ĐỀ ÔN TNTHPT MÔN TOÁN 2026
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 x là:

2 x 1
2x
2x
C .
C .
C.
B.
C.
D. x.2 x 1  C .
x 1
ln 2
x
Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 3 , y  0, x  0 và x  1 . Thể tích của khối
A.

Câu 2:

tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng
1

A.   x 3 dx .
0

Câu 3:

1

B.    2 x  dx .
3

1

C.

0

1

6
 x dx .

D.   x 6 dx .

0

0

Thống kê điểm thi đánh giá năng lực của một trường THPT qua thang điểm 100 được cho ở bảng
sau:

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm thuộc khoảng nào sau đây?
A.  0;20 .

Câu 4:

B.  20;40 .

C.  40;60 .

D.  60;80 .

Trong không gian Oxyz , phương trình của đường thẳng đi qua M 1;2;1 và N  3;1; 2 là
x 1 y  2 z 1
x 1 y  2 z 1
B.
.


.


4
3
1
2
1
3
x 1 y  2 z 1
x 1 y  2 z 1
C.
.
D.
.




4
3
1
2
1
3
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có đồ thị nhận đường thẳng x  1 làm đường tiệm cận
đứng?

A.

Câu 5:

2x  1
A. y 
.
x 1
Câu 6:

B. S  3 .

2
.
x  x 1
2

C. S  3 .

D. S  4;3 .


C. n2  1;0; 2  .


D. n1  1; 2;0  .

Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA   ABC  . Khẳng định nào
sau đây đúng?
A. AB   SBC  .

Câu 9:

D. y 

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2z  3  0 . Véctơ nào dưới đây là một véctơ
pháp tuyến của mặt phẳng  P  ?


A. n4  1; 2; 3 .
B. n3  1; 2;0  .

Câu 8:

C. y  x  x 2  2 .

Tập nghiệm của phương trình log 3 18  x 2   2 là:
A. S  3 .

Câu 7:

x2  2 x  3
B. y 
.
2x  3

B. AC   SBC  .

C. BC   SAC  .

D. BC   SAB 

Tập nghiệm của bất phương trình log 2  x 2  3 x  2   log 1  9  x 2   0 chứa bao nhiêu số
2

nguyên
A. 1.

B. 2.

C. 3 .

D. 4.

Câu 10: Cho cấp số cộng  un  có u2  2, u5  11 . Công sai d của cấp số cộng là:

A. 1.

B. 2.

C. 3.
D. 4.


 
Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u  1; 4;0  và v   1; 2;1 . Vectơ u  3v có tọa độ là
A.   2;  10; 3  .

B.   2;  6; 3  .

C.   4;  8; 4  .

Câu 12: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x   x 2024  x  1 x  2 

2

D.  2;  10; 3  .

 x  3 , x   . Số điểm cực trị của

hàm số đã cho là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng
hoặc sai.
Câu 1:

Cho hàm số f ( x)  ex  x .
a) Tính f (0)  1 và f (ln 2)  2  ln 2 .
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là f ' ( x)  e x  1 .
c) Nghiệm của phương trình f ' ( x )  0 trên đoạn  0;1 là 2
d) Giá trị lớn nhất của f  x  trên đoạn  0; ln 2 là 2  ln 2 .

Câu 2:

Để đảm bảo an toàn khi khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau
tối thiểu 1m . Ô tô A đang chạy với vận tốc 16m / s bỗng gặp ô tô B đang dừng đèn đỏ phía trước
nên ô tô A đạp phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   16  4t

 m / s  , trong đó

t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ thời điểm ô tô A bắt đầu đạp phanh. Các mệnh đề sau
đúng hay sai?

a) Ô tô A sẽ dừng lại khi vận tốc bằng 0 .
b) Ô tô A dừng lại tại thời điểm t  5 .
c) Quãng đường ô tô A đi được kể từ thời điểm bắt đầu hãm phanh đến lúc dừng lại là
5

s   v  t  dt .
0

d) Để hai ô tô A và B khi dừng lại đạt khoảng cách an toàn thì ô tô A phải đạp phanh khi cách
ô tô B một khoảng tối thiểu là 30 mét.

