CHUYÊN ĐỀ 4: SỐ PHỨC

1. Kiến thức cơ bản.
1.1. Các khái niệm












1.2. Các phép toán trên số phức.
* Phép cộng và phép trừ, nhân hai số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:




* Phép chia số phức khác 0.
Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a2+b2 > 0 )
Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 của số phức z ≠ 0 là số
z-1=

Thương
của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau:


2. Các dạng bài tập.
2.1. Dạng 1: Các phép toán trên số phức.
Ví dụ 1: Cho số phức z =
. Tính các số phức sau:
; z2; (
)3; 1 + z + z2
Giải:
*Vì z =
(
=

*Ta có z2 =
=
=

( (
)2 =

(
)3 =(
)2.
=

Ta có: 1 + z + z2 =

Ví dụ 2: Tìm số phức liên hợp của:

Giải:
Ta có
.
Suy ra số phức liên hợp của z là:

Ví dụ 3: Tìm phần ảo của số phức z biết

Giải:

. Suy ra,

Phần ảo của số phức

Ví dụ 4: Tìm mô đun của số phức

Giải: Ta có:

Vậy mô đun của z bằng:

Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm môđun của số phức

Giải:
Ta có:
Do đó


Vậy

Ví dụ 6: Tìm các số thực
thỏa mãn đẳng thức:
a) 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i
b) (2x + 3y + 1) + ( –x + 2y)i = (3x – 2y + 2) + (4x – y – 3) i.
c)


Giải:
a) Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i( (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i
(
(

b) Theo giả thiết ta có:

c) Ta có
.
Suy ra




Bài tập tự luyện
Tìm các số thực x, y biết:
(3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i;
(2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i;
Chứng minh z = (1+2i)(2 - 3i)(2+i) (3-2i ) là một số thực
Tìm các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức:

Cho hai số phức:
. Xác định phần thực, phần ảo của số phức

Tìm phần thực, phần ảo và mô đun của số phức:
a)
b)

c) z = 2i(3 + i)(2 + 4i)
d) z =
e) z =

Tìm các số phức:
và
, biết
.
Cho số phức z = 2 + 3i.Tìm phần thực và phần ảo của số phức


Cho số phức
Tính mô đun của z và tìm tọa độ điểm biểu diễn hình học của z trong hệ tọa độ Oxy.
Cho z thỏa mãn (2 + i)z +
. Tìm môđun của số phức w = z + 1 + i
Số phức z thỏa mãn (1+i)2(2(i)z=8+i+(1+2i)z. Tìm phần thực, phần ảo của z.
Cho số phức z thỏa mãn
.Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
Tìm số phức z biết z3 = 18 + 26i, trong đó z = x + yi (x,y ( Z)
2.2. Dạng 2: Tính
và áp dụng
Chú ý:
i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i; ( n ( N*Vậy in ( {-1;1;-i;i}, ( n ( N*

;


;

Ví dụ 1: Tính: i105 + i23 + i20 – i34
Giải:
Ta có i105 + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + 1 + 1 = 2
Ví dụ 2: Tính số phức sau:
a) z = (1+i)15 b) z =


Giải:
a) Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i ( (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i
nên z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i.
b) Ta có:

(
. Vậy
=i16 +(-i)8 = 2
Ví dụ 3: Tìm phần thực, phần ảo của số phức sau:



Giải:


Vậy phần thực là
và phần ảo là

Bài tập tự luyện
Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:
z =

Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn:
.
Tìm phần thực, phần ảo của số phức z =


2.3. Dạng 3: Tìm số phức dựa vào Dạng đại số của số phức.
Nếu trong hệ thức tìm số phức z xuất hiện 2 hay nhiều đại lượng sau:
ta sẽ sử dụng Dạng đại số của z là
với

Ví dụ 1: Tìm số phức z biết

Giải:
Gọi z= a+ bi (a,b
) ta có:




Vậy z= 2-i
Ví dụ 2: Tính mô đun của số phức z biết rằng:

Giải:
Gọi z= a+ bi (a, b
)
Ta có


Suy ra mô đun:

Ví dụ 3: Tìm số phức z thỏa mãn:
và
.
Giải
Gọi z = x + iy (x, y
R), ta có





Từ (1) và (2) tìm được x = 1 ; y =

Vậy các số phức cần tìm là 1 + i và 1 - i
Ví dụ 4: Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện:
và
là một số thuần ảo.
Giải
Đặt z= x+ yi (x,y
)
Theo bài ra ta có


Số phức

w là một số ảo khi và chỉ khi

Vậy

Ví dụ 5: Tìm tất cả các số phức z biết

Giải:
Gọi z= a+ bi (a, b
) ta có:


Vậy z=0;

Ví dụ 6: Tìm số phức z thỏa mãn
và z2 là số thuần ảo.
Giải:
Gọi z= a+ bi (a, b
) Ta có
và

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi

Vậy các số phức cần tìm là 1+i; 1-i; -1+i; -1-i
Ví dụ 7: Tìm số phức z biết

Giải:
Gọi z= a+ bi (a, b
) và
ta có






Vậy
hoặc

Ví dụ 8: Tìm số phức z thỏa mãn
và
là số thực
Giải:
Giả sử z= x+ yi (x, y
)
Khi đó,




