho phương trình . Gọi là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức .
Lời giải
Vì nên và trái dấu suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Vi-ét có

Bài 6. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh NGHỆ AN năm 2021)
Cho phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức
Lời giải

Xét nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
Ta có:

Nhận xét và với mọi suy ra

Vây .
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 7. Không giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm các phương trình sau:
a) b) c)
d) e) f)
Bài 8. Không giải phương trình, cho biết dấu các nghiệm của các phương trình sau:
a) b) c)
Bài 9. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) b)
c) d) .
Bài 10. Lập các phương trình bậc hai có các nghiệm là các cặp số sau:
a) 10 và 8 b) 10 và –8 c) 3 và
Bài 11. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình: . Không giải phương trình, hãy tính:
a) b) c)
d) e)
Bài 12. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình: . Không giải phương trình, hãy tính:
a) b) c)
d) e)
Bài 13. Cho phương trình . Gọi các nghiệm của phương trình là . Không tính giá trị của , hãy tính các giá trị của biểu thức sau:

Bài 14. Giả sử là các nghiệm của phương trình: . Tính giá trị của các biểu thức sau theo m.
a) b) c)
Bài 15. Giả sử là các nghiệm của phương trình: . Tính giá trị của các biểu thức sau theo m.
a) b) c) d)


























DẠNG 3
TÌM THAM SỐ THEO SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1. Hệ thức Viet
 Định lí Viet: Nếu là các nghiệm của phương trình thì:
 Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình:
(Điều kiện để có hai số đó là: ).
2. Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai
Cho phương trình bậc hai:
 có nghiệm .
 có hai nghiệm phân biệt .
 có hai nghiệm trái dấu 
 có hai nghiệm cùng dấu 
 có hai nghiệm dương phân biệt 
 có hai nghiệm âm phân biệt 
Chú ý: Khi so sánh của phương trình bậc 2 với giá trị ta cần chú ý đến các điều kiện ràng buộc sau:
 Nếu: .
 Nếu
 Nếu




Bài 1. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Bình Định năm 2021)
Cho phương trình: (m là tham số). Hãy tìm giá trị của để là nghiệm của phương trình và xác định nghiệm còn lại của phương trình (nếu có).
Lời giải
Khi phương trình trở thành
hoặc .
Vậy nghiệm còn lại là
Vì là một nghiệm của phương trình nên:



Bài 2. Cho phương trình có nghiệm . Tìm các giá trị của và tìm nghiệm còn lại của phương trình.
Lời giải
Vì là nghiệm của phương trình nên ta có:
hoặc .
Với ta có phương trình: . Phương trình đã cho có 1 nghiệm , nghiệm còn lại là (vì tích hai nghiệm bằng )
Với , ta có phương trình , phương trình đã cho có một nghiệm , nghiệm còn lại là (vì tích hai nghiệm bằng 22)
Bài 3. Cho phương trình . Tìm các giá trị của để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại.
Lời giải
Cách 1: Phương trình có hai nghiệm phân biệt
.
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của .
Gọi hai nghiệm của phương trình là .
Theo hệ thức Viet ta có: .
Có thể giả sử (3).
Khi đó từ (1) và (3) có .
Thay vào (2) ta có phương trình
Giải phương trình ta được hoặc (thỏa mãn điều kiện).
Cách 2: Từ yêu cầu đề bài suy ra hoặc ,
tức là:
áp dụng hệ thức Viet ta được phương trình .
Bài 4. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh CÀ MAU năm 2021)
Cho phương trình (m là tham số)
a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt.
Lời giải
a) (1)

Phương trình (1) có nghiệm
Vậy với thì phương trình đã cho có nghiệm.
b) Phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt

