SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI
KỲ THI CHỌN HSG NĂM HỌC 2012-2013
Môn: TOÁN – Lớp 12 THPT


 Câu
Nội dung
Điểm

1.1
(2,0)
Khi
, hàm số là
(C). Gọi
. Tiếp tuyến (d) tại M có phương trình:
(1)


0,5


Khoảng cách từ M đến trục tung bằng 2

0,5


+ Nếu
, phương trình (1) có dạng:

0,5


+ Nếu
, phương trình (1) có dạng:

Vậy có hai tiếp tuyến là
và
thoả mãn yêu cầu.

0,5

1.2
(2,0)
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và (
) là nghiệm phương trình:



.




0,5


Vậy
và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân biệt
phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt
.
Khi đó, ba giao điểm là A có hoành độ là 1 và
, trong đó
là nghiệm phương trình (2) nên






0,5


Tam giác OBC có diện tích
. Trong đó


0,5









0,25


Vậy
. Đối chiếu ĐK, Kết luận:
.

0,25

2.1
(2,5)
Với điều kiện :
, Phương trình đã cho tương đương :



0,5





0,5



(vì
)

0,5



(1)

0,5


Giải phương trình (1) và đối chiếu ĐK, kết luận nghiệm của phương trình đã cho là:
;
.

0,5

2.2
(2,5)
 ĐKXĐ:
.
Ta có



0,5




(1). Thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta có :



.



0,5




(*)
Xét hàm số
với
. Ta có
đồng biến trên
.





1,0


Mặt khác, phương trình (*) có dạng
.
Thay
vào (1) ta tìm được
.Vậy hệ đã cho có nghiệm là





0,5

3.1
(1,0)
Kẻ
ABHD là hình vuông và

Mặt khác, BN là phân giác của góc vuông MBC
CBN
MBN
Vậy





0,25



 mà
.

0,25


Điểm D thuộc BD, nên
và BD = 4. Ta có
.

0,25


 Theo giả thiết
. Vậy D(5; 2).
0,25

3.2
(2,0)
 Tính được AB = 5.
0,25


Gọi I là trung điểm AC, ta có
. Mặt khác

Vậy tam giác ABC vuông cân tại B.



0,5



. Điều kiện để có điểm C là
và BC =5
0,5



.

0,25


 Giải hệ được hai nghiệm (a ; b) là (6 ; -2) ; (-4 ; -2).
 0,25


Vậy có hai điểm C thoả mãn yêu cầu có toạ độ là (6 ; -2 ; 4) , (-4 ; -2 ; 4).
0,25

4.
(3,0)



Mà

.
Gọi d là khoảng cách từ D đến (SBC)

. Mặt khác :





0,25



0,5



0,5


Do AD//BC
. Xét tam giác SAD
vuông tại A có AD = 2a và




0,25


Kẻ
tại H
và

Vậy
.



0,5


Ta có
.

0,25


Mà
(1)

0,25



Tam giác SBD có:
,
,
tam giác SBD vuông tại S





0,25



Thay vào (1) có
.
0,25

5.1
(2,0)
Đưa về


0,25