.







Câu 1 (2,0 điểm)
a. Tính

b. Rút gọn biểu thức:
, (với
).
Câu 2 (1,0 điểm)
Cho phương trình:
, (1) với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
thỏa mãn:
.
Câu 3 (2,0 điểm)
a. Giải phương trình:
.
b. Giải hệ phương trình:

Câu 4 (1,0 điểm)
a. Chứng minh rằng trong ba số chính phương tùy ý luôn tồn tại hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 4.
b. Giải phương trình nghiệm nguyên:
.
Câu 5 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), AB < AC. Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại E; AE cắt đường tròn (O) tại D (khác điểm A). Kẻ đường thẳng (d) qua điểm E và song song với tiếp tuyến tại A của đường tròn (O), đường thẳng (d) cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại P và Q. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại N (khác điểm A).
a. Chứng minh rằng:
và
.
b. Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp của ba tam giác ABC, EBP, ECQ cùng đi qua một điểm.
c. Chứng minh E là tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác BCQP.
d. Chứng minh tứ giác BCND là hình thang cân.
Câu 6 (1,0 điểm)
a. Chứng minh rằng:
, với a, b là hai số dương.
b. Cho a, b là hai số dương thỏa mãn
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:


Hết




GỢI Ý GIẢI ĐỀ THI TOÁN CHUYÊN TUYỂN SINH 10 TỈNH BÌNH PHƯỚC
NĂM HỌC 2013-2014

Câu 1 (2,0 điểm)
a. Tính

Giải
Ta có

b. Rút gọn biểu thức:
, (với
).
Giải
Ta có



Vậy


Câu 2 (1,0 điểm)
Cho phương trình:
, (1) với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
thỏa mãn:
.
Giải
Chú ý Vì
nằm trong các căn bậc hai nên phải có điều kiện
.
+) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

+) Với
phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
.
Áp dụng định lí Vi-et ta có:

+) Ta có




So sánh với các điều kiện ta có giá trị m thỏa mãn là
.






Câu 3 (2,0 điểm)
a. Giải phương trình:
.
Giải
+) ĐK:

+) Ta có



+) KL: Phương trình có một nghiệm
.
b. Giải hệ phương trình:

Giải
+) Ta có





+) Trường hợp 1:
, kết hợp với phương trình (2) ta có hệ



+) Trường hợp 2:
, kết hợp với phương trình (2) ta có hệ



+) Kết luận: Hệ phương trình có 4 nghiệm:
,
.

Câu 4 (1,0 điểm)
a. Chứng minh rằng trong ba số chính phương tùy ý luôn tồn tại hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 4.
Giải
+) Vì một số nguyên bất kỳ phải là số chẵn hoặc là số lẻ. Do đó theo nguyên lý Đirichlet trong 3 số nguyên bất kỳ luôn chọn ra được 2 số có cùng tính chẵn lẻ.
+) Áp dụng ta có trong 3 số chính phương bất kỳ luôn chọn ra được hai số có cùng tính chẵn lẻ. Gọi 2 số chính phương được chọn ra đó là
và
. Khi đó ta có
.
+) Vì
và
cùng tính chẵn lẻ nên a, b cũng cùng tính chẵn lẻ. Do đó
là số chẵn và
cũng là số chẵn
, (đpcm).
Chú ý
Ta có thể giải bài toán này bằng cách vận dụng tính chất sau của số chính phương: “Một số chính phương chia cho 4 thì sẽ có số dư là 0 hặc 1”. Khi đó lập luận như cách làm trên ta thu được điều phải chứng minh. Tuy nhiên trong khi làm bài thi nếu vận dụng tính chất này thì học sinh phải chứng minh lại.
Bình luận: Với cách làm trên ngắn gọn, đầy đủ song một số học sinh cảm thấy hơi trừu tượng ( do nguyên lí Đirichlet học sinh