Sở Gd&Đt Nghệ an
Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Năm học 2007 - 2008


hướng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức
(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 05 trang)
Môn: Toán lớp 12 - THPT - bảng a
----------------------------------------------

Câu
Nội dung
Biểu điểm

Câu 1:

6,0

a.
 (m - 3)
+ ( 2- m)x + 3 - m = 0 (1).
3,0


ĐK: x ( 0; Đặt t =
, t ( 0.
0,5


(1) trở thành: (m - 3)t + (2 - m)t2 + 3 - m = 0 <=> m =
(2)
0,5


Xét f(t) =
, t ( 0 ; f/(t) =
.
0,5


f/(t) = 0 <=>

0,5


Bảng biến thiên



t

0

2

+ (

0,5


f/(t)




0
+





f(t)

3




2

















Phương trình (1) có nghiệm <=> phương trình (2) có nghiệm thoả mãn t ( 0.
0,25


<=>
.
0,25

b.

(1).
3,0


(1) <=> tgx.sin2x - x3 > 0.
Xét f(x) = tgx.sin2x - x3 ; x
.
0,25


f/(x) = tg2x + 2sin2x - 3x2.
f//(x) = 2tgx.
+ 4sinx.cosx - 6x =
+ 2sin2x - 6x.
f///(x) =

0,25

0,25


0,25


=
=

=
;
.
0,5


=> f//(x) đồng biến trên
=> f//(x) > f//(0) = 0 ,
.
0,5


=> f/(x) đồng biến trên
=> f/(x) > f/(0) = 0 ,
.
0,5


=> f(x) đồng biến trên
=> f(x) > f(0) = 0 ,
.
0,5

Bài 2.

6,0

a.

3,0


x + y = 3 <=> y = 3 - x. Ta có
=> x
.
0,5


Thay vào P: P = x3 + 2(3 - x)2 + 4x(3 - x) - 5x + 3x2 = x3 + x2 - 5x + 18.
0,5


Xét f(x) = x3 + x2 - 5x + 18 ; x
; f/(x) = 3x2 + 2x - 5.
0,5


f/(x) = 0 <=>

0,5


Ta có: f(0) = 18 ; f(1) = 15 ; f(2) = 20.
0,5


Vậy

0,25

0,25

b.

3,0







Ta có (1) <=>
.
0,25


Xét f(t) =
, t
.
f/(t) =
.

0,25



0,25


=> f(t) đồng biến trên
. Khi đó từ (1/) => x = y.
0,25


Thay vào (2) ta được:


<=>

<=> 3(8x - 1) = (8x - 1)(
)
<=> (8x - 1)(
- 3) = 0
<=>




0,5






0,5


( Xét phương trình (*) ta có:

- 3
=
(

=> phương trình (*) vô nghiệm.

0,5


( Với 8x - 1 = 0 <=> x =

Vậy hệ có nghiệm


0,25




0,25

Bài 3.

2,5


Với n ( N*, xét f(x) =
; x ( R.
f/(x) = -
- 1 < 0 (x ( R.
=> f(x) nghịch biến trên R (1).

0,25



0,25


Ta có:

=> f(x) = 0 có nghiệm xn ( (n; n + 1) (2).
Từ (1) và (2) => đpcm.


0,25



0,25


Ta có: xn - n =
> 0 => xn > n.
=> 0 < xn - n <
.

0,25


0,25


Mặt khác: lim
=> lim(xn - n) = 0.
0,5


Khi đó lim(xn - 1 - xn) = lim{[xn + 1- (n + 1)] - (xn - n) + 1} = 1.
0,5

Bài 4.

5,5

a.
Gọi C(a; b)
2,5


S =
CH.AB (1).
Ta có: AB =

0,25


Phương trình AB: x - y - 5 = 0 => CH = d(C, AB) =

do đó: (1) <=>
.
<=>


0,25


0,25


0,25


Toạ độ G(
)
Ta có: G ( ( <=>
<=> 3a - b = 4.
0,5


TH1:
=> C(-2; -10)
0,25


Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA =

=> r =
.
0,25


TH2:
=> C(1; -1)
0,25


Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA =

=> r =
.
0,25

b.
 Xét hệ toạ độ Axy như hình vẽ:
O(R; 0).



(Nếu học sinh không vẽ hình thì phải nêu rõ cách chọn hệ trục toạ độ)










3,0





0,5


Gọi M(x0; y0)
( MT = MH <=> MT2 = MH2 <=> OM2 - R2 = MH2
<=> (x0 - R)2 + y02 - R2 = x02 <=> y02 = 2Rx0.
=> M ( (P): y2 = 2Rx ; (P) có tiêu điểm F(
).

0,25
0,5

0,5


Xét đường tròn (C)/ tâm F, bán kính
.
Ta có:
=> MF = MT +
.
0,25




0,5


 => (M, MT) tiếp xúc (C)/ => (đpcm).
0,5




Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.