Câu 3:

Một chiếc hộp có 80 viên bi, trong đó có 50 viên bi màu đỏ và 30 viên bi màu vàng; các viên
bi có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có 60% số viên bi màu
đỏ đánh số và 50% số viên bi màu vàng có đánh số, những viên bi còn lại không đánh số. Lấy
ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Gọi A là biến cố “Viên bi được lấy ra có đánh số”, B là biến
cố “Viên bi được lấy ra có màu đỏ”.
a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là 30 .

 

b) P B 

3
5





c) Xác suất để lấy ra được viên bi màu đỏ có đánh số là P A | B .

 

d) Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là P A 
Câu 4:

7
.
16

Hệ thống phòng không “Vòm sắt” là một trong những hệ thống đánh chặn tên lửa từ xa rất nổi
tiếng của Israel. Để “Vòm sắt” hoạt động được chính xác người ta trang bị một Radar có khả
năng phát hiện tên lửa với bán kính 417 km. Trong hệ trục tọa độ Oxyz một hệ thống “Vòm sắt”
đang ở vị trí O  0;0;0 và một quả tên lửa đang ở vị trí A  688;185; 8 được phóng lên và bay

theo một quỹ đạo là đường thẳng có vectơ chỉ phương là u   91; 75;0  .

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?
a) Phương trình mặt cầu thể hiện vùng phủ sóng của Radar là x 2  y 2  z 2  417
b) Radar phát hiện một quả tên lửa ngay tại vị trí được phóng lên
c) Giả sử hệ thống “Vòm sắt” gặp trục trặc không thể bắn hạ quả tên lửa khi đó vị trí cuối cùng
quả tên lửa xuất hiện trên màn hình radar là B  415; 40; 8
d) Nếu hệ thống gặp trục trặc không bắn hạ được tên lửa thì khoảng cách gần nhất từ hệ thống
“Vòm sắt” đến quả tên lửa là  190 km
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1:
Câu 2:

Câu 3:

Câu 4:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 , AA'  2. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và CD '
Có sáu địa điểm A, B, C, D, E, T. Một số địa điểm có đường
đi tới nhau mô tả bằng các cạnh với độ dãi quãng đường tính
theo kilomet cho bởi số gắn với cạnh đó như hình vẽ. Hình 6.
Một người đưa thư xuất phát từ bưu điện ở vị trí A đến T. Cần
đi qua tất cả các đường (mỗi đường đi qua nhiều nhất một lần),
Tổng số kilomet mà người đưa thư phải đi ngắn nhất bằng bao
nhiêu?
Bạn Bình đố bạn Nam tìm được đường kính của quả bóng rổ, biết rằng nếu đặt quả bóng ở một
góc căn phòng hình hộp chữ nhật, sao cho quả bóng chạm với hai bức tường và nền nhà của căn
phòng đó thì có một điểm M trên quả bóng với khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà lần
lượt là 17 cm, 18 cm, 21 cm. Bán kính quả bóng bằng bao nhiêu biết loại bóng tiêu chuẩn có
đường kính nằm trong khoảng từ 23 cm đến 24, 5 cm

Trên của sổ có dạng hình chữ nhật, hoạ sĩ thiết kế logo hình con cá cho một doanh nghiệp kinh
doanh hải sản. Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol y  f  x  ; y  g  x  với các kích
thước IC  1 dm; CO  OE  4 dm; OD  2 dm; OG  3 dm (như hình vẽ dưới đây). Logo chỉ
cho phép 50% lượng ánh sáng đi qua. Lượng ánh sáng đi qua toàn bộ cửa sổ sau khi làm logo sẽ
giảm bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Câu 5:

Một nhà địa chất học đang ở tại điểm A trên sa mạc. Anh ta muốn đến điểm B và cách A một
đoạn là 70km . Trong sa mạc thì xe anh ta chỉ có thể di chuyển với vận tốc là 30km/h. Nhà địa
chất phải đến được điểm B sau 2 giờ. Vì vậy, nếu anh ta đi từ A đến B sẽ không thể đến
đúng giờ được. May mắn thay, có một con đường nhựa song song với đường nối A và B và
cách AB một đoạn 10km. Trên đường nhựa đó thì xe nhà địa chất này có thể di chuyển với vận
tốc 50km/h. Thời gian ngắn nhật đề nhà địa chất di chuyển từ A đến B là bao nhiêu phút?