Vậy với m > thì phương trình đã cho có hai nghiệm âm.
Bài 5. Cho phương trình , với là tham số. Xác định các giá trị của để phương trình có:
a) Nghiệm bằng .
b) Hai nghiệm phân biệt trái dấu.
c) Hai nghiệm phân biệt cùng dương.
Lời giải
a) Phương trình có nghiệm .
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu
c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt
hoặc .
Theo hệ thức Viet ta có:
Hai nghiệm của phương trình cùng dương
Kết hợp với điều kiện ta có hoặc .
Bài 6. Cho phương trình , với là tham số. Xác định các giá trị của để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .
Lời giải
Cách 1. Đặt , ta có
Phương trình ẩn là được đưa về phương trình ẩn :
.
Phương trình ẩn phải có hai nghiệm trái dấu
Vậy
Cách 2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt .
Khi đó theo hệ thức Viet ta có: (1).
Hai nghiệm thỏa mãn và trái dấu (2).
Thay (1) vào (2) ta có: .
Kết hợp với điều kiện ta có là các giá trị cần tìm.
Chú ý:
Nếu hai nghiệm thì phương trình ẩn có hai nghiệm đều là số âm.
Nếu hai nghiệm thì phương trình ẩn có hai nghiệm đều là số dương.
Bài 7. Cho phương trình , với là tham số. Xác định để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.
Ta có
(1)
Đặt . Khi đó (1) thành: (2)
Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt dương, tức là phải có: thỏa mãn yêu cầu bài toán.

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 8. Tìm m để phương trình: có một trong các nghiệm bằng . Tìm nghiệm còn lại.
Bài 9. Tìm m để phương trình: có một trong các nghiệm bằng . Tìm nghiệm còn lại.
Bài 10. Tìm m để phương trình: có một trong các nghiệm bằng . Tìm nghiệm còn lại.
Bài 11. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm
a) b)
Bài 12. Tìm m để các phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt
a) b)
Bài 13. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm kép
a) b)
Bài 14. Tìm m để các phương trình sau vô nghiệm
a) b)
Bài 15. Cho phương trình:.
a) Giải phương trình với .
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có một trong các nghiệm bằng –1.
c) Tìm các giá trị của m để phương trình trên có nghiệm kép.
Bài 16. Cho phương trình: .
a) Giải phương trình với .
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có một trong các nghiệm bằng –4.
c) Tìm các giá trị của m để phương trình trên có nghiệm kép.
Bài 17. Cho phương trình: .
a) Giải phương trình với và .
b) Tìm m để phương trình có một trong các nghiệm bằng 4.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 18. Cho phương trình: (1)
a) Giải phương trình (1) khi
b) Tìm để phương trình (1) có nghiệm kép.
c) Tìm để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Bài 19. Xác định m để mỗi cặp phương trình sau có nghiệm chung:
a) và
b) và
Bài 20. Tìm m để các phương trình có hai nghiệm trái dấu.
a) b)
Bài 21. Tìm m để phương trình: có hai nghiệm cùng dấu.
a) b)
Bài 22. Tìm m để các phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
a) b)
Bài 23. Tìm m để các phương trình có hai nghiệm dương.
a) b)
Bài 24. Tìm m để các phương trình có hai nghiệm âm.
a) b)
Bài 25. Tìm m để các phương trình có hai nghiệm âm phân biệt.
a) b)
Bài 26. Tìm m để các phương trình có đúng một nghiệm dương.
a) b)
Bài 27. Tìm m để các phương trình có đúng một nghiệm âm.
a) b)








DẠNG 4
TÌM THAM SỐ LIÊN QUAN GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

1. Hệ thức Viet
 Định lí Viet: Nếu là các nghiệm của phương trình thì:
 Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình:
(Điều kiện để có hai số đó là: ).
2. Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai
Cho phương trình bậc hai:
 có nghiệm .
 có hai nghiệm phân biệt .
 có hai nghiệm trái dấu 
 có hai nghiệm cùng dấu 
 có hai nghiệm dương phân biệt 
 có hai nghiệm âm phân biệt 
Chú ý: Khi so sánh của phương trình bậc 2 với giá trị ta cần chú ý đến các điều kiện ràng buộc sau:
 Nếu: .
 Nếu
 Nếu




