đề cương ôn tập môn toán
Phần đại số giảI tích
A. Tóm tắt lý thuyết





























Phần IiI
NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
I.Nguyên hàm và tích phân bất định:
1.Nguyên hàm và tích phân bất định: Nếu F’(x)=f(x) với (x((a;b) thì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a;b). Nếu thêm F’(a+) = f(a) và F’(b()=f(b) thì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b]. Mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x)+C, trong đó C là hằng số. Tập hợp các nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a;b), gọi là tích phân bất định của f(x) trên khoảng (a;b) và ký hiệu là
.
Vậy
= F(x)+C ( F ’(x) = f(x) với (x((a;b) và C là hằng số.
Mọi hàm số liên tục trên đoạn [a;b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
2.Tính chất:
a)
= f(x)
b)
= k
k(0
c)
=
+

d)
(
với u = u(x)
3.Bảng các nguyên hàm:
Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của các hàm số hợp


=x+C

=u+C


+C, (((1

+C, (((1


= ln(x(+ C, x ( 0

= ln(u(+ C, x ( 0


= ex+C

= eu+C


+C, 0
+C, 0

= sinx+C

= sinu+C


= ( cosx+C

= ( cosu+C


= tgx+C, x(
+k( và k(Z

= tgu+C, u(
+k( và k(Z


= ( cotgx+C, x( k( và k(Z

= ( cotgu+C, u( k( và k(Z

II. Tích phân xác định:
Định nghĩa : Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên khoảng K; a,b(K; F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Hiệu số F(b)(F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của f(x) và được ký hiệu là
.
Ta viết :
(Công thức Niutơn-Laipnit)
2) Các tính chất của tích phân :
Giả sử các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên khoảng K và a,b,c ( K.
* 0
*
k(k(|R)
*

* f(x) ( 0 trên [a;b]( 0
* f(x) ( g(x) trên [a;b](
* m(( f(x) ( M trên [a;b] ( m(b(a)((
( M(b(a)
* t([a;b] ( G(t)=
là 1 nguyên hàm của f(t) thỏa G(a)=0.
III. Các phương pháp tính tích phân xác định:
1) Phương pháp đổi biến số : Cho f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [a;b], giả sử cần tính
, khi chưa tìm được trực tiếp nguyên hàm F(x) của f(x) trên đoạn [a;b]
a) Đổi biến số dạng 1:
Đặt x = u(t)
Tính dx=u’(t)dt
Đổi cận x = a
u(t) = a
t = (
x = b
u(t) = b
t = (
Đổi biến
và tìm G(t) là một nguyên hàm của g(t) trên đoạn [(,(]
Tính
=G(t)

b) Đổi biến số dạng 2:
Đặt t= v(x) ( hoặc biến đổi t= v(x) ( x = u(t))
Tính dt = v’(x)dx ( hoặc tính dx=u’(t)dt )
Đổi cận: x = a
t = v(a) = (
x = b
t= v