Câu 6:

Hình dạng hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình: hạt trơn và hạt nhăn, có hai gene ứng với hai
kiểu hình này là gene trội B và gene lặn b .
Khi cho lai hai cây đậu Hà Lan, cây con lấy ngẫu nhiên một cách độc lập một gene từ cây bố và
một gene từ cây mẹ để hình thành một cặp gene. Giả sử cây bố và cây mẹ được chọn ngẫu nhiên
từ một quần thể các cây đậu Hà Lan, ở đó tỉ lệ cây mang kiểu gene bb, Bb tương đương là 40%
và 60% . Tính xác suất để cây con có kiểu gene bb.
HẾT

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1:

Nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 x là:
A.

2 x 1
C.
x 1

B.

2x
C .
ln 2

C.

2x
C .
x

D. x.2 x 1  C .

Lời giải
Chọn B
Từ đồ thị hàm số ta thấy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x  1 .
Câu 2:

Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 3 , y  0, x  0 và x  1 . Thể tích của khối tròn
xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng
1

1

1

B.    2 x  dx .

A.   x3dx .
0

3

C.

0

1

6
 x dx .

D.   x 6 dx .

0

0

Lời giải
Chọn D
Câu 3:

Thống kê điểm thi đánh giá năng lực của một trường THPT qua thang điểm 100 được cho ở bảng
sau:

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm thuộc khoảng nào sau đây?
A.  0; 20  .
B.  20; 40  .
C.  40;60  .

D.  60;80  .

Lời giải
Chọn C
Kích thước mẫu số liệu n  25  35  37  15  8  120 (chẵn)
x x
Khi đó trung vị M e  60 61 ; mà x60   20; 40  , x61   40; 60  .
2
Vậy M e  40
Câu 4:

Trong không gian Oxyz , phương trình của đường thẳng đi qua M 1; 2;1 và N  3;1; 2  là

x 1 y  2 z 1


.
4
3
1
x 1 y  2 z 1


C.
.
4
3
1

x 1

2
x 1

D.
2
Lời giải

A.

B.

y  2 z 1

.
1
3
y  2 z 1

.
1
3

Chọn B


Ta có đường thẳng MN đi qua M 1; 2;1 và nhận vectơ MN   2; 1; 3 làm vectơ chỉ phương
nên có phương trình:
Câu 5:

x 1 y  2 z 1


.
2
1
3

Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có đồ thị nhận đường thẳng x  1 làm đường tiệm cận
đứng?
A. y 

2x 1
.
x 1

B. y 

x2  2x  3
.
C. y  x  x 2  2 .
2x  3
Lời giải

D. y 

2
.
x  x 1
2

Chọn A
Câu 6:

Tập nghiệm của phương trình log 3 18  x 2   2 là:
A. S  3 .

B. S  3 .

C. S  3 .

D. S  4;3 .

Lời giải
Chọn C
18  x 2  0
3 2  x  3 2
log 3 18  x   2  

 x  3
2
 x  3
18  x  9
2

Câu 7:

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 z  3  0 . Véctơ nào dưới đây là một véctơ
pháp tuyến của mặt phẳng  P  ?


A. n4  1; 2; 3 .
B. n3  1; 2;0  .


C. n2  1;0; 2  .


D. n1  1; 2;0  .

Lời giải
Chọn C.
Câu 8:

Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA   ABC  . Khẳng định nào
sau đây đúng?
A. AB   SBC  .

B. AC   SBC  .

C. BC   SAC  .

D. BC   SAB 

Lời giải
Chọn D.