Bài 1. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh KIÊN GIANG năm 2021)
Cho phương trình (là tham số). Tìm tất cả các giá trị của để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn
Lời giải
Ta có: (*)


Phương trình (*) có hai nghiệm khi


Với thì phương trình (*) có hai nghiệm
Theo hệ thức Vi ét:
Theo đề bài:



(nhận)
Bài 2. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh VĨNH LONG năm 2021)
Cho phương trình: ( là ẩn số, là tham số). Tìm để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn
Lời giải:
Ta có:
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Theo Vi-et ta có:
Mà:


Vậy thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Bài 3. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HÒA BÌNH năm 2021)
Cho phương trình . Tìm để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn .
Lời giải
Ta có:
Để phương trình có hai nghiệm thì
Áp dụng định lí Vi-et ta có:
Theo bài ta ta có:



Vậy với thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn .
Bài 4. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh LÀO CAI năm 2021)
Tìm các giá trị của tham số để phương trình: có hai nghiệm thóa mãn: .
Lời giải
Phương trình có 2 nghiệm khi và chỉ khi .


(luôn đúng).
Do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt .
Theo hệ thức Vi -ét ta có: .
Theo bài ra ta có:







Ta có nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt .
Bài 5. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh NAM ĐỊNH năm 2021)
Cho phương trình (với là tham số). Tìm tất cả các giá trị của để phương trình có hai nghiệm phân biệt (với ) thỏa mãn: .
Lời giải.
Phương trình: (1)
Phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn có:
>0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi , mà nên:

thỏa mãn:

Vây tất cả các giá trị của thỏa mãn đề bài là: và .
Các bạn muốn tải đầy đủ các chuyên đề toán 9 file word (hơn 1000 trang) thì liên hệ https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
Bài 6. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh SƠN LA năm 2021)
Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm , thỏa mãn .
Lời giải
Xét phương trình
Phương trình đã cho có hai nghiệm ,




Với thì phương trình đã cho có hai nghiệm , .
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có:
Theo đề bài ta có:






Vậy .
Bài 7. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TÂY NINH năm 2021)
Tìm dể phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
Lời giải
Xét phương trình
Phương trình có hai nghiệm phân biệt




Với thì phương trình có hai nghiệm phân biệt .
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: .
Theo đề bài ta có:








Vậy thóa mãn bài toán.
Bài 8. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh THANH HÓA năm 2021)
Cho phương trình ( là tham số). Tìm các giá trị của đề phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức .
Lời giải
Phương trình có .
Phương trình đã cho có nghiệm .
Khi đó theo định li Vi-ét ta có:
Do là nghiệm của phương trình nên ta có:
Theo bài ra ta có:







Thay vào (1) ta được:
Vậy .
Bài 9. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh GIA LAI năm 2021)
Cho phương trình , với m là tham số. Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn .
Lời giải
, với m là tham số.


.
Suy ra pt có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Theo vi-et ta có :
Theo đề, ta có :
Giải hệ pt

Thay vào , ta được:


Phương trình có dạng .
Suy ra hoặc .
Vây giá trị cần tìm là hoặc .
Bài 10. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐẮK NÔNG năm 2021)
Cho phương trình (1) vói là tham số. Tìm tất cả các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
Lời giải
Phương trình (1) có nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt .
Khi đó áp dụng định li Vi-ét ta có .
Theo bài ra ta có:






Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 11. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2021)
Cho phương trình: ( là ẩn số).
a) Giải phương trình khi .
b) Tìm các giá trị của để phương trình có nghiệm.
c) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm thỏa mãn đẳng thức:
.
Lời giải
a) Giải phương trình khi .
+) Khi , phương trình đã cho trở thành: .
+) Ta có: nên phương trình có hai nghiệm là và .
Vậy khi thì phương trình có hai nghiệm là và .
b) Tìm các giá trị của để phương trình có nghiệm.
+) Ta có: .
+) Để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: .
Vậy khi thì phương trình có nghiệm.
c) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm thỏa mãn đẳng thức:
.
+) Theo câu b) phương trình có nghiệm .
Khi đó theo định lý Viét, ta có: .
+) Ta có:








hoặc .
Đối chiếu với điều kiện ta được các giá trị cần tìm của là và .
Bài 12. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BẠC LIÊU năm 2021)
Cho phương trình: (1)
a) Giải pt (1) với m=-3.
b) Chứng tỏ pt (1) luôn có nghiệm với mọi số thực m.
c) Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là .
Lời giải
a) Giải pt (1) với m=-3.
Khi m=-3 pt (1) trở thành : . Vì 1+1+(-2)=0 nên pt có hai nghiệm
b) Chứng tỏ pt (1) luôn có nghiệm với mọi số thực m.
Ta có: với mọi m
Vậy pt (1) luôn có nghiệm với mọi số thực m.
c) Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là .
Theo câu b ta có:
Pt (1) có có hai nghiệm phân biệt là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông
Mặt khác tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền nên áp dụng hệ thức ta có:
. Đối chiếu điều kiện ta được m=1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy m=1 là giá trị cần tìm.
Bài 13. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HÀ TĨNH năm 2021)
Cho phương trình ( là tham số)
a) Giải phương trình với .
b) Tim giá trị của để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn:
Lời giải
Cho phương trình (m là tham số)
a) Giải phương trình với .
Với , phương trình đã cho trở thành .
Ta có nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt .
Vậy khi tập nghiệm của phương trình là .
b) Tìm giá trị của để phương trình đã cho có hai nghiệm thóa mãn:
Ta có: .
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm thì .
Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: .
Theo bài ra ta có:





Ta có nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt .
Vậy có 1 giá trị của thỏa mãn là .
Các bạn muốn tải đầy đủ các chuyên đề toán 9 file word (hơn 1000 trang) thì liên hệ https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Bài 14. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HẢI PHÒNG năm 2021)
Cho phương trình (1) ( là tham số, là tham số).
a) Giải phuơng trình (1) khi
b) Xác định các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện:
Lời giải
a) Thay vào phương trình ta có:

Phương trình có:
Phương trình có hai nghiệm phân biệt và
Vậy với thì phương trình có tập nghiệm là: .
b) Xét phương trình (1)
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt




Với thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt .
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: .
Theo đề bài ta có:









Vậy là thỏa mãn bài toán.
Bài 15. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh QUẢNG BÌNH năm 2021)
Cho phương trình (1) ( là tham số).
a) Giải phương trình (1) khi .
b) Tìm tất cả các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn .
Lời giải
Xét phương trình (1) ( là tham số).
a) Khi , ta có
(1)
Vì phương trình có hai nghiệm .
Vậy thì phương trình có tập nghiệm là .
b) Tìm tất cả các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn .
Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì
.
Khi đó theo hệ thức Vi-et, ta có .
Theo bài ra

(thỏa mãn).
Vậy là giá trị cần tìm.
Bài 16. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Quãng Ngãi năm 2021)
Cho phương trình (ẩn ): .
a) Tìm để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) Gọi là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm để .
Lời giải
a) Tìm để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Phương trình có: .
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt .
Vậy với thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Gọi là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm để .
Với , theo định li Vi-et ta có:
Theo bài ra ta có:






Ta có nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt .
Vậy .
Bài 17. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của Thành Phố Đà Nẵng năm 2021)
Cho phương trình , với là tham số.
a) Giải phương trình khi
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
Lời giải
a) Với thì phương trình trở thành:




Vậy với thì phương trình có tập nghiệm là .
b) Phương trình có nên luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
Theo định lí Vi-et ta có:
Vì là nghiệm của phương trình nên ta có:






Mà theo bài có:
Thay , vào ta được:










