SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
THANH HOÁ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2023-2024
MÔN TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi 14/12/2023
Thời gian làm bài :150 phút
Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng
Ngãi.Điện thoại : 0708127776.file word giá 500 nghìn


2 xy  1



1  xy

Bài 1. a) Cho biểu thức A   2 



1
1  xy



xy  x 
2 x   xy  x

 : 

1  xy   xy  1
xy  1 

Với x, y > 0; xy khác 1. Rút gọn biểu thức A.
b) Cho số thực a thỏa mãn a3  a 1  0 .
Tính giá trị của biểu thức A  a 2a6  4a 4  4a 2  3a  2a 2  3a  2 .
Bài 2. a) Giải phương trình

3

5x2  2
6
2 2
x y  3x  3 y  3  0

x3  5 x 2  1 



b) Giải hệ phương trình 

3
2
2
2
 x y  4 x y  3xy  2 xy  x  x  0

Bài 3. a) Giải phương trình nghiệm nguyên y  3 2  x  3 2  x
b) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 3n  1 22024 .
Chứng minh rằng n  22022
Bài 4. Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 2 3 và đường cao AH. Trên đoạn BH
lấy điểm M tùy ý (M khác B, H). Gọi P, Q lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến
AB, AC.
1) Chứng minh rằng giá trị của biểu thức MP+MQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
2) Gọi K là trung điểm của AM.
a) Chứng minh rằng tứ giác PKQH là hình thoi.
b) Gọi S là diện tích của hình thoi PKQH. Biết khi điểm M thay đổi thì S nhận
đúng một giá trị nguyên dương. Tìm giá trị nguyên dương đó.
3) Vẽ đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABM. Gọi D, E, F theo thứ tự là tiếp điểm
của đường tròn (O) với các cạnh BM, AB, AM. Kẻ DN vuông góc với EF tại N. Chứng
minh rằng BNE  MNF
a b c
b c a
a  n 1
b  c 1
c  a 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  3 3  3 3  3 3
a  b 1 b  c 1 c  a 1

Bài 5. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c    .

--- Hết ---

1