Câu 9:

Tập nghiệm của bất phương trình log 2  x 2  3x  2   log 1  9  x 2   0 chứa bao nhiêu số nguyên
2

A. 1.

B. 2.

C. 3 .
Lời giải

D. 4.

Chọn B.

log 2  x 2  3x  2   log 1  9  x 2   0  log 2  x 2  3x  2   log 2  9  x 2 
2

  3  x  1
 3  65
 x 2  3x  2  0
 x  2; x  1
 x 1




 2  x  3
4
2

 9  x  0
  3  x  3


 3  65
3  65
 x 2  3x  2  9  x 2
2 x 2  3x  7  0
 3  65
 x3

x




 4
 4
4
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho chỉ chứa hai số nguyên 1;0 .

Câu 10: Cho cấp số cộng  un  có u2  2, u5  11 . Công sai d của cấp số cộng là:
A. 1.

B. 2.

C. 3.
Lời giải

D. 4.

Chọn C.
u  u 11  2
d 5 2 
3
52
3



 
Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u  1; 4;0  và v   1; 2;1 . Vectơ u  3v có tọa độ
là
A.  2; 10;3 .

B.  2; 6;3 .

C.  4; 8; 4  .

D.  2; 10; 3  .

Lời giải
Chọn A.
 
u  3v   2; 10;3
Câu 12: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x   x 2024  x  1 x  2   x  3 , x   . Số điểm cực trị của
2

hàm số đã cho là
A. 1.

B. 2.

C. 3.
Lời giải

D. 4.

Chọn B
f  x  có hai cực trị là x  1; x  3 .
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng
hoặc sai.
Câu 1:

x
Cho hàm số f ( x)  e  x .
a) Tính f (0)  1 và f (ln 2)  2  ln 2 .

b) Đạo hàm của hàm số đã cho là f ' ( x)  e x  1 .
c) Nghiệm của phương trình f ' ( x)  0 trên đoạn  0;1 là 2
d) Giá trị lớn nhất của f  x  trên đoạn  0; ln 2 là 2  ln 2 .
Lời giải
a) Đúng. Tính f (0) và f (ln 2) :
f (0)  e0  0  1 .
f (ln 2)  eln 2  ln 2  2  ln 2 .
b) Đúng. Đạo hàm của hàm số đã cho là f ' ( x)  e x  1 .
c) Sai. Vì f '( x)  0, x   nên phương trình f ' ( x)  0 vô nghiệm trên  0;1
d) Đúng.
f (0)  1
f (ln 2)  2  ln 2

Vì hàm số f ( x)  e x  x là một hàm đồng biến nên giá trị lớn nhất của hàm số sẽ đạt tại

x  ln 2 .
Giá trị lớn nhất của f ( x) trên đoạn [0;ln 2] là 2  ln 2 .
Câu 2:

Để đảm bảo an toàn khi khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau
tối thiểu 1m . Ô tô A đang chạy với vận tốc 16m / s bỗng gặp ô tô B đang dừng đèn đỏ phía trước
nên ô tô A đạp phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   16  4t

 m / s  , trong đó

t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ thời điểm ô tô A bắt đầu đạp phanh. Các mệnh đề sau
đúng hay sai?

a) Ô tô A sẽ dừng lại khi vận tốc bằng 0 .
b) Ô tô A dừng lại tại thời điểm t  5 .
c) Quãng đường ô tô A đi được kể từ thời điểm bắt đầu hãm phanh đến lúc dừng lại là
5

s   v  t  dt .
0

d) Để hai ô tô A và B khi dừng lại đạt khoảng cách an toàn thì ô tô A phải đạp phanh khi cách
ô tô B một khoảng tối thiểu là 30 mét.
Lời giải
a) Đúng. Xe đang lưu thông sẽ dừng lại khi vận tốc bằng 0 suy ra mệnh đề đúng.
b) Sai. Ô tô A dừng lại  v  0  16  4t  0  t  4 suy ra mệnh đề sai.
c) Sai. Quãng đường ô tô A đi được kể từ thời điểm bắt đầu hãm phanh đến lúc dừng lại là
4

s   v  t  dt suy ra mệnh đề sai
0

d) Sai. Quãng đường ô tô A đi được kể từ thời điểm bắt đầu hãm phanh đến lúc dừng lại là
4

4

0

0

s   v  t  dt   16  4t  dt  32  m  .