Vậy
Bài 18. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh KOMTUM năm 2021)
Cho phương trình (m là tham số).
a. Giải phương trình (1) khi .
b. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn .
Lời giải
a. Giải phương trình (1) khi
Thay vào phương trình (1) ta được:
Vì nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là: .
Vậy với phương trình có tập nghiệm là .
b. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
Để phương trình (1) có hai nghiệm thì



Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: .
Ta có:
Ta có nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Kết hợp điều kiện ta có thỏa mãn.
Vậy là giá trị cần tìm.
Bài 19. Tìm các giá trị của để phương trình có hai nghiệm là độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông , biết độ dài cạnh huyền .
Lời giải
Vì độ dài cạnh của tam giác vuông là số dương nên .
Theo định lý Viet, ta có (1).
Điều kiện để phương trình có nghiệm là: (2).
Từ giả thiết suy ra .
Do đó
Thay vào (1) và (2) ta thấy .
Vậy giá trị cần tìm là .
Bài 20. Cho phương trình , với là tham số. Gọi là nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng: .
Lời giải
Ta có .
Để phương trình có hai nghiệm .
Theo định lý Viet ta có: và .
Ta có
Vì suy ra
Do đó
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
Bài 21. Cho phương trình , với là tham số. tìm tất cả các giá trị để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho biểu thức có giá trị là số nguyên.
Lời giải
Ta có .
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt .
Theo định lý Viet ta có: và .
Do đó .
Suy ra . Do nên
Để thì ta phải có là ước của , suy ra
Thử lại với , ta được (thỏa mãn).
Vậy là giá trị cần tìm thỏa mãn bài toán.
Bài 22. Chứng minh rằng phương trình: (1) có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp lần nghiệm kia khi và chỉ khi .
Lời giải
Giả sử (1) có hai nghiệm và nghiệm này gấp k lần nghiệm kia thì ta có:

Giả sử ta chỉ cần chứng minh (1) có nghiệm là được.
Ta có: . Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 23. Cho phương trình , với là tham số. Gọi là hai nghiệm của phương trình.Tìm hệ thức liên hệ giữa không phụ thuộc vào .
Lời giải
Ta có , với mọi .
Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của .
Theo hệ thức Viet, ta có: và
Thay vào , ta được
Vậy hệ thức liên hệ giữa không phụ thuộc vào là .

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 24. Cho phương trình: .
a) Giải phương trình với .
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện .
Bài 25. Cho phương trình: .
a) Giải phương trình với .
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện .
Bài 26. Cho phương trình: .
a) Giải phương trình với .
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có một trong các nghiệm bằng x = –4.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện .
Bài 27. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: .
Bài 28. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: .
Bài 29. Tìm m để phương trình: có các nghiệm thoả hệ thức: .
Bài 30. Cho phương trình (1) ( là tham số). Tìm các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .
Bài 31. Cho phương trình x2 – 6x + n = 0 (1) ( là tham số). Tìm để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn mãn
Bài 32. Cho phương trình (m là tham số).
a) Giải phương trình (1) khi m = -2.
b)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 tỏa mãn .
Bài 33. Cho phương trình ( là tham số). Gọi là 2 nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm các giá trị của sao cho .
Bài 34. Cho phương trình . Định m để hai nghiệm của phương trình thỏa mãn :
Bài 35. Cho phương trình: ( là tham số). Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .
Bài 36. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa .
Bài 37. Cho phương trình 2x2 – (2m+1) x – 3 +2m = 0 ( m là tham số ). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và thỏa mãn .
Bài 38. Cho phương trình với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:
Bài 39. Cho phương trình bậc hai: ( là tham số). Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: .
Bài 40. Tìm m để phương trình: có các nghiệm thoả hệ thức .
Bài 41. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:.
Bài 42. Cho phương trình , với là tham số. Tìm tất các các giá trị của để phương trình có hai nghiệm và thỏa điều kiện .
Bài 43. Cho phương trình: (1) ( là tham số, là ẩn). Tìm để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: .
Bài 44. Cho phương trình (có ẩn số x).
a) Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi m.
b) Cho biểu thức . Tìm giá trị của m để B = 1.
Bài 45. Cho phương trình , với là tham số. Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt và với , tìm tất cả các nghiệm của sao cho .
Bài 46. Cho phương trình (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn .
Bài 47. Cho phương trình (x là ẩn, m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn :
Bài 48. Cho phương trình với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:
Bài 49. Cho phương trình: ( là tham số). Tìm để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn .
Bài 50. Chứng minh rằng phương trình: luôn có hai nghiệm phân biệt và biểu thức không phụ thuộc vào .
Bài 51. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: Hãy lập hệ thức liên hệ giữa không phụ thuộc vào m.
Bài 52. Gọi là nghiệm của phương trình: Hãy lập hệ thức liên hệ giữa không phụ thuộc vào m.
Bài 53. Gọi là nghiệm của phương trình: Hãy lập hệ thức liên hệ giữa không phụ thuộc vào m.
Bài 54. Cho phương trình: .
a) Xác định m để phương trình có các nghiệm thoả mãn .
b) Tìm hệ thức giữa mà không phụ thuộc vào m.
Bài 55. Cho phương trình: .
a) Tìm m để phương trình có hiệu hai nghiệm bằng 2.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa không phụ thuộc m.
Bài 56. Cho phương trình: .
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn .
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt .
c) Khi phương trình có hai nghiệm , tìm hệ thức giữa không phụ thuộc vào m.







