BÀI NÂNG CAO CÁC ĐÁNG
May 21st, 2013
 [Giasudhsphn.com] – Bài tập nâng cao về các hằng đẳng thức đáng nhớ do trung tâm gia sư sư phạm Hà Nội biên soạn.
 I/ Bài tập vận dụng cho các hằng đẳng thức (1), (2), (3), (4).
Bài 1. Cho đa thức 2x² – 5x + 3 . Viết đa thức trên dưới dạng 1 đa thức của biến y trong đó y = x + 1.
 Lời Giải
Theo đề bài ta có:  y = x + 1 => x = y – 1.
A = 2x² – 5x + 3
    = 2(y – 1)² – 5(y – 1) + 3 = 2(y² – 2y + 1) – 5y + 5 + 3 = 2y² – 9y + 10
Bài 2. Tính nhanh kết quả các biểu thức sau:
a) 127² + 146.127 + 73²
b) 98 .28 – (184 – 1)(184 + 1)
c) 100² – 99² + 98² – 97² + …+ 2² – 1²
d) (20² + 18² + 16² +…+ 4² + 2²) – ( 19² + 17² + 15² +…+ 3² + 1²)
 Lời Giải
a) A = 127² + 146.127 + 73² = 127² + 2.73.127 + 73²  = (127 + 73)² = 200² = 40000 .
b) B = 98 .28 – (184 – 1)(184 + 1) = 188  – (188  – 1) = 1
c) C = 100² – 99² + 98² – 97² + …+ 2² – 1²
         = (100 + 99)(100 – 99) + (98 + 97)(98 – 97) +…+ (2 + 1)(2 – 1)
         = 100 + 99 + 98 + 97 +…+  2 + 1 = 5050.
d) D = (20² + 18² + 16² +…+ 4² + 2²) – ( 19² + 17² + 15² +…+ 3² + 1²)
           = (20² – 19²) + (18² – 17²) + (16² – 15²)+ …+ (4² – 3²) + (2² – 1²)
           = (20 + 19)(20 – 19) + (18 + 17)(18 – 17) + ( 16 +15)(16 – 15)+ …+ (4 + 3)(4 – 3) + (2 + 1)(2 – 1)
           = 20 + 19 + 18 + 17 + 16 +15 + …+ 4 + 3 + 2 + 1 = 210
Bài 3. So sánh hai số sau, số nào lớn hơn?
a) A = (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) và B = 232
b) A = 1989.1991 và B = 19902
 Lời Giải
a) Ta nhân 2 vế của A với 2 – 1, ta được:
A = (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)
Ta áp dụng đẳng thức ( a- b)(a + b) = a² – b² nhiều lần, ta được:
A = 232 – 1.
=> Vậy A < B.
b) Ta đặt 1990 = x => B = x²
Vậy A = (x – 1)(x + 1) = x² – 1
=> B > A là 1.
Bài 4. Chứng minh rằng:
a) a(a – 6) + 10 > 0.
b) (x – 3)(x – 5) + 4 > 0.
c) a² + a + 1 > 0.
 Lời Giải
a) VT = a² – 6a + 10 = (a – 3)² + 1 ≥ 1
=> VT > 0
b) VT = x² – 8x + 19 = (x – 4)² + 3 ≥ 3
=> VT > 0
c) a² + a + 1 = a² + 2.a.½ + ¼ + ¾ = (a + ½ )² + ¾ ≥ ¾ >0.
Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A = x² – 4x + 1
b) B = 4x² + 4x + 11
c) C = 3x² – 6x – 1
 Lời Giải
 
a) Ta sẽ biến đổi A= x² – 4x + 1 = x² – 4x + 4 – 3 = ( x- 2)² – 3
Do ( x- 2)² > 0 nên => ( x- 2)² – 3 ≥ -