Từ (1) và (2) ta có x=1; y=0 hoặc x=-1; y=2
Vậy z=1; z=-1+ 2i
Bài tập tự luyện
Tìm số phức z thỏa mãn:
. Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.
Tìm số phức z thỏa mãn: | z | - iz = 1 – 2i
Tìm số phức z thỏa mãn:
và
.
Tìm số phức z thỏa mãn
và
.
Tìm số phức z thỏa mãn từng trường hợp:
a)
và z là số thuần ảo. b)
và phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó.
Tìm số phức z thoả mãn
và z2 là số thuần ảo.
Giải phương trình:
a)
. b)

Tìm số phức z biết

Tìm số phức z biết:
và
có phần ảo bằng 1.
Tìm số phức z thỏa mãn:
và
.
Tìm số phức z thỏa mãn
.
2.4. Dạng 4: Biểu diễn hình học một số phức. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z.
Trong dạng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức z trong đó số phức z thỏa mãn một hệ thức nào đó (thường là hệ thức liên quan đến môđun của số phức). Khi đó ta giải bài toán này như sau:
Giả sử z = x+yi (x, y ( R). Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm M(x;y). Sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp điểm M.
Ví dụ 1: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp các điểm M(z) thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây:
a)
=2 b)
c)


Giải:
Đặt z = x +yi (x, y ( R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y)
a) Xét hệ thức:
=2 (1)
Đặt z = x +yi (x, y ( R) ( z – 1 + i = (x – 1) + (y + 1)i.
Khi đó (1) (

( (x-1)2 + (y + 1)2 = 4.( Tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) là đường tròn có tâm tại I(1;-1) và bán kính R = 2.
b) Xét hệ thức
( |(x+2) +yi| = |-x+(1-y)i|
( (x+2)2 + y2 = x2 + (1-y)2 ( 4x + 2y + 3 = 0.
Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0.

Nhận xét: Đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0 chính là
đường trung trực của đoạn AB.
c) Xét hệ thức:


Xét F1, F2 tương ứng biểu diễn các điểm 4i và -4i tức là F1 (0;4) và F2 =(0;-4). Do đó:

( MF1 + MF2 = 10
Ta có F1F2 = 8 ( Tập hợp tất cả các điểm M nằm trên (E) có hai tiêu điểm là F1 và F2 và có độ dài trục lớn bằng 10.
Phương trình của (E) là:


Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn



Giải:
Đặt z= x+ yi (x,y
)
Ta có:




Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là đường tròn có phương trình

Ví dụ 3: Cho số phức
. Tìm tập hợp điểm biểu diễn
, biết rằng
.
Giải






Giả sử

biểu diễn bởi điểm M(x;y). Khi đó ta có:


Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức
là đường tròn tâm O, bán kính 2
Ví dụ 4: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
.Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y ( R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y).
Ta có
(1)


. Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa mãn (1) là đường thẳng x + y = 4. Mặt khác

Hay

Do đó
. Vậy

Ví dụ 5: Biết rằng số phức z thỏa mãn
là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
Giải
Đặt z= x+ yi (x, y
) ta có


Ta có:

Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x-y-4=0, M(x;y) là điểm biểu diễn của z thì mô đun của z nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất
Tìm được M(-2;2) suy ra z=-2+2i.
Ví dụ 6: Tìm số phức Z có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện

Giải
Gọi



Gọi M (x;y) là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ Oxy
là đường tròn có tâm
và bán kính

Gọi d là đường thẳng đi qua O và I

Gọi M1, M2 là hai giao điểm của d và (C)
và

Ta thấy


số phức cần tìm ứng với điểm biểu diễn M1 hay

Ví dụ 7: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z sao cho
là một số thuần ảo.
Giải
Đặt z= x+ yi (x, y
), khi đó:




u là số thuần ảo khi và chỉ khi

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm I(-1;-1), bán kính
trừ điểm (0;1)

Bài tập tự luyện
Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng tọa đô biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau
a)
b)
c)

Trong các số phức thỏa mãn
. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
Trong mặt phẳng tọa độ. Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có môdun nhỏ nhất
Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
.Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
Trong các số phức z thỏa mãn
, tìm số phức z mà
là nhỏ nhất.
Tìm số phức Z có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện Trong tất cả các số phức z thỏa mãn
, hãy tìm số phức có
nhỏ nhất
Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
.Tìm số phức có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất.

2.5. Dạng 5. Phương trình bậc hai trên tập số phức
2.5.1. Vấn đề 1. Tìm căn bậc hai của một số phức. (Đọc thêm)
Cho số phức w = a + bi. Tìm căn bậc hai của số phức này.
Phương pháp:
+) Nếu w = 0 ( w có một căn bậc hai là 0
+) Nếu w = a > 0 (a ( R) ( w có hai căn bậc hai là
và -

+) Nếu w = a < 0 (a ( R) ( w có hai căn bậc hai là
và -

+) Nếu w = a + bi (b ( 0)
Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) là một căn bậc hai của w ( z2 = w ( (x+yi)2 = a + bi
(

Để tìm căn bậc hai của w ta cần giải hệ này để tìm x, y. Mỗi cặp (x, y) nghiệm đúng phương trình đó cho ta một căn bậc hai của w.
Nhận xét: Mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau.
Ví dụ: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:
4 + 6
i b) -1-2
i

Giải:
1) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) là một căn bậc hai của w = 4 + 6
i
Khi đó: z2 = w ( (x+yi)2 = 4 + 6
i(

(2) ( x4 – 4x2 – 45 = 0 ( x2 = 9 ( x = ± 3.
x = 3 ( y =

x = -3 ( y = -

Vậy số phức w = 4 + 6
i có hai căn bậc hai là: z1 = 3 +
i và