DẠNG 5
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI LIÊN QUAN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Bài 1. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BẾN TRE năm 2021)
Gọi là hai nghiệm của phương trình: với m là tham số. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
Phương trình có với mọi
Suy ra: phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt
Theo định lí Vi-et ta có :
Ta có :





(vì )
Dấu ''= '' xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy GTNN của C là đạt tại
Bài 2. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BÌNH PHƯỚC năm 2021)
Cho phương trình (1), với là tham số.
a) Giải phương trình (1) khi .
b) Tìm để phương trình có hai nghiệm sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải
a) Giải phương trình (1) khi .
Thay vào phương trình (1) ta được:
Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: .
Vậy phương trình có tập nghiệm .
b) Tìm để phương trình có hai nghiệm sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất.
Phương trình (1) có: nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt .
Khi đó theo Vi-ét ta có:
Ta có:




Vậy . Dấu "=" xảy ra khi .
Vậy giá trị lớn nhất của bằng 49 khi .
Bài 3. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh QUẢNG TRỊ năm 2021)
Cho phương trình (ẩn x)
a) Giải phương trình khi .
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
a) Khi , phương trình đã cho trở thành: .
Vì nên phương trình có 2 nghiệm và .
b) Vì nên phương trình có nghiệm và với mọi giá trị của m.
Ta có:
Lại có:
, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
Suy ra A đạt giá trị nhỏ nhất bằng -1 khi .


Bài 4. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh CAO BẰNG năm 2021)
Cho phương trình: ( là tham số). Giả sử và là các nghiệm của phương trình trên. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải
Giả sử là các nghiệm của phuoong trình trên. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Phương trình (1) có hai nghiệm khi và chi khi
(luôn đúng với mọi vì
với mọi m).
Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt
Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có:

TH1:
TH2:. Khi đó phương trình (*) có:



Để tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức thì phương trình (*) phải có nghiệm.
Khi đó ta có:

Hoặc Hoặc
Do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng và giá trị lớn nhất của biểu thức bằng 2.
Với ta có:


Với ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng đạt được khi và giá trị lớn nhất của biểu thức bằng 2 đạt được khi
Bài 5. Cho phương trình , với là tham số.
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với mọi .
b) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là . Tìm để biểu thức đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải
a) Xét
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi .
b) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là .
Theo câu a) thì , do đó được xác định với mọi .
Do trái dấu nên với , suy ra , suy ra
Đặt , với , suy ra .
Khi đó mang giá trị âm và đạt giá trị lớn nhất khi có giá trị nhỏ nhất.
Ta có , suy ra .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Với , ta có .
Vậy với thì biểu thức đạt giá trị lớn nhất là .