Do đó ô tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B một khoảng tối thiểu là 32  1  33m suy ra mệnh
đề sai.
Câu 3:

Một chiếc hộp có 80 viên bi, trong đó có 50 viên bi màu đỏ và 30 viên bi màu vàng; các viên
bi có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có 60% số viên bi màu
đỏ đánh số và 50% số viên bi màu vàng có đánh số, những viên bi còn lại không đánh số. Lấy
ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Gọi A là biến cố “Viên bi được lấy ra có đánh số”, B là biến
cố “Viên bi được lấy ra có màu đỏ”.
a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là 30 .

 

b) P B 

3
5





c) Xác suất để lấy ra được viên bi màu đỏ có đánh số là P A | B .

 

d) Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là P A 

7
.
16

Lời giải
a) Đúng. Số viên bi màu đỏ có đánh số là 60%.50  30 . Suy ra a đúng.

 

b) Sai. Xác suất để lấy được viên bi màu đỏ là P B 

50 5
 . Suy ra b Sai.
80 8

c) Đúng. Biến cố “Viên bi được lấy ra có màu đỏ và đánh số” là biến cố A với điều kiện B .





Vậy xác suất để lấy ra được viên bi màu đỏ có đánh số là P A | B . Suy ra c đúng.

 

 

d) Sai. Xác suất để lấy ra viên bi được lấy ra có đánh số là P A . Ta tính P A theo công
thức:

  

 



  

P A  P B . P A | B  P B .P A | B

 

Ta có: P B 



5
; P A | B  60% ;
8





 

B là biến cố lấy được viên bi vàng nên P B 

30 3
 .
80 8





A | B là biến cố lấy được viên bi màu vàng có đánh số nên P A | B  100%  50%  50% .

  

   

5
3
9
Vậy P A  P B . P A | B  P B .P A | B  .60%  .50% 
8
8
16

 



Vậy d sai.
Câu 4:

Hệ thống phòng không “Vòm sắt” là một trong những hệ thống đánh chặn tên lửa từ xa rất nổi
tiếng của Israel. Để “Vòm sắt” hoạt động được chính xác người ta trang bị một Radar có khả
năng phát hiện tên lửa với bán kính 417 km. Trong hệ trục tọa độ Oxyz một hệ thống “Vòm sắt”

đang ở vị trí O  0;0;0 và một quả tên lửa đang ở vị trí A  688;185; 8 được phóng lên và bay

theo một quỹ đạo là đường thẳng có vectơ chỉ phương là u   91; 75;0  .

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?
a) Phương trình mặt cầu thể hiện vùng phủ sóng của Radar là x 2  y 2  z 2  417
b) Radar phát hiện một quả tên lửa ngay tại vị trí được phóng lên
c) Giả sử hệ thống “Vòm sắt” gặp trục trặc không thể bắn hạ quả tên lửa khi đó vị trí cuối cùng
quả tên lửa xuất hiện trên màn hình radar là B  415; 40; 8
d) Nếu hệ thống gặp trục trặc không bắn hạ được tên lửa thì khoảng cách gần nhất từ hệ thống
“Vòm sắt” đến quả tên lửa là  190 km
Lời giải
2
2
2
2
a) Phương trình mặt cầu tâm O  0;0;0 , bán kính R  417 là  S  : x  y  z  417 * Suy

ra mệnh đề sai
b) Thay tọa độ A  688;185; 8 vào VP của * ta được 6882  1852   8   507633  417 2
2

suy ra điểm A  688;185; 8 nằm ngoài mặt cầu. Suy ra mệnh đề sai

 x  688  91t

c) Quỹ đạo của tên lửa là đường thẳng có phương trình d :  y  185  75t . Giả sử điểm
 z  8


B  688  91t;185  75t; 8 là điểm đầu tiên trên màn hình radar phát hiện ra quả tên lửa khi đó
2
2
2
2
điểm B nằm trên mặt cầu  S  : x  y  z  417 .

