Sở Gd&Đt Nghệ an
Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Năm học 2007 - 2008


hướng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức
(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 05 trang)
Môn: Toán lớp 12 - THPT - bảng B
----------------------------------------------

Bài
Nội dung
Biểu điểm

Bài 1:

6,0

a.
 (m - 3)
+ ( 2- m)x + 3 - m = 0 (1).
3,0


ĐK: x ( 0; Đặt t =
, t ( 0.
0,5


(1) trở thành: (m - 3)t + (2 - m)t2 + 3 - m = 0 <=> m =
(2)
0,5


Xét f(t) =
, t ( 0 ; f/(t) =
.
0,5


f/(t) = 0 <=>

0,5


Bảng biến thiên



t

0

2

+ (

0,5


f/(t)




0
+





f(t)

3




2

















Phương trình (1) có nghiệm <=> phương trình (2) có nghiệm thoả mãn t ( 0.
0,25


<=>
.
0,25

b.

(1).
3,0


(1) <=> tgx.sin2x - x3 > 0.
Xét f(x) = tgx.sin2x - x3 ; x
.
0,25


f/(x) = tg2x + 2sin2x - 3x2.
f//(x) = 2tgx.
+ 4sinx.cosx - 6x =
+ 2sin2x - 6x.
f///(x) =

0,25

0,25


0,25


=
=

=
;
.
0,5


=> f//(x) đồng biến trên
=> f//(x) > f//(0) = 0 ,
.
0,5


=> f/(x) đồng biến trên
=> f/(x) > f/(0) = 0 ,
.
0,5


=> f(x) đồng biến trên
=> f(x) > f(0) = 0 ,
.
0,5

Bài 2.

6,0

a.

3,0


ĐK: - 1 ( x ( 1.
0,5


Xét hàm số y = x +
trên đoạn [-1; 1], ta có:
y/ = 1 -
=
.
0,5


( y/ không xác định tại x = ( 1
0,25


( y/ = 0 <=>

0,25


<=>

0,5


Khi đó y(-1) = - 1 ; y(
; y(1) = 1.
0,5


Vậy max y =
khi x =

min y = - 1 khi x = - 1.

0,25

0,25

b.

3,0







Ta có (1) <=>

0,5


Xét f(t) =
, t

0,25


f/(t) =
.
0,25


=> f(t) đồng biến trên
. Khi đó từ (1/) => x = y.
0,5


Thay vào (2): - cos2x + sin2x = sinx + cosx - 1
<=> 1 - cos2x + sin2x - (sinx + cosx) = 0
<=> 2sin2x + 2sinxcosx - (sinx + cosx) = 0
<=> 2sinx(sinx + cosx) - (sinx + cosx) = 0
<=> (sinx + cosx) (2sinx - 1) = 0
0,5


<=> sinx =
(do sinx + cosx > 0
)
0,25


<=>

0,25


Do x
nên x =
.
0,25


Vậy hệ có nghiệm:

0,25

Bài 3.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
(1)
2,5


Ta có (1) <=>
, k ( Z
<=>
= 3x - 16k
0,5


<=>

<=>

0,5


Ta có (2) <=> 9x = 24k - 40 -

0,5


Do k và x nguyên nên 3k + 5 là ước của 25
Suy ra 3k + 5 ( {- 1; 1; 5; - 5; 25; - 25}
0,5


Giải ra ta được x = - 7 ; x = - 31.
0,5

Bài 4.

5,5

a.
Gọi C(a; b)
2,5


S =
CH.AB (1).
Ta có: AB =

0,25


Phương trình AB: x - y - 5 = 0 => CH = d(C, AB) =

do đó: (1) <=>
.
<=>


0,25


0,25


0,25


Toạ độ G(
)
Ta có: G ( ( <=>
<=> 3a - b = 4.
0,5


TH1:
=> C(-2; -10)
0,25


Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA =

=> r =
.
0,25


TH2:
=> C(1; -1)
0,25


Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA =

=> r =
.
0,25

b

3,0


Ta có tâm I(1; 2), bán kính R = 1.
d(I, () =

=> ( nằm ngoài (C) => từ M ( ( luôn kẻ được hai tiếp tuyến với (C).








(học sinh phải vẽ hình)
0,5


Ta có: MT1 ( IT1, MT2 ( IT2 => T1, T2 thuộc đường tròn (C), đường kính MI
=> T1T2 là trục đẳng phương của (C) và (C).
0,5


Do M ( ( nên M(m + 1; m) => trung điểm của IM là K(
)
0,25


Phương trình đường tròn (C) là:
(x -

<=> x2 + y2 - (m + 2)x - (m + 2)y + 3m + 1 = 0
0,5


=> phương trình đường thẳng T1T2 là: mx + (m - 2) y - 3m + 3 = 0
0,5


Gọi A(x0; y0) là điểm cố định mà T1T2 luôn đi qua.
Ta có: mx0 + (m - 2) y0 - 3m + 3 = 0 (m ( R.
<=>

0,5


=> đường thẳng T1T2 luôn đi qua một điểm cố định A(
).
0,25



Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.