Bài 6. *Giả sử phương trình có 2 nghiệm lớn hơn 1. Chứng minh rằng: .
Lời giải
Theo định lý Vi et ta có: .
Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng : .
Hay .
Theo bất đẳng thức Cô si ta có: .
Để chứng minh ta quy về chứng minh: với .
Quy đồng và rút gọn bất đẳng thức trên tương đương với ( Điều này là hiển nhiên đúng).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Bài 7. *Giả sử phương trình bậc hai có hai nghiệm thuộc Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
Vì phương trình bậc 2 có 2 nghiệm nên .
Biểu thức có dạng đẳng cấp bậc 2 ta chia cả tử và mẫu của Q chothì .
Gọi là hai nghiệm của phương trình, theo Viet ta có:.
Vậy :
* Ta GTLN của Q: Ta đánh giá qua với điều kiện .
Giảsử

.
Ta cũng có thể đánh giá theo cách:
.
Suy ra .
Đẳng thức xảy ra hayhoặc
Ta có.
Đẳng thức xảy ra .
Vậy GTLN của là 3 và GTNN của là 2.
Bài 8. *Cho phương trình, trong đó a,b,c là các số nguyên và , có hai nghiệm phân biệt trong khoảng (0;1). Tìm giá trị nhỏ nhất của a.
Lời giải
Gọi là hai nghiệm phân biệt của phương trình đã cho .
Vì là các số nguyên và là các số nguyên dương.
Áp dụng BĐT Cauchy tacó:
(Vì do nên không có đẳng thức).
Từ (1) và (2) (a là số nguyên dương).
Xét đa thức ta thấy thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy giá trị nhỏ nhất của a bằng 5.
Bài 9. *Chứng minh: là số chính phương với mọi số tự nhiên lẻ.
Lời giải
Ta có .
Xét dãy , ta chứng minh là một số nguyên.
Xét ta có suy ra là hai nghiệm của phương trình: .
Ta có hay .
Ta có .
Từ đó bằng phép quy nạp ta dễ dàng chứng minh được là số nguyên .
Suy ra là số chính phương.

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 10. Cho phương trình: .
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào a.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài 11. Cho phương trình:
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn biểu thức đạt giá trị lớn nhất.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn biểu thức đạt giá trị lớn nhất.
Bài 12. Cho phương trình:.
a) Tìm m để phương trình có một trong các nghiệm bằng –2. Tìm nghiệm còn lại.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn .
c) Tìm m để giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài 13. Cho phương trình: .
a/ Tìm tham số m để phương trình có nghiệm.
b/ Tìm tham số m để phương trình có nghiệm thỏa: nhỏ nhất.
Bài 14. Cho phương trình (1) (x là ẩn số)
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị thoả mãn của biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 15. Tìm m để phương trình có hai nghiệm và biểu thức: đạt giá trị lớn nhất.
Bài 16. Cho phương trình , với là tham số. Tìm để phương trình có hai nghiệm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 17. Gọi là hai nghiệm của phương trình: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 18. Cho phương trình ( là ẩn số). Gọi là các nghiệm của phương trình. Tìm để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 19. Cho phương trình , với là tham số. Gọi là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức


















DẠNG 6
CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL

Khi cần biện luận số giao điểm của một đường thẳng và Parabol ta cần chú ý:
 Nếu đường thẳng là (song song với trục ) ta có thể dựa vào đồ thị để biện luận hoặc biện luận dựa vào .
 Nếu đường thẳng ta thường xét phương trình hoành độ giao điểm của và là: từ đó ta xét số giao điểm dựa trên số nghiệm c
 
Gửi ý kiến