 688  91t   185  75t    8 
2

2

2

 417 2

 13906t 2  152966t  333744  0
t  8

t  3



Với t  8 suy ra B  40; 415; 8 , khi đó AB   728; 600; 0  suy ra AB  943,39


Với t  3 suy ra B  415; 40; 8 , khi đó AB   273; 225;0  suy ra AB  353, 77
Rõ ràng 353, 77  943, 39 do đó vị cuối cùng quả tên lửa xuất hiện trên Radar là

B  40; 415; 8 suy ra mệnh đề sai
d) Gọi H  688  91t;185  75t; 8 là vị trị hệ thống “Vòm sắt” gần quả tên lửa. Khi đó để OH
nhỏ nhất khi và chỉ khi
 
OH  u   91; 75;0 
 
 OH .u  0

  688  91t  .  91  185  75t  .  75  0
 13906t  76483  0
t 

11
2

2
2
2
 375   455 
 375 455
 
;
; 8  , OH  
Suy ra H 
 
   8  295 suy ra mệnh đề sai
2
 2   2 
 2


PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình vuông cạnh
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và CD '
Lời giải
Trả lời: 0,89
D'

A'
C'

B'

D

A
B

C

K
I
E

Gọi I là điểm đối xứng của A qua D , suy ra BCID là hình bình hành nên BD  CI .
Do đó d  BD, CD '  d  BD,  CD ' I    d  D,  CD ' I   .

2 , AA'  2. .

Kẻ DE  CI tại E , kẻ DK  D ' E . Khi đó d  D,  CD ' I    DK .
Xét tam giác IAC , ta có DE / / AC và có D là trung điểm của AI nên suy ra DE là đường
trung bình của tam giác. Suy ra DE 

Tam giác vuông D ' DE , có DK 
Câu 2:

1
AC  1.
2
D ' D.DE

D ' D 2  DE2



2 5
 0,89.
5

Có sáu địa điểm A, B, C, D, E, T. Một số địa điểm có đường
đi tới nhau mô tả bằng các cạnh với độ dãi quãng đường tính
theo kilomet cho bởi số gắn với cạnh đó như hình vẽ. Hình 6.
Một người đưa thư xuất phát từ bưu điện ở vị trí A đến T. Cần
đi qua tất cả các đường (mỗi đường đi qua nhiều nhất một lần),
Tổng số kilomet mà người đưa thư phải đi ngắn nhất bằng bao
nhiêu?
Lời giải
Tất cả các đường đi từ A đếnT (qua mỗi đỉnh nhiều nhất một lần) là:
ABDT có độ dài 4  7  3  14 ;
ABDET có độ dài 4  7  4  5  20 ;
ABDCET có độ dài 4  7  6  12  5  34 ;
ACDT có độ dài 2  6  3  11 ;
ACDET có độ dài 2  6  4  5  17 ;
ACET có độ dài 2  12  5  19 ;
ACEDT có độ dài 2  12  4  3  21 .
Từ đây ta thấy đường đi ngắn nhất từ A đến T là ACDT với độ dài bằng 11.

Câu 3:

Bạn Bình đố bạn Nam tìm được đường kính của quả bóng rổ, biết rằng nếu đặt quả bóng ở một
góc căn phòng hình hộp chữ nhật, sao cho quả bóng chạm với hai bức tường và nền nhà của căn
phòng đó thì có một điểm M trên quả bóng với khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà lần
lượt là 17 cm, 18 cm, 21 cm. Bán kính quả bóng bằng bao nhiêu biết loại bóng tiêu chuẩn có
đường kính nằm trong khoảng từ 23 cm đến 24, 5 cm

Lời giải
Trả lời: 12cm

Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng với góc tường, các tia Ox , Oy , Oz hướng theo
các đường giao giữa các bức tường và nền nhà.
Gọi tâm mặt cầu là I  a; b; c  , khi đó a , b, c là các số dương.
Do quả bóng tiếp xúc với các bức tường và nền nhà nên a  b  c  R .
Phương trình mặt cầu là  x  R    y  R    z  R   R 2
2

2

2

Trên quả bóng có điểm M mà khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà lần lượt là 17 cm,

18 cm, 21 cm nên M 17;18;21 thuộc mặt cầu.
Do đó ta có:

17  R   18  R    21  R 
2

2

2

 R  28  257
 R 2  2 R 2  112 R  1054  0  
 R  28  257

Do quả bóng tiêu chuẩn có đường kính nằm  23cm;24.5 cm nên R  28  257  12 cm.
Câu 4:

Trên của sổ có dạng hình chữ nhật, hoạ sĩ thiết kế logo hình con cá cho một doanh nghiệp kinh
doanh hải sản. Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol y  f  x  ; y  g  x  với các kích
thước IC  1 dm; CO  OE  4 dm; OD  2 dm; OG  3 dm (như hình vẽ dưới đây). Logo chỉ
cho phép 50% lượng ánh sáng đi qua. Lượng ánh sáng đi qua toàn bộ cửa sổ sau khi làm logo sẽ
giảm bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Lời giải

Đặt hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ.
+ Vì parabol f  x  cắt trục tung tại điểm có tung bộ bằng 2 nên giả sử f  x   ax 2  bx  2 .

1

16a  4b  2  0
a  
Parabol f  x  đi qua hai điểm C  4; 0  , E  4; 0  nên ta có hệ 

8.
16a  4b  2  0
b  0

1
Do đó f  x    x 2  2 .
8
Vì parabol g  x  cắt trục tung tại điểm có tung bộ bằng 3 nên giả sử g  x   mx 2  nx  3 .
3

16m  4n  3  0
a 
Parabol g  x  đi qua hai điểm C  4; 0  , E  4; 0  nên ta có hệ 

16 .
16m  4n  3  0
b  0

Do đó g  x  

3 2
x 3.
16
4

Diện tích phần logo là S1 



5

f  x   g  x  dx 

4

5

  16 x

2

 5dx 

5

1345
dm 2  .

48

Gọi a là lượng ánh sáng đi qua 1 dm 2 cửa sổ trước khi làm logo.
Khi đó lượng ánh sáng đi qua cả cửa sổ hình chữ nhật khi chưa làm logo là

1  4  4  .  2  3 a  45a .
Lượng ánh sáng bị giảm đi 50% khi chiếu qua logo hình con cá. Do đó lượng ánh sáng bị giảm
đi là

1345 1
1345
. .a 
a.
48 2
96

 1345

Vậy tỷ lệ phần trăm lượng ánh sáng giảm đi là 
: 45a  .100%  31,1% .
 96a


Câu 5:

Một nhà địa chất học đang ở tại điểm A trên sa mạc. Anh ta muốn đến điểm B và cách A một
đoạn là 70km . Trong sa mạc thì xe anh ta chỉ có thể di chuyển với vận tốc là 30km/h. Nhà địa
chất phải đến được điểm B sau 2 giờ. Vì vậy, nếu anh ta đi từ A đến B sẽ không thể đến
đúng giờ được. May mắn thay, có một con đường nhựa song song với đường nối A và B và
cách AB một đoạn 10km. Trên đường nhựa đó thì xe nhà địa chất này có thể di chuyển với vận
tốc 50km/h. Thời gian ngắn nhật đề nhà địa chất di chuyển từ A đến B là bao nhiêu phút?

Lời giải
Trả lời: 116

 x, y  0; x  y  70 .

Đặt HC  x; KD  y,

Quảng đường đi trên sa mạc là: AC  BD  100  x 2  100  y 2
Thời gian đi trên sa mạc là: t AC  t BD 

100  x 2  100  y 2
30

 km  .

h.

Quãng đường đi trên đường nhựa: CD  70   x  y   km .
Thời gian đi trên đường nhựa là: tCD 

70   x  y 
h .
50

Tổng thời gian đi từ A đến B là:
T  t AC  tCD  t DB 

100  x 2  100  y 2 70   x  y 

h .
30
50

Ta có: 100  x 2  100  y 2 

T

400   x  y 
30

Khi đó ta có: T 

2



10  10   x  y 
2

2

 400   x  y  nên
2

70   x  y 
. Đặt t  x  y,  0  t  70 .
50

400  t 2 70  t

với 0  t  70 .
30
50

400  t 2 70  t
58

, t   0; 70 ta có: min f  t  
Khảo sát hàm f  t  
, đạt được tại t  15
0;70


30
50
30
.
58
Vậy thời gian đi quãng đường AB ngắn nhất là
 h   116 phút.
30
Câu 6:

Hình dạng hạt c